王 濤

(江蘇省如皋中學(xué) 226500)

好的教學(xué)方式不是直接將知識灌輸給學(xué)生，而是通過情境、實驗等手段激發(fā)學(xué)生自己去學(xué)習(xí)，只有當(dāng)學(xué)生通過自己思考去發(fā)現(xiàn)和解決問題時，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力才能真正地得到提升.要知道，只有經(jīng)過思考才能真正地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，才能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決問題. 教師應(yīng)從學(xué)生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實驗、探究、交流等數(shù)學(xué)活動獲得數(shù)學(xué)知識，從而形成數(shù)學(xué)技能，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 以學(xué)生出發(fā)的自主課堂構(gòu)建重要性

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程當(dāng)中，若想實現(xiàn)以學(xué)生出發(fā)的可課堂教學(xué)形式，就要在日常的教學(xué)當(dāng)中加強對于學(xué)生的關(guān)注，充分彰顯學(xué)生的主體地位，使學(xué)生能夠在課堂教學(xué)中自由的進(jìn)行探究與思考，突破傳統(tǒng)教學(xué)模式所帶來的阻礙，創(chuàng)新教學(xué)方法和教學(xué)理念.以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)，能夠有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作能力，促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展，可以使學(xué)生在獨立思考過程當(dāng)中做到對問題的有效解決，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識.

2 借助實驗，讓學(xué)生動起來

許多數(shù)學(xué)概念、定理等知識都是在不斷的實驗中歸納總結(jié)出來的，為此為了讓學(xué)生更好地理解知識，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去實驗，讓學(xué)生的手動起來，思維活起來.

案例1探究橢圓及性質(zhì)

師：課前讓大家準(zhǔn)備了圖釘、細(xì)線等實驗工具大家都準(zhǔn)備好了嗎？

學(xué)生齊聲答：準(zhǔn)備好了.

師：很好，現(xiàn)在兩人一組，請按以下程序進(jìn)行操作，并做好記錄，看看你在實驗中有哪些收獲？

(1)取適當(dāng)長度為2a的細(xì)線，將兩個圖釘分別系在細(xì)線的兩端，接下來將圖釘固定在課前準(zhǔn)備的白色紙板上，圖釘位置分別標(biāo)記為F1，F(xiàn)2，兩點F1，F(xiàn)2選取滿足|F1F2|<2a.

(2)將細(xì)線拉緊后進(jìn)行繪制，得到一個橢圓.

(3)改變細(xì)線的長度，使2a>|F1F2|，重復(fù)步驟(2)，你得到了什么結(jié)論？

(4)改變細(xì)線的長度，使2a=|F1F2|，重復(fù)步驟(2)，你得到了什么結(jié)論？

(5)改變細(xì)線的長度，使2a<|F1F2|，重復(fù)步驟(2)，你得到了什么結(jié)論？

(6)綜合以上操作過程，你又能得到什么結(jié)論？

(7)重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，觀察各個橢圓的對稱性，并嘗試建立坐標(biāo)系.

(8)重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，觀察橢圓的形狀與2a和F1F2有什么內(nèi)在聯(lián)系？

(9)請與其他小組交流實驗結(jié)果，給出橢圓概念.

這樣通過動手實驗，學(xué)生親身體驗了橢圓的繪制過程，形成了橢圓概念.同時在繪制橢圓的過程中通過改變細(xì)線的長度，橢圓的性質(zhì)一目了然.這樣通過親身體驗、自主探究、合作交流使學(xué)生在自主的思維活動中主動地完成了新知的建構(gòu).

3 借助反思，培養(yǎng)學(xué)生思維習(xí)慣

數(shù)學(xué)知識大多是抽象的、復(fù)雜的，其邏輯性、綜合性強，若想將數(shù)學(xué)知識學(xué)懂吃透，在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知過程進(jìn)行反思，讓學(xué)生可以自覺地對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行分析、評價等，通過對認(rèn)知活動的再認(rèn)識來強化數(shù)學(xué)理解，強化自我意識.因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師一定要給學(xué)生時間和空間進(jìn)行反思，從而讓學(xué)生可以更好地認(rèn)識自己、監(jiān)控自己、調(diào)節(jié)自己，讓腦子動起來，思維活起來，培養(yǎng)學(xué)生良好的反思習(xí)慣，讓數(shù)學(xué)知識在反思中得以內(nèi)化.

案例2設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.已知當(dāng)x∈[-2,2]時，f(x)=-x2+1，求當(dāng)x∈[-6,-2]時，函數(shù)f(x)的解析式.

分析1由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.由f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，結(jié)合題設(shè)中函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上解析式，可畫出函數(shù)f(x)在R上的示意圖(如圖1).

由圖1可知，函數(shù)f(x)在x∈[-6,-2]上的圖象是頂點為(-4,1)且過點(-2,-3)的拋物線.所以當(dāng)x∈[-6,-2]時，f(x)=-(x+4)2+1.

分析2由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)可知f(-x)=f(x).由圖象關(guān)于直線x=2對稱可知，f(2+x)=f(2-x).當(dāng)x∈[-6,-2]時，必有x+4∈[-2,2]，進(jìn)而有f(x+4)=-(x+4)2+1.接下來需要理清f(x+4)與f(x)的關(guān)系，問題即可迎刃而解.f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，有f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[2-(x+2)]=f(-x).再由f(-x)=f(x)，所以f(x+4)=f(x).所以當(dāng)x∈[-6,-2]時，f(x)=-(x+4)2+1.

