劉 華 周思聰

(北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京 100191)

能量法在材料力學中有著廣泛的應(yīng)用，例如確定理想彈性壓桿的臨界撓度[1]，計算桁架結(jié)構(gòu)的受力[2]等。能量法還可以用于沖擊應(yīng)力分析，利用沖擊過程中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，即沖擊物的機械能全部轉(zhuǎn)換為被沖擊物的應(yīng)變能，建立方程并求解被沖擊物的最大沖擊應(yīng)力。該理論采用如下基本假設(shè)[3]：(1) 沖擊物為剛體；(2) 被沖擊物的質(zhì)量忽略不計；(3) 沖擊物與被沖擊物接觸后始終保持接觸；(4)沖擊過程中的能量損失忽略不計。這些假設(shè)大大簡化了實際沖擊過程中復雜的應(yīng)力、應(yīng)變變化過程，是工程中沖擊問題的簡化計算方法。在教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生往往將注意力集中于公式的推導，忽略或不能夠準確理解基本假設(shè)在該問題中的重要性。本文旨在通過一個算例增進學生對能量法中基本假設(shè)的理解，了解和掌握材料力學中用能量法進行沖擊應(yīng)力分析的適用范圍，引導學生對教材內(nèi)容進行思考。

1 能量法基本假設(shè)的意義

工程中的結(jié)構(gòu)常遭受沖擊載荷作用，與靜載荷不同的是，沖擊載荷引起的應(yīng)力不會立即傳至被沖擊物的各個部位。當沖擊速度較低時，沖擊物引起的擾動以彈性波的形式在被沖擊物內(nèi)傳播。在擾動信號未到達之前，被沖擊物離沖擊部位較遠的位置保持靜止。當沖擊速度不斷增加時，由塑性材料制成的被沖擊物產(chǎn)生塑性變形，甚至表現(xiàn)出流體和氣體特性。材料力學中的研究對象為彈性材料，故在此僅考慮低速撞擊，不考慮塑性等復雜的動力學響應(yīng)特性。

由于沖擊問題的復雜性，在材料力學中，需采用一些基本假設(shè)對問題進行簡化并構(gòu)建相應(yīng)的力學模型。當沖擊物的變形可忽略不計時，可將其視為剛體，即假設(shè)(1) 旨在保證沖擊物的應(yīng)變能可被忽略。由彈性動力學理論可知，彈性波在固體介質(zhì)中的傳播條件為介質(zhì)具有可變形性和慣性效應(yīng)。當被沖擊物的質(zhì)量相對于沖擊物質(zhì)量較小時，可忽略其慣性效應(yīng)，因此彈性波傳播的波動特性被忽略，沖擊載荷引起的應(yīng)力可瞬間傳遍整個被沖擊物，動力學問題被視為靜力學問題，被沖擊物的動能被忽略。因此，當沖擊載荷獲得最大值時，沖擊應(yīng)力、沖擊位移和沖擊應(yīng)變也均獲得最大值，即假設(shè)(2) 旨在保證被沖擊物的慣性效應(yīng)和動能可被忽略。若沖擊物與被沖擊物在沖擊過程中不發(fā)生分離，當沖擊物的速度減小為零且不考慮沖擊過程中熱能等能量的損失時，沖擊物減小的機械能將全部轉(zhuǎn)換為被沖擊物的應(yīng)變能，由此可依據(jù)能量守恒計算出最大沖擊應(yīng)力、最大沖擊載荷等，即假設(shè)(3)和(4)旨在簡化能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2 算例分析

本文以桿件承受軸向撞擊這一簡單的力學問題為例進行分析。如圖1 所示，質(zhì)量為M2的圓截面桿左端自由右端固定，質(zhì)量為M1的剛體以初始速度V0= 5 m/s 水平撞擊桿的左端，桿只產(chǎn)生彈性變形且不發(fā)生屈曲，桿長L2= 0.5 m，截面半徑R2= 0.01 m，密度ρ2= 7.8 kg/m3，彈性模量E2=205 GPa。

