王志平，傅敏，王沛文

(1.大連海事大學(xué)理學(xué)院，大連 116026; 2.大連海事大學(xué)航運(yùn)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，大連 116026)

目前，多屬性群決策問題正在應(yīng)用于生活中多個領(lǐng)域，如供應(yīng)商選擇[1]、軟件質(zhì)量評價[2]、和緊急決策制定[3]等。多屬性決策問題是現(xiàn)代決策科學(xué)的一個重要組成部分，即一個決策者基于多個屬性來選擇一個最優(yōu)的方案[4]?？紤]到?jīng)Q策問題的性質(zhì)，可以將此問題分成兩類；即個人決策和群體決策。多屬性群決策問題考慮的是一些個人視角很難完成的決策，就需要從多視角去做出判斷的問題。因此，多屬性群決策問題的決策方法的研究十分必要，尤其是模糊信息和猶豫決策這兩個方面已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的重要研究領(lǐng)域[5]。

生活中，當(dāng)面對決策環(huán)境不確定或者比較復(fù)雜的問題時，人們很難直接給出精確的數(shù)值給出符合客觀實際情況的理智判斷，多數(shù)情況只能結(jié)合自己對評價方案的主觀認(rèn)識用不確定的語言來表達(dá)偏好。因此，研究各種語言信息模型是非常必要的。Zadeh[6]提出了傳統(tǒng)的模糊集的概念，但是隨著社會的發(fā)展，模糊集漸漸地?zé)o法表示完整的決策問題；針對多屬性群決策問題，猶豫模糊集作為模糊集的延伸由Torra等[7]提出，它克服了決策過程中的猶豫性和模糊性。然而，猶豫模糊集在表示各個隸屬度的概率時是假設(shè)全都相等的，顯然，這與每個決策者的個人情況是有差異的這一現(xiàn)實情況相悖，所以，它無法完整的描述決策者對不同隸屬度的偏好程度。為了克服猶豫模糊集的缺點(diǎn)，更加精準(zhǔn)的表達(dá)決策信息，Chen等[8]提出了概率猶豫模糊集的概念，相比于猶豫模糊集增加了每個隸屬度的概率信息，可以更精準(zhǔn)的表達(dá)決策者偏好；隨后在該環(huán)境下，Zhou[9]開始定義概率猶豫模糊集的距離測度并且應(yīng)用于緊急決策中；Wang[10]提出了得分函數(shù)，偏差度函數(shù)和概率猶豫模糊集的比較運(yùn)算法則；雖然，目前基于概率猶豫模糊環(huán)境下的多屬性群決策方法多種多樣，層出不窮，但是對于考慮決策者心理行為的方法的研究還是不夠深入，而且現(xiàn)在大多數(shù)基于概率猶豫模糊環(huán)境的多屬性群決策的方法研究正有意的回避這一方面[11]；然而，來自行為領(lǐng)域的研究表明決策者在做決策的時候并不總是完全理性的，心理側(cè)寫在決策管理系統(tǒng)中對決策過程至關(guān)重要。前景理論，作為一種最合適的方法來描述決策者的心理偏好，在模糊環(huán)境中已經(jīng)被廣泛使用[12]。Wang等[13]將前景理論與逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS)法用傳統(tǒng)的方式相結(jié)合應(yīng)用在猶豫模糊環(huán)境下；Yang[14]用后悔理論和前景理論相結(jié)合的方法在以區(qū)間數(shù)為決策信息的情況下，解決了隨機(jī)多屬性決策問題；Dai[15]通過定義畢達(dá)哥拉斯模糊集的距離測度，結(jié)合前景理論和后悔理論提出了兩種求解隨機(jī)多屬性決策問題的方法；Xie[16]將直覺模糊決策矩陣轉(zhuǎn)化為求解區(qū)間值直覺的前景決策矩陣去解決多屬性決策問題，也取得了一定成果；Ding等[17]又開發(fā)了一種動態(tài)的基于前景理論和區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集的方法用于緊急決策的語言變量；朱興林等[18]又創(chuàng)新性的將前景理論結(jié)合理想解法應(yīng)用到了直覺梯形模糊環(huán)境下，解決了應(yīng)急預(yù)案模型的評估問題；Liang等[19]將前景理論與概率猶豫模糊語言進(jìn)行了結(jié)合；高建偉等[20]在此基礎(chǔ)上對前景理論進(jìn)行拓展為累計前景理論在概率猶豫模糊語言環(huán)境下進(jìn)行多屬性決策問題的分析。目前，關(guān)于應(yīng)用前景理論的多屬性決策方法,大多數(shù)是基于屬性值是直覺模糊數(shù)、猶豫模糊語言、概率語言等，對于采用屬性值是概率猶豫模糊語言的少有研究，有的該方面的研究又只考慮了主觀決策偏好卻忽略了客觀求解帶來的準(zhǔn)確性，雖然解決了決策者心理行為對決策結(jié)果的影響，但又過分的只考慮了心理行為的影響，沒有進(jìn)行主客觀因素的共同結(jié)合，并且在研究中沒有對決策者權(quán)重進(jìn)行求解，僅依靠主觀人為給定，對結(jié)果來說缺乏說服性。為此，提出了在該環(huán)境下既有主觀偏好有考慮客觀計算二者結(jié)合的方式進(jìn)行多屬性決策問題的研究。

