四川成都實驗外國語學校 宿曉陽 （郵編：611130）

劉保乾先生在文[1]中給出了如下優(yōu)美的三角形內角不等式:

在△ABC中，則

其中Σ表示三元循環(huán).

筆者在文[2]中提出并且證明了如下優(yōu)美的三角形內角不等式:

在△ABC中，則

通過比較不等式①和②，我們猜測

在△ABC中，有

通過探究不等式③是成立的.本文將給出不等式③的證明，供參考與欣賞.

命題1在△ABC中，有

其中Π表示三元循環(huán)積.

證明由三角形恒等式

于是易知③式等價于

再由三角形恒等式

知不等式⑤等價于

由⑤式及柯西不等式，有

即有

又易知：設a、b、c是正實數，則

于是在不等式⑧中，令

即得不等式

于是比較不等式⑦和⑨即得不等式（6）成立.故不等式③成立.

注比較不等式②和③即得不等式①的加細.

命題2在△ABC中，有