■胡勛合 劉 艷

物體由一種物理狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N物理狀態(tài)所處的過渡狀態(tài)被稱為臨界狀態(tài)，此時物體需要恰好滿足的物理條件被稱為臨界條件，解答臨界問題的關(guān)鍵是確定臨界狀態(tài)，找到臨界條件。下面我們就一起來研究圓周運(yùn)動臨界問題的分析思路和求解策略吧！

一、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題

物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，若只由摩擦力提供向心力，則恰好不發(fā)生（恰好發(fā)生）相對滑動的臨界條件是物體受到的靜摩擦力達(dá)到最大值；若由摩擦力與其他外力的合力提供向心力，則其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件具體分析判斷。

圖1

例1如圖1 所示，a、b、c三個小物 體放置在勻速轉(zhuǎn)動的大圓盤上，其中物體a的質(zhì)量最大，物體b、c的質(zhì)量相等，物體c距離圓盤中心O最遠(yuǎn)，物體a、b距離圓盤中心O一樣遠(yuǎn)，三個物體與盤面間的動摩擦因數(shù)相等。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速增大時，三個物體就會自動滑向圓盤邊緣。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法中正確的是（ ）。

A.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，三個物體同時開始滑動

B.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體b先開始滑動

C.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體a、c先同時開始滑動

D.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體c先開始滑動

解析

三個物體隨圓盤一起轉(zhuǎn)動，靜摩擦力提供向心力。當(dāng)物體受到的最大靜摩擦力小于物體做圓周運(yùn)動所需的向心力時，物體開始滑動。設(shè)轉(zhuǎn)盤的角速度為ω，則物體做圓周運(yùn)動所需的向心力F＝mω2R，物體受到的最大靜摩擦力f＝μmg，當(dāng)mω2R＞μmg，即ω2R＞μg時，物體開始滑動。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速增大時，角速度ω增大，因為物體c做圓周運(yùn)動的半徑最大，所以物體c先開始滑動，之后隨著圓盤轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，a、b兩物體同時開始滑動。

答案：D

例2如圖2 所示，一根不可伸長的輕繩一端系在質(zhì)量為m的小球A上，另一端系在一根豎直桿上的B點(diǎn)，小球的半徑r＝，B點(diǎn)到球心的距離為l。豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動并達(dá)到穩(wěn)定，當(dāng)豎直桿的角速度ω為多大時，小球恰好離開豎直桿？

圖2

解析

當(dāng)小球恰好離開豎直桿時，小球與豎直桿間的作用力為零，小球在水平面內(nèi)以半徑r做勻速圓周運(yùn)動，小球受到的重力和輕繩的拉力的合力提供小球做圓周運(yùn)動所需的向心力。設(shè)小球恰好離開豎直桿時輕繩與豎直桿間的夾角為α，根據(jù)幾何關(guān)系得sinα＝，沿半徑方向有Tsinα＝mω2r，沿垂直于半徑方向有Tcosα＝mg，解得ω＝。

求解水平面內(nèi)圓周運(yùn)動臨界問題的思路：（1）審清題意，確定研究對象；（2）找到研究對象做圓周運(yùn)動的平面；（3）分析研究對象的運(yùn)動情況，確定其做圓周運(yùn)動的圓心、半徑、線速度、角速度、周期等物理量；（4）分析研究對象的受力情況，畫出受力分析示意圖，確定向心力的來源；（5）確定臨界狀態(tài)下研究對象的受力情況；（6）根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動公式列式求解。

二、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題

物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在中學(xué)階段一般只研究物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動情況，若連接物體的是輕繩（物體沿豎直平面內(nèi)圓環(huán)軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動），則物體受到的重力和輕繩拉力（軌道支持力）的合力提供其做圓周運(yùn)動所需的向心力，輕繩拉力（軌道支持力）等于0是物體能過最高點(diǎn)的臨界條件；若連接物體的是輕桿（物體沿豎直平面內(nèi)圓管軌道運(yùn)動），則物體受到的重力和輕桿的拉力或支持力（圓管外側(cè)或內(nèi)側(cè)的支持力）的合力提供其做圓周運(yùn)動所需的向心力，輕桿表現(xiàn)出的拉力突變?yōu)橹С至Γ▓A管表現(xiàn)出的指向圓心的支持力突變?yōu)楸诚驁A心的支持力）是物體的臨界條件。