綜上所述，提出了基于概率猶豫模糊環(huán)境下的前景理論和TOPSIS法結(jié)合的多屬性決策方法。首先，對初始決策信息按照概率猶豫模糊語言規(guī)范法則進(jìn)行規(guī)范化處理，并且結(jié)合群體一致性原則提出了新的對決策者權(quán)重系數(shù)調(diào)節(jié)方法，來使評估結(jié)果更接近實際情況以及增強(qiáng)決策結(jié)果的說服性；其次，采用熵值法求解屬性權(quán)重，避免僅依靠主觀賦權(quán)造成的評估結(jié)果與實際偏差較大的情況；然后將前景理論思想和TOPSIS法相結(jié)合進(jìn)行排序擇優(yōu)；最后，和其他方法的結(jié)果進(jìn)行對比分析，用實例驗證本文方法的可行性和合理性。

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 概率猶豫模糊集

定義1[19]給定任意非空集合X，則定義在有限集合X上的一個概率猶豫模糊集可表示為

H={〈x,h(p)|x∈X}

(1)

不完全的概率猶豫模糊集可進(jìn)行歸一化處理，可表示為

(2)

式(2)中：Pi為歸一化處理之后的第i個概率猶豫模糊術(shù)語集；i為序號；#h為一個概率猶豫模糊集合中概率猶豫模糊元的個數(shù)；pi為初始評價矩陣中的第i個概率猶豫模糊術(shù)語集。

(3)

(4)

定義4[11]設(shè)h1(p)和h2(p)為兩個概率猶豫模糊集，如果兩者的元素數(shù)量相同，則#h1=#h2=#h，同時給出兩個概率猶豫模糊集的歐式距離測度公式為

(5)

定義6[9]設(shè)是一個概率猶豫模糊集，其得分函數(shù)定義為

(6)

基于得分函數(shù)，其偏差度函數(shù)可定義為

(7)

在得分函數(shù)和偏差度函數(shù)的基礎(chǔ)上，任意兩個概率猶豫模糊元h1(p1)和h2(p2)可按照以下原則進(jìn)行比較：①如果s1[h(p1)]>s2[h(p2)]，則h1(p1)>h2(p2)；②如果s1[h(p1)]d2[h(p2)]，則h1(p1)h2(p2)。其中，s1、s2分別為h1(p1)、h2(p2)的得分函數(shù)值；d1、d2分別為h1(p1)、h2(p2)的偏差度函數(shù)值。

1.2 前景理論

前景理論又稱效用理論，是考慮決策者在決策過程中的不完全理性的心理行為[12]。一般認(rèn)為，前景價值越大，備選方案越好。前景值的大小表現(xiàn)在價值函數(shù)v(Δx)的大小，即與參考點(diǎn)的偏差程度，表示決策者的心理行為，其表達(dá)式為

(8)

式(8)中：Δx為收益或者損失值，即與參考點(diǎn)的差值，Δx≥0為決策點(diǎn)超出參考點(diǎn)的值，反之亦然；α和β分別為決策者對收益和損失的敏感系數(shù)，滿足α<0和β<1，α和β的值越大，表明決策者愿意承擔(dān)的風(fēng)險越大；θ為決策者對損失和收益的風(fēng)險敏感性，θ>1表示決策者對損失更敏感。

依據(jù)研究可知，一般情況下，V(0)=0,α=β=0.88,θ=2.25。

前景理論值是基于每個備選方案距離參考點(diǎn)的收益或損失的距離。因此，前景理論的關(guān)鍵是選擇一個合適的參考點(diǎn)，通常情況下，選取數(shù)據(jù)的中間值、期望、積極和消極的解作為理想?yún)⒖键c(diǎn)。選擇備選方案與正理想點(diǎn)之間的距離作為參考來得到偏差程度。

(9)

