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        從幾何關(guān)系著手 靈活求解離心率

        2022-02-25 02:49:54李昌成
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:弦長直線公式

        李昌成

        (新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

        1 題目呈現(xiàn)

        2 總體分析

        此題是2022年高考備考習(xí)題,通過初步分析題目,很容易理解為直線(漸近線)與圓的位置關(guān)系的常規(guī)題,從而選擇解題模型中的直角三角形來求解.事實(shí)上,本題可以選擇直接利用弦長公式求解,因為直線(漸近線)過坐標(biāo)原點(diǎn),所以消x或消y原則上均可;直線過定點(diǎn)——原點(diǎn),可設(shè)直線的參數(shù)方程,利用參數(shù)的幾何意義完成解答;也可利用極徑的幾何意義來解答;基于圖象的對稱性,還可以數(shù)形結(jié)合來快速完成解答.

        3 試題解答

        視角1 利用直線與圓的位置關(guān)系,借助直角三角形求解.

        解法1 取雙曲線的一條漸近線:bx+ay=0,記圓為M.

        因為弦長|AB|=2,

        評注解法1是常規(guī)解法,只要熟悉直線與圓的位置關(guān)系,涉及弦長問題,教師都會引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先向這個方向思考和解答,解題稍微熟練一點(diǎn)的學(xué)生基本上也會不假思索地選擇此法.

        如果此題分析到此結(jié)束,其實(shí)只是就題解題,缺乏了必要的思考,也扼殺了部分程度好的學(xué)生的思考和思維的歷練,下面筆者和大家進(jìn)一步分析和解答.

        視角2 直接利用弦長公式求解.

        消去y,結(jié)合c2=a2+b2,得

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        由弦長公式,得

        代入整理,得3c2=4b2,

        解得e=2.

        消去x,結(jié)合c2=a2+b2,得

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        由弦長公式,得

        代入整理,得3c2=4b2,解得e=2.

        評注弦長公式是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中涉及求弦長問題時的通用方法,自然牽涉到直線與圓的弦長問題時也是可用的,只不過計算過程較為繁瑣一些.其實(shí)在平時的教學(xué)過程中,進(jìn)行相關(guān)試題解答時,筆者發(fā)現(xiàn)還是會有少部分同學(xué)選擇利用弦長公式求解,原因是他們對幾何關(guān)系的熟練程度不夠,認(rèn)為聯(lián)立方程思維量更小一些,接下來就是代入計算的問題,當(dāng)然這就對我們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的運(yùn)算求解能力提出了更高的要求.另外,聯(lián)立后消x還是消y,取決試題中消哪一個變量求解更方便和更簡潔一些,尤其是橢圓、雙曲線與直線的相交弦問題.

        視角3 借助參數(shù)的幾何意義求解.

        設(shè)A,B的參數(shù)分別為t1,t2,則

        由參數(shù)的幾何意義可得

        視角4利用極坐標(biāo)中極徑的幾何意義求解.

        解法5在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

        由x=ρcosθ,y=ρsinθ易得

        設(shè)點(diǎn)A,B的極坐標(biāo)分別為A(ρ1,θ),B(ρ2,θ),

        由極徑的幾何意義可得

        解得e=2.

        評注此解法充分利用極徑的幾何意義求解,過程簡潔,且與參數(shù)方程有相通之處.雖然在一些新高考地區(qū),這部分內(nèi)容高考已經(jīng)不作要求,但作為教師來說,還是有必要將各種方法融會貫通,提升教師的專業(yè)素養(yǎng).

        4 關(guān)于深度教學(xué)與深度學(xué)習(xí)的再認(rèn)識

        深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵:就是在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心參與、體驗成功,獲得發(fā)展的有意義的主動學(xué)習(xí)的過程.

        高中數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)和復(fù)雜學(xué)科,需要學(xué)生進(jìn)行高效率的學(xué)習(xí),才能熟練掌握數(shù)學(xué)知識.為了更好地優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量,提升教學(xué)效率,高中數(shù)學(xué)教師需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握深度學(xué)習(xí)模式,從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生良好的理性思維.老師在講題過程中,一定要善于引導(dǎo)與啟發(fā)學(xué)生,不要急于給出解答方法,讓學(xué)生去試錯、去比較,讓學(xué)生在解題中不斷思考、拓展自己的思維,提高解題能力,同時在各種不同方法的比較中尋找解某一道題的最佳解法,達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果.

        高中生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開深度學(xué)習(xí)模式,而核心素養(yǎng)的存在又能進(jìn)一步推動學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力,二者相輔相成;同時,高中生“深度學(xué)習(xí)”能力的培養(yǎng)與教師的深度教學(xué)水平息息相關(guān),我們要革新陳舊的教學(xué)思想,采用多元化的教學(xué)模式,進(jìn)而從服務(wù)學(xué)生、培養(yǎng)核心素養(yǎng)等途徑強(qiáng)化高中生的深度學(xué)習(xí)意識.

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