丁志清

(東莞理工學(xué)院城市學(xué)院，廣東 東莞 523419)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義有幾種：Grunwald-Letnikov(G-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及Riesz-Feller(R-F)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。分?jǐn)?shù)階微分方程包括分?jǐn)?shù)階常微分方程和分?jǐn)?shù)階偏微分方程。分?jǐn)?shù)階偏微分方程又分時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程(時(shí)間導(dǎo)數(shù)是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù))，空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程(空間導(dǎo)數(shù)是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù))以及空間時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程(時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)均是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù))三大類。從實(shí)際問題背景中可以抽象出分?jǐn)?shù)階微分方程。Benson等人在討論Levy運(yùn)動(dòng)時(shí)分別提出了分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck方程和空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程，通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比證實(shí)了用分?jǐn)?shù)階方程模擬Levy運(yùn)動(dòng)確實(shí)有很好的近似，并指出分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程能更精確地模擬具有長(zhǎng)尾性態(tài)的溶質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程。Chumer等人在研究多孔介質(zhì)中溶質(zhì)傳輸?shù)腅ulerian估計(jì)時(shí)，用分?jǐn)?shù)階Fick定律代替?zhèn)鹘y(tǒng)的Fick定律得到分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解的求解主要有兩種，一是積分變換及其逆變換方法，主要的積分變換方法有Laplace變換、Fourier變換和Mellin變換。二是分離變量法，其解析解的形式通常是用Green函數(shù)的卷積形式或用特殊函數(shù)的級(jí)數(shù)形式來表示。Liu等人考慮了時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程，利用Mellin和Laplace變換得到了方程的基本解，其表達(dá)式是一個(gè)Fox函數(shù)，Huang和Liu考慮了空間-時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的解析解。

對(duì)于一般的分?jǐn)?shù)階微分方程，如變系數(shù)微分方程，無法求出其解析解，有些方程的解析解大都含有特殊函數(shù)，很難近似計(jì)算出來，故研究分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解非常重要。近年來，反常擴(kuò)散現(xiàn)象引起了人們的極大關(guān)注，廣泛出現(xiàn)在等離子體、核磁共振、湍流、分形多孔介質(zhì)、滲透媒介以及某些不純介質(zhì)中。正常擴(kuò)散粒子的運(yùn)動(dòng)為布朗運(yùn)動(dòng)，本質(zhì)上是一種馬爾可夫局域性的運(yùn)動(dòng)，而對(duì)于反常擴(kuò)散則是非馬爾可夫非局域性的運(yùn)動(dòng)，為描述這種非局部擴(kuò)散現(xiàn)象，需要用分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散(反應(yīng)-擴(kuò)散，對(duì)流-擴(kuò)散)方程來代替整數(shù)階擴(kuò)散(反應(yīng)-擴(kuò)散，對(duì)流-擴(kuò)散)方程。

本文考慮下列分?jǐn)?shù)階平流-擴(kuò)散方程(FDAE)的初邊值問題

(1)

u(x,t=0)=g(x)

(2)

u(0,t)=φ(t),u(Q,t)=φ(t)

(3)

方程(1)描述了粒子的反常擴(kuò)散現(xiàn)象，文獻(xiàn)[1]中給出了方程的隱式有限差分格式

(4)

對(duì)隱式有限差分格式(4)，利用Fouier分析方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)τ和空間步長(zhǎng)h比值滿足一致有界性，令cn和un是差分方程(4)的兩個(gè)解。

(5)

其中i=1,2,…,m-1,k=0,1,…,n-1.

(6)

將εk(x)在x∈[0,Q]上展開成Fourier級(jí)數(shù)：

(7)

(8)

(9)

引理1 設(shè)ρk(k=1,…,n)是(9)的解，則存在常數(shù)M>0，使得|ρk|≤eM(k-1)τ|ρ0|。

證明：采用數(shù)學(xué)歸納法。

當(dāng)ω=0時(shí)，則μ=0，結(jié)論顯然成立。

假設(shè)|ρj|≤eM(j-1)τ|ρ0|(j=1,2,…,k-1).則有

≤eMτeM(k-2)τ|ρ0|=eM(k-1)τ|ρ0|.

定理1 隱式有限差分方法(4)是無條件穩(wěn)定的。

證明：由于(k-1)τ≤T,由引理1可得|ρk|≤eM(k-1)τ≤eMT|ρ0|≤K|ρ0|.

根據(jù)上式以及(8)式，得‖εk‖L2≤K‖ε0‖L2,k=1,2,…,n.即(6)式成立，從而隱式有限差分方法無條件穩(wěn)定。