圖1 技術(shù)路線圖

2 概率猶豫模糊多屬性決策方法

2.1 多屬性群決策問題描述

表1 決策者k的決策矩陣

2.2 調(diào)節(jié)決策者權(quán)重系數(shù)

為了使決策結(jié)果盡可能的接近事實，考慮到直接給出決策者權(quán)重主觀性太強(qiáng)，同時可以降低專家在地位、受教育程度、相關(guān)經(jīng)驗以及知識了解水平等方面對決策信息帶來的非公正影響。Mao等[21]提出了對決策者權(quán)重進(jìn)行重新調(diào)節(jié)的解決方法。依據(jù)不同決策者給出的不同決策信息，結(jié)合主觀賦權(quán)和客觀計算的方式得到相應(yīng)的決策者權(quán)重調(diào)節(jié)系數(shù)，如果決策者的評價信息一致時，則給出擁有更高地位、經(jīng)驗更豐富以及知識水平更高的決策者dk更高的調(diào)節(jié)系數(shù)；否則當(dāng)評價信息不一致時，那么相應(yīng)的權(quán)重調(diào)節(jié)系數(shù)較低。

(10)

(11)

式(11)中：ρkr為專家k和專家r兩位決策者的一致性程度；l為決策術(shù)語中元素的個數(shù)。

ρk表示決策者dk與其他決策者的一致性程度，也就是說決策者dk提供的評價信息在整個評價小組中的受支持程度。同時反映了決策者dk的重要性。在某種程度上來講，如果dk越重要，相應(yīng)的調(diào)節(jié)系數(shù)ρk越大，那么決策者dk權(quán)重應(yīng)當(dāng)適當(dāng)增加。因此，由事先賦予的主觀決策者權(quán)重ηk和調(diào)節(jié)系數(shù)ρk來最終確定決策者權(quán)重θk。

(12)

2.3 熵值法確定屬性權(quán)重模型

通常情況下，如果所有備選方案在一個評價屬性下的評價值之間的差異越小，則表明這一屬性對備選方案的選擇與排序所起的作用越小反之，若所有備選方案在某一個評價屬性下的評價值偏差很大，就說明該屬性對決策起的作用相對較大。因此，就決策方案進(jìn)行優(yōu)劣排序的角度考慮備選方案之間評價屬性值偏差越大應(yīng)賦予的權(quán)重越大，那么就可以用熵值作為信息不確定性的度量。

根據(jù)以上思想，利用熵值法確定評價屬性權(quán)重的基本步驟如下。

步驟3將距離矩陣D=(dij)m×n利用標(biāo)準(zhǔn)化公式轉(zhuǎn)化為規(guī)范化的距離矩陣P=(pij)m×n，其中pij可表示為

(13)

式(13)中：dij為距離矩陣中第i行第j列的值；pij為規(guī)范化的距離矩陣中第i行第j列的值。

步驟4根據(jù)熵值法求解公式，求出評價屬性j下的熵值為

(14)

式(14)中：k=1/lnn且k>0為常數(shù)；Gj≥0,j=1,2,…,n。

步驟5最后得到各個評價屬性的權(quán)重，可表示為

(15)

2.4 基于前景理論和TOPSIS思想確定方案排序

針對在屬性權(quán)重、專家權(quán)重都未知的情況下，利用群體一致性調(diào)節(jié)法和熵值法對決策者、屬性權(quán)重進(jìn)行求解之后，提出了一種基于前景理論和TOPSIS用非傳統(tǒng)方式進(jìn)行結(jié)合的排序方式，來解決多屬性群決策問題，利用以下步驟構(gòu)建整體算法模型。

(16)

(17)

(18)

(19)

步驟5計算前景值與理想前景值的加權(quán)距離，計算公式分別為

(20)

(21)

式中：d(a,b)=|a-b|。

(22)

(23)

(24)

3 實例分析

3.1 問題描述

實例源自文獻(xiàn)[19]，假設(shè)先有3位車輛專家對5款車(別克A1、豐田A2、福特A3、奧迪A4、特斯拉A5)的安全性能進(jìn)行評價排序，選取能夠反映其安全性能的5個屬性C={C1,C2,…,C5}，其中C1為剎車系統(tǒng)、C2為防抱死系統(tǒng)、C3為穩(wěn)定性系統(tǒng)、C4為安全氣囊系統(tǒng)、C5為車身薄板。3位車輛專家用D={D1,D2,D3}表示，并且這3位專家針對這5款汽車的5個屬性給出了概率猶豫模糊決策矩陣。專家給出的主觀屬性權(quán)重均為0.2以及根據(jù)經(jīng)驗給出的專家初始權(quán)重分別為0.4、0.4和0.2。