圖1 桿件受軸向沖擊示意圖

圖2 桿內(nèi)應(yīng)力波傳播示意圖

其中，σn(t)為第n個周期中桿端的接觸應(yīng)力，Sn(t)的表達式為

圖3 對比了彈性動力學理論解與有限元數(shù)值解，可以看出該理論能夠真實地反映第一次撞擊接觸應(yīng)力的變化過程。如圖3(a)所示，當m=0.7 時，剛體與桿件在第二周期內(nèi)分離。通過理論計算表明，對于m< 1 的所有情況，剛體與桿件均在第二周期內(nèi)分離。如圖3(b) 所示，在m= 1 時，剛體與桿件發(fā)生了二次撞擊，二次撞擊的接觸應(yīng)力峰值小于第一次撞擊。為了避免沖擊物與被沖擊物在撞擊后分離，可以通過安裝飛射物回收裝置[5]等方式，使剛體附著在桿端并與桿件一起做往復振動，但這對本問題關(guān)注的最大接觸應(yīng)力影響很小，故本文未對這一現(xiàn)象進行詳細討論。若彈性動力學理論預測的整個沖擊過程中的最大接觸應(yīng)力記為σmax，由圖3(c) 可知，當m= 14 時，σmax= 4.75σ0，出現(xiàn)在3T時刻，剛體與桿件于5.7T時刻分離。由圖3(a)～圖3(c) 可見，隨著m的增大，剛體與桿件分離所需要的周期數(shù)隨之增多。如圖4 所示，與靜力學問題不同，慣性力的存在使得接觸端的最大沖擊位移與最大接觸應(yīng)力并不出現(xiàn)在同一時刻。

圖3 不同質(zhì)量比時彈性動力學解與有限元數(shù)值解對比

圖4 質(zhì)量比m=21 時接觸應(yīng)力、接觸端位移時間曲線

材料力學中的能量法不能描述整個沖擊過程，只能依據(jù)沖擊物的動能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊物的彈性應(yīng)變能這一條件，在被沖擊物變形達到最大時，求得桿內(nèi)的最大動應(yīng)力σd,max為

在本問題中，由于基于能量法給出的動應(yīng)力在桿內(nèi)為常值，所以該應(yīng)力亦為沖擊物與被沖擊物之間的最大接觸應(yīng)力。

對比式(2) 和式(4) 可知，對于給定的桿件，σd,max/σmax與質(zhì)量比m有關(guān)。表1 對比了不同質(zhì)量比情況下，σd,max與σmax及有限元方法預測的最大接觸應(yīng)力σFE,max的比值關(guān)系。由表可知，隨著質(zhì)量比m的增大，能量法的結(jié)果越來越接近彈性動力學理論和有限元方法預測的結(jié)果。這是因為當沖擊物的質(zhì)量相對于被沖擊物的質(zhì)量越來越大時，因忽略被沖擊物的質(zhì)量所帶來的誤差影響會越來越小，更加接近于能量法的假設(shè)(2)情況。由此可知，只有當實際情況越符合材料力學能量法所給的假設(shè)情況時，依據(jù)能量法計算得到的結(jié)果越精確?？梢酝普?，當質(zhì)量比越來越大時，能量法求得的最大接觸應(yīng)力與彈性動力學理論解的比值將趨向于1，但總是小于1。

表1 質(zhì)量比對σd,max/σmax 和σd,max/σFE,max 的影響

在圖5 中，給出了當質(zhì)量比m變化時，材料力學能量法和彈性動力學理論預測的最大接觸應(yīng)力。可以發(fā)現(xiàn)，除去質(zhì)量比趨近于零的區(qū)域，對于給定的m，材料力學預測的最大接觸應(yīng)力與彈性動力學理論值的差值約為1，即兩者求得的最大接觸應(yīng)力相差一個初始接觸應(yīng)力?；诖耍瑢Ρ締栴}中材料力學的結(jié)果進行修正，即在原解的基礎(chǔ)上加上初始接觸應(yīng)力，則式(4) 變?yōu)?/p>

由圖5 可見，修正后的材料力學能量解與彈性動力學理論解幾乎重合，有興趣的同學可以想一想為什么會出現(xiàn)這種情況，是巧合還是有某種原因呢？

圖5 不同方法預測的最大接觸應(yīng)力-質(zhì)量比曲線

3 結(jié)語

實際的沖擊問題會涉及沖擊物的變形及反彈、沖擊物與被沖擊物的二次撞擊、被沖擊物的振動等力學現(xiàn)象，很難滿足材料力學能量法中的全部基本假設(shè)。本文僅對桿件承受軸向撞擊這一簡單的沖擊問題進行了研究，對于材料力學中更復雜的沖擊問題也可做類似研究，以揭示更多的力學現(xiàn)象和規(guī)律。一個力學模型所采用的基本假設(shè)恰恰限定了該理論的適用范圍，材料力學中的能量法只能對沖擊問題以“靜” 代“動” 進行近似分析。當實際的沖擊問題與基本假設(shè)相去甚遠時，運用該理論預測的結(jié)果必定誤差較大。在材料力學的教學過程中，教師應(yīng)當重視對基本假設(shè)的講解和培養(yǎng)學生根據(jù)實際問題抓住主要矛盾進行合理假設(shè)和簡化的能力，這對于學生分析和解決實際工程問題是非常重要的。