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        2021年全國新高考Ⅰ卷第22題導數的兩種妙解

        2022-02-25 02:51:10彭耿鈴
        數理化解題研究 2022年1期
        關鍵詞:切線單調導數

        彭耿鈴

        (1.福建省泉州市第七中學 362000;2.福建教育學院數學教育研究所 362000)

        2021年全國新高考數學第22題導數題,考查極值點偏移問題,解法豐富,區(qū)分度較高.試題以常規(guī)的知識和方法為載體,挖掘了數學的學科本質,較好地考查了考生的綜合能力和學科素養(yǎng),有利于科學選拔創(chuàng)新人才.本文旨在探究此題型規(guī)律,提供兩種解題妙法,揭示其解題方法,希望讀者能決勝于2022年高考!

        1 題目呈現

        題目(2021年全國新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調性;

        2 題目解析

        2.1 第(1)問解析

        解析因為f′(x)=-lnx,所以

        當00,則f(x)在(0,1)上單調遞增;

        當x>1時,f′(x)<0,則f(x)在(1,+∞)上單調遞減.

        2.2 第(2)問解析

        解析因為a,b為兩個不相等的正數,且

        blna-alnb=a-b,

        則由(1)可知f(x1)=f(x2),

        且0

        因此(2)等價證明2

        下面先證明:x1+x2>2.

        令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

        則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)

        =-lnx(2-x)>0.

        所以g(x)在(0,1)上單調遞增.

        所以g(x1)=f(x1)-f(2-x1)

        即f(x2)=f(x1)

        又由(1)可知:f(x)在(1,+∞)上單調遞減,

        所以2-x12.

        接下去證明x1+x2

        方法1(利用切線不等式)

        f(x)在點(e,0)處的切線方程為

        h(x)=e-x.

        令φ(x)=f(x)-h(x)=2x-xlnx-e,x∈(0,e),

        則φ′(x)=1-lnx>0.

        所以φ(x)在(0,e)上單調遞增.

        所以φ(x)<φ(e)=0.

        所以x∈(0,e)時,f(x)

        不妨設f(x1)=f(x2)=t,

        則t=f(x2)

        所以t+x2

        又t=f(x1)=x1(1-lnx1),x1∈(0,1),

        所以t=x1(1-lnx1)>x1.

        即x1+x2

        方法2 (構造函數)

        由(1)可知:0

        所以lnx1<0.

        因為f(x1)=f(x2),

        所以x1

        所以x1+x2

        令h(x)=x(1-lnx)+x,x∈(1,e),

        則h′(x)=1-lnx>0.

        所以h(x)在(1,e)上單調遞增.

        所以h(x2)

        以上的兩種證明方法,解題思維更加合理流暢,學生更容易接受.因此我們教師在日常教學中,應引導學生多視角思考,用不同方法解決數學問題,認真提煉和總結解題方法,才能有利于學生開拓數學視野,才能不斷提高學生的邏輯推理能力、分析綜合能力,為學生的多元發(fā)展、持續(xù)發(fā)展、終生發(fā)展奠定良好的基礎.

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