3.2 問題求解

步驟1對初始決策矩陣根據(jù)式(2)和定義2進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣(表2～表4)，再根據(jù)式(10)～(12)得到用一致性思想調(diào)節(jié)后的專家權(quán)重θ=(0.392 8,0.399 2,0.208 0)T，精確到一位小數(shù)可得到?jīng)Q策者最終權(quán)重為θ=(0.4,0.4,0.2)T。

表2 專家1給出的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

表3 專家2給出的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

表4 專家3給出的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

表5 專家整體加權(quán)決策矩陣

步驟3根據(jù)式(16)～式(17)分別計算正、負(fù)前景值矩陣結(jié)果為

(25)

(26)

步驟4分別按照式(18)～式(19)計算正、負(fù)向前景值的矩陣的積極的理想解V(+)+、V(-)+和消極的理想解V(+)-、V(-)-，結(jié)果為

V(+)+={0.225 1,0.120 8,0.140 6,0.179 6,0.189 8}，V(+)-={0.019 7,0.057 5,0.045 0,0,0.049 1}，V(-)+={-0.478 4,-0.410 7,-0.434 2,-0.506 5,-0.426 7}，V(-)-={0,-0.278 6,-0.220 5,-0.137 0,-0.110 0}。

步驟5利用式(20)～式(21)分別計算前景值與理想前景值的加權(quán)距離。

3.3 對比分析

為了證明所用方法的可行性及有效性，將其與其他方法進(jìn)行了比較：①本文方法與文獻(xiàn)[19]方法進(jìn)行比較；②本文方法與相對熵及TOPSIS法進(jìn)行比較。3種模型的方案比較結(jié)果如表6所示。

表6 不同方法排序結(jié)果

3.3.1 與文獻(xiàn)[19]方法比較結(jié)果分析

為了更加符合客觀事實，在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上對專家權(quán)重系數(shù)進(jìn)行了一致性調(diào)節(jié)；改變了屬性權(quán)重的求解方式：文獻(xiàn)[19]采用主客觀相結(jié)合來求得屬性權(quán)重而排序方式又是單純的考慮心理行為的前景理論，因此整個模型來看偏主觀因此，所提出的方法使用熵值法使用主觀評價信息來客觀求解屬性權(quán)重，過程簡便、效果直觀；在排序方式上也做到了主客觀相結(jié)合方式在保留前景理論的基礎(chǔ)上對前景值進(jìn)行逼近理想解法的計算，最終獲得接近現(xiàn)實的結(jié)果。從表6來看，文獻(xiàn)[19]的結(jié)果為特斯拉是最優(yōu)選擇，而所得出的結(jié)果為奧迪是最優(yōu)選擇，兩者之所以有差異，可能是因為專家權(quán)重直接給出，主觀性太強(qiáng)也可能是因為特斯拉作為一款非傳統(tǒng)品牌的新能源汽車，有些專家對于新事物的憧憬，造成了主觀偏愛。因此本文方法更接近現(xiàn)實情況并更具有說服力。

3.3.2 與用相對熵及TOPSIS法比較結(jié)果分析

從表6可知，兩種方案的比較結(jié)果只有別克和特斯拉存在差異，而二者排名只有一名之差，說明文獻(xiàn)[19]的方法確實偏主觀;本文方法在調(diào)節(jié)了專家權(quán)重系數(shù)、改變屬性求解方式以及考慮了心理行為之后得到的結(jié)果依然是奧迪，因此證明了本文方法是可行的。

4 結(jié)論

所提方法基于文獻(xiàn)[19]完善了決策者權(quán)重系數(shù)的調(diào)節(jié)，用相對簡便的算法——熵值法對屬性權(quán)重進(jìn)行求解，并在原有方法的基礎(chǔ)上將前景理論與TOPSIS進(jìn)行非傳統(tǒng)式結(jié)合，對最終決策模型進(jìn)行完善，得出如下主要結(jié)論。

(1)利用調(diào)節(jié)決策者權(quán)重系數(shù)的方法，確定了客觀專家權(quán)重，將主、客觀權(quán)重進(jìn)行結(jié)合，得到綜合決策者權(quán)重值。

(2)利用熵值法，確定了屬性權(quán)重值。

(3)在概率猶豫模糊環(huán)境下，將前景理論和TOPSIS進(jìn)行結(jié)合，得到最終排序結(jié)果。

本文方法在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，但還存在一些問題有待深究。如未來可以對求解概率猶豫模糊術(shù)語集之間的距離的公式進(jìn)行改進(jìn)等。