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        判斷函數(shù)奇偶性的三種途徑

        2022-03-09 03:57:32王世輝
        語數(shù)外學習·高中版下旬 2022年12期
        關鍵詞:性質定義途徑

        王世輝

        奇偶性是函數(shù)的重要性質之一.有關函數(shù)奇偶性問題的常見命題形式有:(1)根據(jù)函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性;(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性,求參數(shù)的取值范圍;(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性,求函數(shù)的值;等等.其中,判斷函數(shù)的單調性問題側重于考查函數(shù)奇偶性的定義、簡單基本函數(shù)的性質和圖象.下面,結合實例,重點談一談如何判斷函數(shù)的奇偶性.

        一、根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷

        定義法是判斷函數(shù)奇偶性的基本方法,也是比較常用的方法.若一個函數(shù)的定義域關于原點對稱,即可令 x =- x,求得 f(-x)的表達式,若 f(- x)=f(x),那么就可以判定該函數(shù)f(x)是偶函數(shù);若 f(- x)=-f(x),就可以判定該函數(shù)為奇函數(shù).

        例1.判斷函數(shù) f(x)=|x +1|-|x -1|的奇偶性.

        該函數(shù)的定義域為 R,所以函數(shù)的定義域關于原點對稱,將 f(-x)的表達式進行化簡,并與 f(x)、- f(x)相比較,即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出結論.值得注意的非奇非偶函數(shù)的定義域不關于原點對稱.

        二、根據(jù)函數(shù)的性質判斷

        函數(shù)的性質有很多,如(1)偶函數(shù)的圖象關于y 軸對稱,奇函數(shù)的圖象關于原點對稱;(2)奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù),奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).在判斷函數(shù)的奇偶性時,可巧妙運用簡單基本函數(shù)的這些性質來判斷函數(shù)的奇偶性.也可先根據(jù)題意,將函數(shù)式進行合理的拆分,將其化為兩個函數(shù)的和、差、積、商;再根據(jù)簡單基本函數(shù)的這些性質來判斷函數(shù)的奇偶性.

        例2.已知 g(x)為偶函數(shù),試判斷 f(x)= g(x)?的奇偶性.

        將函數(shù)式 f(x)看成定義域相同的兩個函數(shù) g(x)與 f(x)的積,并分別判斷出這兩個函數(shù)的奇偶性,便可根據(jù)函數(shù)的性質:偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù),判斷出 f(x)的奇偶性.

        三、根據(jù)函數(shù)的圖象判斷

        根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可以出判斷函數(shù)的奇偶性.首先根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫出函數(shù)的圖象;然后仔細觀察函數(shù)在原點左右兩部分的圖象、在 y 軸左右兩部分圖象的特點,并作出判斷.圖象法較為簡單、直觀,解題的關鍵在于根據(jù)題意畫出正確的函數(shù)圖象.在解題時,根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫出函數(shù)的圖象,觀察圖形的特點,就可以判斷出函數(shù)的奇偶性.

        例3.請判斷分段函數(shù) f(x)=〈的奇偶性.

        解:分別作出函數(shù)在 x >0和 x <0時的圖象,如圖所示.通過觀察圖象可知:該函數(shù)關于 y 軸對稱,所以該函數(shù)是偶函數(shù).

        對于一些較為復雜的復合函數(shù)和抽象函數(shù),我們很難畫出其圖象,那么此時就無法根據(jù)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調性,可見,圖象法的適用范圍較小,往往只能用來解答較簡單的函數(shù)以及分段函數(shù)的奇偶性問題.

        值得說明的是,第二種途徑主要適用于解答由幾個簡單函數(shù)復合而成的函數(shù)問題,第三種途徑適用于求解能夠畫出函數(shù)圖象的問題,而第一種途徑的適用范圍就較為廣泛,對于大部分的函數(shù)奇偶性問題,都可以通過該途徑進行求解.(作者單位:江蘇省射陽縣高級中學)

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