一個三角形內(nèi)角不等式的加細(xì)
2022-02-28 02:26:02四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校宿曉陽郵編611130
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2022年1期
四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校 宿曉陽 （郵編：611130）
劉保乾先生在文[1]中給出了如下優(yōu)美的三角形內(nèi)角不等式:
在△ABC中，則
其中Σ表示三元循環(huán).
筆者在文[2]中提出并且證明了如下優(yōu)美的三角形內(nèi)角不等式:
在△ABC中，則
通過比較不等式①和②，我們猜測
在△ABC中，有
通過探究不等式③是成立的.本文將給出不等式③的證明，供參考與欣賞.
命題1在△ABC中，有
其中Π表示三元循環(huán)積.
證明由三角形恒等式
于是易知③式等價于
再由三角形恒等式
知不等式⑤等價于
由⑤式及柯西不等式，有
即有
又易知：設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，則
于是在不等式⑧中，令
即得不等式
于是比較不等式⑦和⑨即得不等式（6）成立.故不等式③成立.
注比較不等式②和③即得不等式①的加細(xì).
命題2在△ABC中，有
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