四川省資陽中學 王冬勤 王海清 （郵編：641300）

函數(shù)是高考考查的重點、熱點，特別是關(guān)于抽象含參不等式性質(zhì)，主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，其綜合性強，對思維能力要求高，對于高一學生來說，難度大.為了突破這一難點，筆者利用深度學習理念，進行了一次“一類含參不等式”微設計專題研究，宏觀把握函數(shù)性質(zhì)，精心設計教學內(nèi)容，精準提高教學效果，逐步提高學生數(shù)學素養(yǎng).

1 教學分析

教學中使學生獲得一類抽象含參不等式的解決辦法，鞏固必修一對于函數(shù)單元的編排，即研究函數(shù)的兩域三性（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性），有助于學生在形成知識體系的同時，發(fā)展相應的核心素養(yǎng).

2 教學目標

教學要點f（）＜ f（）f（）+f（）＜ 0 f（）+f（）＜ a f（）＜ f2（）/af（）核心素養(yǎng)①數(shù)學建模②數(shù)學抽象③直觀想象④數(shù)學運算⑤邏輯推理考法指津（1）函數(shù)單調(diào)性、奇偶性（2）理解函數(shù)基本模型，并對其余模型進行有效轉(zhuǎn)化（3）注意定義域優(yōu)先的原則（4）積累常見的奇偶函數(shù)（5）逐漸掌握對抽象函數(shù)的研究

3 教學方法

以題組為架構(gòu)，開展基于深度學習的主題單元教學.

4 教學過程

題組 1 ：基本模型——f（）＜f（）型/f（）+f（）＜ 0型

（1）已知函數(shù)f（x）＝log2|x-1|+x2-2x+1，則f（2x-1）＜f（x+1）的解集為______.

思路探尋由已知可得f（x）是關(guān)于x＝1對稱的函數(shù)，且當x∈（1，+ ∞）時，f（x）單調(diào)遞增 ，故|2x-1-1|＜|x+1-1|，兩 邊 平 方 ，得此思路忽略定義域優(yōu)先的原則，即忽略定義域為{x|x∈R，且x≠1}.

方法點睛根據(jù)條件，明確定義域，故f（x）是定義在 （-∞，1）∪（1，+ ∞）上的關(guān)于x＝1對稱的函數(shù)，并在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增，故由題設條件得解之得

（2）已知函數(shù)f（x）＝，若對任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜ 0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍為_____.

思路探尋因為f（x）為奇函數(shù)，故原式為f（t2-2t）＜f（k-2t2），即t2-2t＜k-2t2，3t2-2t＜k，解 之 得k＞（3t2-2t）max，即 范 圍 為此 思 路 忽 略f（x）的 單 調(diào) 性 ，從f（t2-2t）＜f（k-2t2）直接過渡到t2-2t＜k-2t2，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬐评?，另此思路中?t2-

方法點睛f（）+f（）＜ 0型，必然隱含f（x）為奇函數(shù)，需要說明其奇偶性.可化為f（）＜f（）型，去掉法則f，必須說明其單調(diào)性，此為關(guān)鍵.f（x）單調(diào)性證明略，顯然f（x）單 調(diào) 遞 減.t2-2t＞k-2t2，解 之 得k＜（3t2-2t）min，即范圍為

題組2：化為基本模型——f（）+f（）＜ a型

思路探尋我們認識f（）+f（）＜0型，可此時右側(cè)為常數(shù)-2，怎么辦呢？對，移項變成0.設g（x）＝f（x）+1，g（2a-1）+g（a2-2）≤ 0，進而研究g（x）是否為奇函數(shù)，以及g（x）在（0，+∞ ）的單調(diào)性.

方法點睛設g（x）＝f（x）+1＝log2（x+由g（x）＝log2（x+即g（-x）＝-g（x），故g（x）為R上奇函數(shù)，且由g（x）＝log2（x+x2+1 ）+，得g（x）在 （0，+ ∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即g（x）在 R 內(nèi) 單 調(diào) 遞 增 ，g（2a-1）≤g（2-a2），2a-1≥ 2-a2，解之得a∈[-3，1].

思路探尋同第3題，設g（x）＝f（x）-1＝則 原 式 為g（4-ma）+g（m2+3m）＞0，進而研究g（x）是 R 上的奇函數(shù)，及g（x）在 （0，+ ∞）上 的 單 調(diào) 性.提 公 因 式x2，，易知g（x）為R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增.則原式為g（4-ma）＞g（-m2-3m），4-ma＞-m2-3m，存在m∈（1，4），使m2+3m-ma+4＞0恒成立.分離參數(shù)后為，即故實數(shù)的范圍為a∈（-∞，8）.

方法點睛此題不同于第3題在于奇偶性需要 提 出 公 因 式x2，再 通 分 易 見g（x）＝x2（1-我們可以總結(jié)，當f（x）＝形式時，可證奇偶性，當形式時，易見單調(diào)性.

題組 3：化為基本模型——f（）＜ f2（）/af（）型

（5）設f（x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，且當x≥ 0時，f（x）＝ex.若對任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，則實數(shù)a的最大值？

思路探尋我們熟悉f（）＜f（）型，可此時為f（）＜f2（）型，意味著f2（）＝f（），而f（x）＝e|x|，即f2（x）＝e2|x|＝e|2x|＝f（2x），故 原 式 為f（x+a）＜f（2x），由于f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞ ）內(nèi)單調(diào)遞增，故|x+a|＜|2x|在[a，a+1]上恒成立，兩邊平方，得g（x）＝3x2-2ax-a2≤0在[a，a+1]上恒成立，由根的分布可知，解之得故最大值為

方法點睛f（）＜f2（）型，可通過f（x）性質(zhì)，研究f2（）＝f（），此類性質(zhì)對一般指數(shù)函數(shù)具有.

（6）設f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當x≥ 0時，f（x）＝x2.若對任意的x∈[-3，3]，不等式f（x+a）≥ 4f（x）恒成立，求實數(shù)a的范圍.

思 路 探 尋f（x）＝x|x|，4f（x）＝f（2x），故原式為f（x+a）≥f（2x）.由于f（x）是R上的奇函數(shù)，在（0，+ ∞）單調(diào)遞增，即f（x）在 R內(nèi)單調(diào)遞增，故x+a≥2x，即a≥x在x∈[-3，3]上恒成立，故a≥3.

方法點睛f（）＜af（），可通過f（x）的性質(zhì)，研究af（）＝f（），此類函數(shù)一般冪函數(shù)具有.由此可猜想對數(shù)函數(shù)具有性質(zhì)：f（）+f（）＝f（），故也有相關(guān)類型：f（）+f（）＝f（）+f（）等.

5 教學評價

本專題主題教學是基于問題題組形式的案例分析，題組之間的螺旋式進階關(guān)系.提高了學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等數(shù)學學科素養(yǎng)，示錯教學，提高了學生的辨析能力和科研精神.