吉林長(zhǎng)春吉大附中力旺實(shí)驗(yàn)小學(xué)（130000） 孫 妍

基于度量這一重要數(shù)學(xué)思想，對(duì)教材相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合、并構(gòu)、優(yōu)化，形成環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)脈絡(luò)，既是單元主題教學(xué)的初衷也是其歸宿。這樣的單元主題教學(xué)不僅能扎實(shí)聚焦具體模塊知識(shí)的育人功能，而且能夠在全局視野下統(tǒng)整知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的雙向接軌。

一、把握學(xué)科核心概念實(shí)質(zhì)及其思想方法

1.界定度量核心概念

數(shù)學(xué)核心概念是承載數(shù)學(xué)思想和方法的基石。史寧中教授認(rèn)為度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。龐加萊認(rèn)為如果沒(méi)有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間。度量是人們對(duì)客觀事物某一方面屬性的數(shù)值化表示。進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，度量就是將一個(gè)待測(cè)量和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量（度量單位）進(jìn)行比較，待測(cè)量中所含的標(biāo)準(zhǔn)量的個(gè)數(shù)就是度量的數(shù)值化結(jié)果。度量作為刻畫(huà)客觀事物的方法，解決了從定性描述向定量描述過(guò)渡的問(wèn)題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》明確了“圖形與幾何”的主要內(nèi)容之一便是圖形的度量。圖形的度量一般是對(duì)圖形的長(zhǎng)度、面積、體積進(jìn)行度量。

2.發(fā)展度量意識(shí)，突出“單位”思想

對(duì)任何待測(cè)對(duì)象的量化，都必須使用統(tǒng)一的度量單位，這體現(xiàn)了“單位”作為度量?jī)?nèi)核的突出地位。將某一規(guī)定長(zhǎng)度單位沿線性方向延展或細(xì)分，會(huì)衍生出新的長(zhǎng)度單位，并得到相鄰長(zhǎng)度單位間的進(jìn)率；根據(jù)面積單位與長(zhǎng)度單位間的關(guān)聯(lián)，將面積單位向平面內(nèi)兩個(gè)維度延展或細(xì)分，會(huì)衍生出新的面積單位，并由此獲得相鄰面積單位間的進(jìn)率；將體積單位向空間內(nèi)三個(gè)方向延展或細(xì)分，會(huì)衍生出新的體積單位，并得到相鄰體積單位間的進(jìn)率。在初步借助實(shí)物或圖形建立單位表征、獲得感性認(rèn)識(shí)后，通過(guò)不斷實(shí)踐，逐步形成量的抽象與思維形象的融通，使得“單位”思想不斷深入、量感不斷發(fā)展。在這樣螺旋上升的探索中，從學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位中收獲的經(jīng)驗(yàn)不斷遷移至面積、體積單位的構(gòu)建中，圖形的度量單位逐漸切實(shí)“著陸”于學(xué)生頭腦中。

二、基于核心概念的單元課程組織架構(gòu)

1.確立以度量為主題的單元課程教學(xué)

數(shù)學(xué)單元教學(xué)基于特定目標(biāo)與主題，以教材為載體，對(duì)內(nèi)在依存性強(qiáng)、蘊(yùn)含共性特征較多的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整合與重組，以單元為單位實(shí)施整體框架架構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)少量主題深度覆蓋核心內(nèi)容的教學(xué)效果?！坝么蟾拍罱y(tǒng)領(lǐng)全局，圍繞大主題，開(kāi)展大單元教學(xué)”成為度量主題教學(xué)的典范模式。利用大概念組織教學(xué)，需要改變以往單元教學(xué)均衡用力的做法，用突出的、具有統(tǒng)領(lǐng)作用的鮮明主題指導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容的規(guī)劃與設(shè)計(jì)；改變過(guò)去各教學(xué)課時(shí)的相對(duì)獨(dú)立狀態(tài)，通過(guò)核心概念實(shí)質(zhì)串聯(lián)整個(gè)單元，溝通各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

北師大版教材將圖形度量?jī)?nèi)容遞進(jìn)式地安排在不同的年段，從長(zhǎng)度、面積到體積，具有螺旋上升的特點(diǎn)，需要教師在教學(xué)中呈現(xiàn)知識(shí)的連貫性及思想的延續(xù)性。在度量主題的引領(lǐng)下，空間維度的擴(kuò)展是學(xué)生在圖形度量領(lǐng)域里獲得的實(shí)質(zhì)飛躍，這種知識(shí)結(jié)構(gòu)的順應(yīng)和同化，為教師組織單元主題教學(xué)提供了契機(jī)。