對解題策略的反思：

(1)由分析(1)可知，當(dāng)利用直接推理的方法難以求解時，可以轉(zhuǎn)化思想，將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，借助圖形的直觀性尋找解決問題的方法.不過圖形更加直觀，更加通俗易懂，不過繪圖在一定程度上也會需要一定的時間，為此在解題時需要結(jié)合實際情況選擇有效的解題方法.

(2)觀察圖1可知，函數(shù)f(x)的圖象是成周期性變化的，其周期為4.分析(1)是從形的角度分析的，而分析(2)是從數(shù)的角度進(jìn)行分析，也印證了這一特點.如果將問題轉(zhuǎn)化為一般問題，仿照分析(2)不難發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).

(3)對以上結(jié)論進(jìn)一步探究得到如下結(jié)論：

①如果函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù).

②若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象分別關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對稱，則f(x)是周期為2(b-a)的周期函數(shù).

③若函數(shù)f(x)是定義R上的偶函數(shù)，且是周期為2a的周期函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

④若函數(shù)f(x)是定義R上的奇函數(shù)，且是周期為2a的周期函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

這樣，通過多角度分析和反思，學(xué)生的思維能力得到了全面的提升.在日常的教學(xué)過程中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，進(jìn)而讓他們可以從不同角度，不同側(cè)面認(rèn)識并解決問題，深化了問題的理解，揭示了問題的本質(zhì)，同時通過探索和反思，發(fā)現(xiàn)了問題的一般規(guī)律，在發(fā)展思維的同時，有利于解題能力提升.

4 借助交流，培養(yǎng)學(xué)生合作意識

每個學(xué)生都是獨立的個體，他們有著獨特的經(jīng)驗、獨特的思維，其在思考和解決問題時往往會呈現(xiàn)一定的差異性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要應(yīng)用好這些差異，鼓勵學(xué)生互動交流，從而不同思維碰撞出智慧的火花.

案例3求過直線l1:2x-y+2=0和l2:3x+2y-2=0的交點，且過坐標(biāo)原點的直線方程.

生1：這個是偶然的，應(yīng)該是兩個直線方程比較特殊，兩方程相加后常數(shù)項為0，所以直線方程過原點，如果將直線l1:2x-y+2=0更改為l1:2x-y+1=0，相交后直線就是過原點的了，那么該方法自然也就失效了.

生2：是偶然的，因為即使常數(shù)項相加為0，但其也不能驗證這條直線一定是過原來兩直線交點的.

生3：若直線l1與l2相加，則會得到一個新的方程，這個方程必過直線l1和l2的交點，這個是必然的，不過過原點是偶然的.

生4：對于生1的問題，如果我們將l1:2x-y+1=0改變成方程l1:4x-2y+2=0，這樣兩方程的常數(shù)項相加剛好為0.(生4的答案給出后，學(xué)生詫異)

生5：這樣，如果直線是過原點的，都可以通過湊常數(shù)項為0的方式進(jìn)行相加求解了.不過如果不過原點，過點(1,1)，那么這個方法可能就失效了？

師：真的失效了嗎？難道就沒有辦法轉(zhuǎn)化了嗎？

生6：把過點(1,1)轉(zhuǎn)化為過原點，則直線l1:2x-y+1=0改為l1:2(x-1)-(y-1)+3=0，l1:4x-2y+2=0轉(zhuǎn)化為l1:3(x-1)-2(y-1)+3=0，這樣再相加.

這樣通過師生和生生的互動交流，將思維引向了更深處.在解決問題的過程中要多鼓勵進(jìn)行交流和探究，鼓勵學(xué)生大膽地提出自己新想法和新思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

5 結(jié)合數(shù)學(xué)的建模思想，創(chuàng)新教學(xué)的內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中主要針對的就是教材當(dāng)中的基礎(chǔ)知識，從而促進(jìn)學(xué)生實際運用能力得到提升，但是教師往往沒有注重數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性.對于現(xiàn)階段的學(xué)生來說，因為數(shù)學(xué)的知識具有一定的邏輯性，學(xué)生難以理解抽象、邏輯性的數(shù)學(xué)問題，所以，教師應(yīng)當(dāng)不斷加強自身的引導(dǎo)能力.課堂教學(xué)的主要目的就是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是在學(xué)習(xí)理論以及金字塔式理論的引導(dǎo)下促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，不僅重視教學(xué)的主導(dǎo)性，還重視學(xué)生學(xué)習(xí)中的主體性，不僅如此，還要重視非智力因素對于學(xué)生產(chǎn)生的影響.因此教師在實際教學(xué)開展的過程中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提升對數(shù)學(xué)的應(yīng)用，從而有效促進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想的落實，在此基礎(chǔ)上促進(jìn)教學(xué)的內(nèi)容的進(jìn)一步調(diào)整.總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生營造一個平等的交流環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，主動探索，進(jìn)而使學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)者、探究者和創(chuàng)造者，成為課堂真正的主人.