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        2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題導(dǎo)數(shù)的兩種妙解

        2022-02-25 02:51:10彭耿鈴
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:切線單調(diào)導(dǎo)數(shù)

        彭耿鈴

        (1.福建省泉州市第七中學(xué) 362000;2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 362000)

        2021年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)第22題導(dǎo)數(shù)題,考查極值點(diǎn)偏移問題,解法豐富,區(qū)分度較高.試題以常規(guī)的知識(shí)和方法為載體,挖掘了數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì),較好地考查了考生的綜合能力和學(xué)科素養(yǎng),有利于科學(xué)選拔創(chuàng)新人才.本文旨在探究此題型規(guī)律,提供兩種解題妙法,揭示其解題方法,希望讀者能決勝于2022年高考!

        1 題目呈現(xiàn)

        題目(2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        2 題目解析

        2.1 第(1)問解析

        解析因?yàn)閒′(x)=-lnx,所以

        當(dāng)00,則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

        當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

        2.2 第(2)問解析

        解析因?yàn)閍,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且

        blna-alnb=a-b,

        則由(1)可知f(x1)=f(x2),

        且0

        因此(2)等價(jià)證明2

        下面先證明:x1+x2>2.

        令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

        則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)

        =-lnx(2-x)>0.

        所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

        所以g(x1)=f(x1)-f(2-x1)

        即f(x2)=f(x1)

        又由(1)可知:f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

        所以2-x12.

        接下去證明x1+x2

        方法1(利用切線不等式)

        f(x)在點(diǎn)(e,0)處的切線方程為

        h(x)=e-x.

        令φ(x)=f(x)-h(x)=2x-xlnx-e,x∈(0,e),

        則φ′(x)=1-lnx>0.

        所以φ(x)在(0,e)上單調(diào)遞增.

        所以φ(x)<φ(e)=0.

        所以x∈(0,e)時(shí),f(x)

        不妨設(shè)f(x1)=f(x2)=t,

        則t=f(x2)

        所以t+x2

        又t=f(x1)=x1(1-lnx1),x1∈(0,1),

        所以t=x1(1-lnx1)>x1.

        即x1+x2

        方法2 (構(gòu)造函數(shù))

        由(1)可知:0

        所以lnx1<0.

        因?yàn)閒(x1)=f(x2),

        所以x1

        所以x1+x2

        令h(x)=x(1-lnx)+x,x∈(1,e),

        則h′(x)=1-lnx>0.

        所以h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增.

        所以h(x2)

        以上的兩種證明方法,解題思維更加合理流暢,學(xué)生更容易接受.因此我們教師在日常教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多視角思考,用不同方法解決數(shù)學(xué)問題,認(rèn)真提煉和總結(jié)解題方法,才能有利于學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)視野,才能不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力、分析綜合能力,為學(xué)生的多元發(fā)展、持續(xù)發(fā)展、終生發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).

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