圖3

例3如圖3 所示，一光滑的圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，A、B兩點(diǎn)分別為軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)。一個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動。已知小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，下列說法中正確的是（ ）。

A.小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時一定受到軌道對它豎直向上的支持力作用

B.若小球經(jīng)過最高點(diǎn)B時的速度v＝，則軌道對小球的作用力為零

C.若小球經(jīng)過最高點(diǎn)B時的速度v＜，則軌道對小球的作用力豎直向下

D.若小球經(jīng)過最高點(diǎn)B時的速度v＞，則軌道對小球的作用力可能等于0

解析

小球沿光滑的圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動，小球經(jīng)過最低點(diǎn)A時，所需的向心力方向豎直向上，受到的重力方向豎直向下，根據(jù)受力分析可知，必定受到軌道對它豎直向上的支持力作用，選項A正確。小球剛好能過最高點(diǎn)B的臨界條件是受到軌道對它的作用力等于0，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心加速度公式得mg＝man，an＝，解得v＝，選項B正確。當(dāng)v＜時，小球不能到達(dá)最高點(diǎn)B，選項C錯誤。當(dāng)小球經(jīng)過最高點(diǎn)B時的速度v＞時，軌道對小球的作用力一定豎直向下，不可能等于0，選項D 錯誤。

答案：AB

例4如圖4 甲所示，長度為R的輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動。小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，輕桿與小球間的彈力大小為N，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，N-v2圖像如圖4乙所示。下列說法中正確的是（ ）。

圖4

A.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮锽.小球的質(zhì)量為

C.當(dāng)v2＝c時，輕桿對小球的彈力方向向上

D.若v2＝2b，則輕桿對小球的彈力大小為mg

解析

輕桿對小球既可以產(chǎn)生拉力，也可以產(chǎn)生支持力。當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，若v＝0，則N＝a＝mg；若N＝0，則mg＝。聯(lián)立以上各式解得g＝，選項A正確，B錯誤。根據(jù)N-v2圖像可知，當(dāng)v2＜b時，輕桿對小球的彈力方向向上，當(dāng)v2＞b時，輕桿對小球的彈力方向向下。因此當(dāng)v2＝c時，輕桿對小球的彈力方向向下，選項C 錯誤。若v2＝2b，則N＋mg＝，解得N＝a＝mg，選項D 正確。

答案：AD

求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動臨界問題的思路：（1）確定研究模型是輕繩模型還是輕桿模型；（2）分析研究對象的運(yùn)動情況，確定研究對象的臨界狀態(tài)；（3）分析研究對象的受力情況，畫出臨界狀態(tài)下研究對象的受力分析示意圖；（4）根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動公式列式求解。

感悟與提高

圖5

1.如圖5所示，一根長度l＝1m 的細(xì)線一端拴一質(zhì)量m＝1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐體側(cè)面與豎直方向間的夾角θ＝37°，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動時，若要小球離開錐面，則小球的角速度至少應(yīng)為（ ）。

圖6

2.如圖6 所示，在粗糙木板上放一個物塊，使木板和物塊一起在豎直平面內(nèi)沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動。ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運(yùn)動過程中木板始終保持水平，物塊相對木板始終靜止，下列說法中正確的是（ ）。

A.物塊始終受到三個力作用

B.只有在a、b、c、d四點(diǎn)，物塊受到的合外力才指向圓心

C.從a點(diǎn)到b點(diǎn)，物塊受到的摩擦力先增大后減小

D.從b點(diǎn)到a點(diǎn)，物塊處于失重狀態(tài)

參考答案：1.A 2.D