2.統(tǒng)整“長(zhǎng)方體（二）”單元目標(biāo)，深度覆蓋核心內(nèi)容

單元教學(xué)目標(biāo)的制訂，除了要深挖教材內(nèi)容的實(shí)質(zhì)與內(nèi)核，還要充分關(guān)注目標(biāo)要素之間的聯(lián)系，即具體模塊內(nèi)容之間是怎樣聯(lián)結(jié)的，目標(biāo)指向之間有怎樣的依存關(guān)系。這樣既能夠厘清單元整體的編排思路，又能夠映射出教材背后的思想內(nèi)核。

學(xué)習(xí)過(guò)程中的形成性目標(biāo)是以單元整體目標(biāo)為依據(jù)，用以區(qū)分不同的認(rèn)知層次和學(xué)習(xí)水平，為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)持續(xù)提供有效反饋，幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，最重要的是，使學(xué)生參與到評(píng)價(jià)過(guò)程中，看到自身的進(jìn)步與不足，而非簡(jiǎn)單地進(jìn)行結(jié)果性考試與甄別。據(jù)此，筆者確立了如下表所示的單元目標(biāo)及形成性目標(biāo)。

知識(shí)技能過(guò)程方法 情感態(tài)度單元目標(biāo)（1）通過(guò)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，了解體積（容積）的實(shí)際含義（2）認(rèn)識(shí)常用的體積（容積）單位，感受其大小的實(shí)際意義，掌握單位之間的進(jìn)率轉(zhuǎn)換（3）探索和掌握長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算方法，能解決與其體積有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題（4）探索不規(guī)則物體的體積測(cè)量方法，提高動(dòng)手操作能力，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念（1）通過(guò)比較待測(cè)對(duì)象大小，在直接度量和間接度量中，體會(huì)待測(cè)對(duì)象的可量化屬性（2）經(jīng)歷確定體積（容積）單位的過(guò)程，體會(huì)度量單位的實(shí)際意義，發(fā)展空間觀念，形成體積量感（3）探索長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算方法，發(fā)展推理能力主動(dòng)參與探究活動(dòng)，能夠獨(dú)立思考、合作交流，在過(guò)程中反思、質(zhì)疑形成性目標(biāo)了解體積（容積）是對(duì)物體大小的數(shù)值化描述①了解體積（容積）單位產(chǎn)生的必要性及使用途徑②建立體積（容積）單位的直觀表征，選擇恰當(dāng)?shù)捏w積（容積）單位刻畫(huà)待測(cè)對(duì)象的大?、壅莆阵w積（容積）單位之間的進(jìn)率轉(zhuǎn)換①計(jì)數(shù)長(zhǎng)方體包含的單位體積個(gè)數(shù)②了解抽象單位計(jì)數(shù)與長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系，驗(yàn)證、歸納長(zhǎng)方體的體積公式③建立底面積與（長(zhǎng)×寬）之間的聯(lián)系①根據(jù)體積守恒規(guī)律，利用實(shí)驗(yàn)等多種方法測(cè)量不規(guī)則物體體積②運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法解決問(wèn)題了解體積的度量是對(duì)物體大小的數(shù)值化表示，是對(duì)未知量里含有的單位標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量的計(jì)數(shù)過(guò)程①了解體積與形狀無(wú)關(guān)，而與含有單位體積的數(shù)量有關(guān)②對(duì)物體體積的大小有直觀感覺(jué)，能正確估計(jì)物體的體積①探索過(guò)程中能夠建立聯(lián)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化②根據(jù)聯(lián)系進(jìn)行算法推理、歸納①積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)、獨(dú)立思考，主動(dòng)與同伴合作探究、交流觀點(diǎn)②對(duì)結(jié)論進(jìn)行反思、質(zhì)疑

三、基于教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀，設(shè)計(jì)有價(jià)值的學(xué)習(xí)活動(dòng)

為什么“底面積×高”可以成為所有直柱體體積的通用計(jì)算方法？?jī)H以“長(zhǎng)×寬= 底面積”來(lái)進(jìn)行形式化推理是否可行？事實(shí)上，通過(guò)機(jī)械記憶所形成的數(shù)學(xué)技能往往是片面的，無(wú)法獲得理解、尚未內(nèi)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不利于學(xué)生健全人格的塑造。如何讓學(xué)生理解體積公式的來(lái)龍去脈？學(xué)生對(duì)體積公式的把握應(yīng)到什么等級(jí)？在教學(xué)中如何推動(dòng)學(xué)生的思維進(jìn)階，在舊知中尋找新知的生長(zhǎng)點(diǎn)？

