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        三道2021年高考數學試題的答案解析

        2022-02-25 02:50:36胥植麟
        數理化解題研究 2022年1期
        關鍵詞:乙卷拉格朗切線

        胥植麟

        (云南省昆明市云南師范大學 650500)

        題1 (2021年高考數學乙卷20)設函數f(x)=ln(a-x).已知x=0是函數y=xf(x)的極值點.

        (1)求a;

        解析(1)因為y=xf(x)=xln(a-x),

        因為函數y=xln(a-x)在x=0處可導,且在x=0處取得極值,

        所以根據費馬引理,得

        f′(0)=0.

        即lna=0,解得a=1.

        (2)根據第(1)問,得

        f(x)=ln(1-x).

        題目要證明g(x)<1,

        拆成兩項,得

        就是要證明

        就是要證明

        (Ⅰ)

        由g(x)的函數關系式,得

        g(x)的定義域為x<1且x≠0.

        (Ⅱ)

        令φ(t)=lnt,則函數在[1-x,1]內連續(xù),(1-x,1)內可導,根據拉格朗日中值定理,

        所以(Ⅱ)式成立.

        (Ⅲ)

        同樣根據拉格朗日中值定理,令φ(t)=lnt,

        則函數在[1,1-x]內連續(xù),(1,1-x)內可導,

        所以(Ⅲ)式成立.

        綜上所述,當x<1時,g(x)<1成立.

        題2(2021年高考數學乙卷21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上的點的距離最小值為4.

        (1)求P;

        (2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求△PAB面積的最大值.

        所以拋物線C的方程為x2=4y.

        (2)連接AB,由于AB是拋物線C的弦,而PA,PB又是拋物線C的切線,則△PAB為阿基米德三角形.

        由于PA,PB的交點P在圓M上,而圓M上的任意一點都不在拋物線C的準線上,故弦AB一定不過焦點(0,1).

        設點A坐標為(x1,y1),點B坐標為(x2,y2),

        則PM為△PAB的中線.

        根據阿基米德三角形的性質,PM∥y軸.

        設弦AB所在的直線方程為y=kx+b,

        代入拋物線C的方程,得

        x2-4kx-4b=0.

        根據韋達定理,得

        x1+x2=4k,x1x2=-4b.

        所以點M坐標為(2k,2k2+b),

        因為PA,PB是拋物線的切線,

        所以可以得到兩條切線方程,分別是

        yPA:xx1=2(y+y1),

        yPB:xx2=2(y+y2).

        兩式相加,得

        x(x1+x2)=2(2y+y1+y2).

        又x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2b,

        點p的橫坐標為2k,

        聯立得點p的縱坐標為-b.

        所以點p為(2k,-b),

        化簡,得

        因為面積要最大值,所以負號的情況省略,即

        所以f(t)max=f(0).

        所以△PAB面積的最大值在k2=0時取到.

        (1)當a=2時,求f(x)的單調區(qū)間;

        (2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.

        令f′(x)=0,因為x>0,2x>0,

        所以2-xln2=0.

        因為x>0,所以兩邊取對數,得lnxa=lnax.

        由1-lnx=0,解得x=e.

        當00,則ψ(x)單調遞增;

        當x>e時,ψ′(x)<0,則ψ(x)單調遞減.

        當x趨近于無窮時,

        由于有不等式

        lnax1,β>0),

        如圖1,ψ(x)與φ(x)在x>0時有兩個交點.

        圖1

        所以只要令a≠e即可滿足條件.

        綜上所述,a>1且a≠e.

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