彭耿鈴
(1.福建省泉州市第七中學(xué) 362000;2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 362000)
2021年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)第22題導(dǎo)數(shù)題,考查極值點(diǎn)偏移問題,解法豐富,區(qū)分度較高.試題以常規(guī)的知識(shí)和方法為載體,挖掘了數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì),較好地考查了考生的綜合能力和學(xué)科素養(yǎng),有利于科學(xué)選拔創(chuàng)新人才.本文旨在探究此題型規(guī)律,提供兩種解題妙法,揭示其解題方法,希望讀者能決勝于2022年高考!
題目(2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
解析因?yàn)閒′(x)=-lnx,所以
當(dāng)0
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
解析因?yàn)閍,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且
blna-alnb=a-b,
則由(1)可知f(x1)=f(x2),
且0 因此(2)等價(jià)證明2 下面先證明:x1+x2>2. 令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1), 則g′(x)=f′(x)+f′(2-x) =-lnx(2-x)>0. 所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增. 所以g(x1)=f(x1)-f(2-x1) 即f(x2)=f(x1) 又由(1)可知:f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減, 所以2-x1 接下去證明x1+x2 方法1(利用切線不等式) f(x)在點(diǎn)(e,0)處的切線方程為 h(x)=e-x. 令φ(x)=f(x)-h(x)=2x-xlnx-e,x∈(0,e), 則φ′(x)=1-lnx>0. 所以φ(x)在(0,e)上單調(diào)遞增. 所以φ(x)<φ(e)=0. 所以x∈(0,e)時(shí),f(x) 不妨設(shè)f(x1)=f(x2)=t, 則t=f(x2) 所以t+x2 又t=f(x1)=x1(1-lnx1),x1∈(0,1), 所以t=x1(1-lnx1)>x1. 即x1+x2 方法2 (構(gòu)造函數(shù)) 由(1)可知:0 所以lnx1<0. 因?yàn)閒(x1)=f(x2), 所以x1 所以x1+x2 令h(x)=x(1-lnx)+x,x∈(1,e), 則h′(x)=1-lnx>0. 所以h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增. 所以h(x2) 以上的兩種證明方法,解題思維更加合理流暢,學(xué)生更容易接受.因此我們教師在日常教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多視角思考,用不同方法解決數(shù)學(xué)問題,認(rèn)真提煉和總結(jié)解題方法,才能有利于學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)視野,才能不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力、分析綜合能力,為學(xué)生的多元發(fā)展、持續(xù)發(fā)展、終生發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).