學(xué)習(xí)長(zhǎng)度、面積和體積，學(xué)生勢(shì)必要經(jīng)歷概念的建立、比較方法的運(yùn)用、度量工具的選擇、度量單位的產(chǎn)生等過(guò)程。將點(diǎn)狀知識(shí)連成線，以三個(gè)維度線索鋪面，這樣組建起的系統(tǒng)化認(rèn)知更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，更有利于學(xué)生在頭腦中梳理與溝通長(zhǎng)度、面積和體積三者之間的內(nèi)部聯(lián)系。那么，如何在課堂中引導(dǎo)學(xué)生在已知中探索未知，促進(jìn)學(xué)生深度理解并架構(gòu)空間度量知識(shí)體系呢？筆者結(jié)合單元主題課“長(zhǎng)方體的體積”做具體分析與闡釋。

圖1

學(xué)習(xí)活動(dòng)1：筆者設(shè)計(jì)有數(shù)數(shù)需求的活動(dòng)，并讓學(xué)生在數(shù)數(shù)過(guò)程中思考：數(shù)什么、數(shù)數(shù)能得到什么、是否包含著一些規(guī)律等。利用單位度量即數(shù)數(shù)的方法應(yīng)該貫穿本單元教學(xué)始終。學(xué)生用同樣數(shù)量的小正方體擺成長(zhǎng)方體，再將長(zhǎng)方體切割，還原成小正方體（如圖2），這一過(guò)程多次反復(fù)，將給定的長(zhǎng)方體“結(jié)構(gòu)化”（沿著長(zhǎng)、寬、高平均分割，得小正方體），從而發(fā)現(xiàn)體積公式并積累經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，學(xué)生借此過(guò)程歸納出體積守恒規(guī)律，即小正方體數(shù)量沒(méi)有增減時(shí)，體積不受形狀的影響。

圖2

學(xué)習(xí)活動(dòng)2：在長(zhǎng)方體盒子中擺放小正方體，體會(huì)“一個(gè)一個(gè)地?cái)[，直到擺滿”十分麻煩，迫使學(xué)生思考簡(jiǎn)單的擺放方法，如只沿著長(zhǎng)、寬、高擺一行小正方體，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，為探究體積公式再次積累“分塊”的經(jīng)驗(yàn)（如圖3）。

圖3

學(xué)習(xí)活動(dòng)3：思考在計(jì)算小正方體個(gè)數(shù)時(shí)，“長(zhǎng)×寬”到底是表示底面積還是表示一層的體積（小正方體的個(gè)數(shù)）？其單位是cm2還是cm3？學(xué)生在探究長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法時(shí)，對(duì)體積公式的由來(lái)一般要經(jīng)歷猜想、觀察、操作、歸納等過(guò)程。而針對(duì)“底面積×高”這一表達(dá)方式，常以“底面積”可由“長(zhǎng)×寬”計(jì)算得來(lái)這種類似等量代換的形式一帶而過(guò)。值得正視的是，長(zhǎng)方體的體積公式中的“長(zhǎng)×寬”與長(zhǎng)方體的底面積不能簡(jiǎn)單地等同起來(lái)，兩者在內(nèi)涵上有著根本不同。

學(xué)習(xí)活動(dòng)4：拓展長(zhǎng)方體的體積公式的適用范圍。當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高不是整數(shù)時(shí)，體積公式還適用嗎？（如圖4）對(duì)這一問(wèn)題的探討，是檢驗(yàn)學(xué)生是否真正理解體積公式的時(shí)機(jī)，也是培養(yǎng)學(xué)生度量意識(shí)的主要抓手。

圖4

小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)在于讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在如今的教學(xué)中，無(wú)論是經(jīng)驗(yàn)的累積、基本思想的形成，還是數(shù)學(xué)抽象、推理、建模能力的培養(yǎng)，都早已不是教師的單向輸出，而是與學(xué)生的主動(dòng)參與、獨(dú)立思考和自我建構(gòu)密不可分。度量作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，承載了獨(dú)特且鮮明的學(xué)科育人價(jià)值。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)使學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)建構(gòu)空間度量體系，真正形成數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。