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        三道2021年高考數(shù)學(xué)試題的答案解析

        2022-02-25 02:50:36胥植麟
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:乙卷拉格朗切線

        胥植麟

        (云南省昆明市云南師范大學(xué) 650500)

        題1 (2021年高考數(shù)學(xué)乙卷20)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x).已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).

        (1)求a;

        解析(1)因?yàn)閥=xf(x)=xln(a-x),

        因?yàn)楹瘮?shù)y=xln(a-x)在x=0處可導(dǎo),且在x=0處取得極值,

        所以根據(jù)費(fèi)馬引理,得

        f′(0)=0.

        即lna=0,解得a=1.

        (2)根據(jù)第(1)問,得

        f(x)=ln(1-x).

        題目要證明g(x)<1,

        拆成兩項(xiàng),得

        就是要證明

        就是要證明

        (Ⅰ)

        由g(x)的函數(shù)關(guān)系式,得

        g(x)的定義域?yàn)閤<1且x≠0.

        (Ⅱ)

        令φ(t)=lnt,則函數(shù)在[1-x,1]內(nèi)連續(xù),(1-x,1)內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)拉格朗日中值定理,

        所以(Ⅱ)式成立.

        (Ⅲ)

        同樣根據(jù)拉格朗日中值定理,令φ(t)=lnt,

        則函數(shù)在[1,1-x]內(nèi)連續(xù),(1,1-x)內(nèi)可導(dǎo),

        所以(Ⅲ)式成立.

        綜上所述,當(dāng)x<1時(shí),g(x)<1成立.

        題2(2021年高考數(shù)學(xué)乙卷21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上的點(diǎn)的距離最小值為4.

        (1)求P;

        (2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

        所以拋物線C的方程為x2=4y.

        (2)連接AB,由于AB是拋物線C的弦,而PA,PB又是拋物線C的切線,則△PAB為阿基米德三角形.

        由于PA,PB的交點(diǎn)P在圓M上,而圓M上的任意一點(diǎn)都不在拋物線C的準(zhǔn)線上,故弦AB一定不過焦點(diǎn)(0,1).

        設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2),

        則PM為△PAB的中線.

        根據(jù)阿基米德三角形的性質(zhì),PM∥y軸.

        設(shè)弦AB所在的直線方程為y=kx+b,

        代入拋物線C的方程,得

        x2-4kx-4b=0.

        根據(jù)韋達(dá)定理,得

        x1+x2=4k,x1x2=-4b.

        所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(2k,2k2+b),

        因?yàn)镻A,PB是拋物線的切線,

        所以可以得到兩條切線方程,分別是

        yPA:xx1=2(y+y1),

        yPB:xx2=2(y+y2).

        兩式相加,得

        x(x1+x2)=2(2y+y1+y2).

        又x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2b,

        點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為2k,

        聯(lián)立得點(diǎn)p的縱坐標(biāo)為-b.

        所以點(diǎn)p為(2k,-b),

        化簡,得

        因?yàn)槊娣e要最大值,所以負(fù)號(hào)的情況省略,即

        所以f(t)max=f(0).

        所以△PAB面積的最大值在k2=0時(shí)取到.

        (1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.

        令f′(x)=0,因?yàn)閤>0,2x>0,

        所以2-xln2=0.

        因?yàn)閤>0,所以兩邊取對數(shù),得lnxa=lnax.

        由1-lnx=0,解得x=e.

        當(dāng)00,則ψ(x)單調(diào)遞增;

        當(dāng)x>e時(shí),ψ′(x)<0,則ψ(x)單調(diào)遞減.

        當(dāng)x趨近于無窮時(shí),

        由于有不等式

        lnax1,β>0),

        如圖1,ψ(x)與φ(x)在x>0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).

        圖1

        所以只要令a≠e即可滿足條件.

        綜上所述,a>1且a≠e.

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