朱蒙蒙， 毛軍軍,2， 徐 威

(1.安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥230601；2.安徽大學 計算機智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥230039)

0 引 言

MCGDM(多準則群決策方法)是指一群決策人(個人或者群體)，按照各自的偏好，在共同的準則下，對不同的備選方案進行評價，以尋求群體滿意的目標。TODIM方法是一種著名的基于前景理論[1-2]的MCGDM方法。它考慮了人在風險和不確定環(huán)境下的心理行為。由Brans和Vincke[3]提出的PROMETHEE方法也是一種常用的MCGDM方法，方法基于對標準備選方案的兩兩比較。PROMETHEE II法是PROMETHEE方法的一種，具有排序完整性的優(yōu)點。許多學者對兩種方法都有不同方向的擴展以及應用[4]。傳統(tǒng)的TODIM方法與PROMETHEEⅡ都有其自身的局限性，為克服這種不足，有學者提出了傳統(tǒng)方法融合的決策方法[5]。這種新的決策方法不僅使得兩種傳統(tǒng)方法發(fā)揮了各自的優(yōu)點，同時還能將各自的不足很好的互補。

Z-number是Zadeh[6]開發(fā)以克服傳統(tǒng)語言型模糊數(shù)無法表達決策信息可靠性這個缺點的。Z-number的第一個組成部分是模糊約束，通過不確定的語言變量來描述。目前，Z-number及其擴展通常使用單個語言項、多個語言項和區(qū)間語言項來描述模糊約束，但它們的描述不適用于群體決策信息。PLZN(概率語言型Z-number)是對傳統(tǒng)語言型Z-number的改進，充分考慮了各項語言集出現(xiàn)的概率，比起Z-number，PLZN環(huán)境更加適合群體決策。

然而，考慮專家(決策人)的專業(yè)知識與專業(yè)背景不同，不同的專家提供的信息可靠度也是不同的。如何有效地將專家可信度的差異融入決策中是深入研究的重點。另外，準則的權(quán)重直接依靠專家的主觀賦值，不夠客觀穩(wěn)定，更合理的權(quán)重賦予方式也是值得多加考慮的。為了解決以上的問題，選擇先對同一準則下同一專家評價可信度的組內(nèi)進行融合，充分考慮組內(nèi)優(yōu)勢關(guān)系以及組內(nèi)的差距；其次，在考慮組間差距的同時對不同組的信息進行合成。在此基礎(chǔ)上利用使組間偏差達到最大的方法得到的權(quán)重，不僅考慮了方案之間的差距，也考慮了不同專家組之間的差距。

1 預備知識

定義1[6](Z-number)Z-number是一對與實值不確定隨機變量X相關(guān)的有序模糊數(shù)(A,B)，其中A是對X可以取到的值的模糊限制，B是對A的可靠性度量。通常情況下，A與B通過自然語言描述，例如(非常好，有可能)。

定義2[7](LTS)令S={si|i=0,1,2,…,2g,g∈N+}是一個語言術(shù)語集(LTS)，其中si表示語言變量的一個可能值，并且滿足條件：

S是有序的：α>β?sα>sβ

存在否定運算符：neg(sα)=s2g-α。

定義3[8](PLTS)令S={si|i=0,1,2,…,2g,g∈N+}是一個LTS，那么PLTS被定義為

L(p)={hi(pi)|hi∈S,pi≥0,

其中hi(pi)代表語言變量hi和其對應的概率pi，#L(p) 是L(p)中語言變量的個數(shù)。

定義4[9](LSF)令S={si|i=0,1,2,…,2g,g∈N+}是一個LTS，其中si∈S是一個語言變量，定義LSF是將si映射到θi的函數(shù)f即：

f:si→θi(i=0,1,2,…,2g)

其中θi∈[0,1]。顯然，f是一個對于下標i嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)。

定義5[5](PLZN)在論域X中，L(p)={ho(p0),h1(p1),…,h2m(p2m)}是一個離散且有序的PLTS并且L={l0,l1,…,l2n}是一個離散且有序的LTS，其中hi,li是語言集，pi是概率，m,n∈N+。X的PLZN定義為

Z={(x,Az(x),Bz(x))|x∈X}

其中Az(x)是L(p)的一個子集，是對X可以取到的值的一個模糊限制，Bz(x)是L中的一個元素，是對Az(x)的可靠性度量。對于一個特定的變量α，其PLZN被表示為：zα=(Az(α),Bz(α))。

2 組內(nèi)優(yōu)勢關(guān)系與組內(nèi)偏離度

定義6 (影響因子、附加因子、敏感因子)

其中，k∈2m,t∈2n，其中，f(*)是LSF。

定義9(綜合偏離度)對于準則cj下方案α與方案β的綜合偏離度定義為

其中，g(*)是LSF。

定義10(綜合優(yōu)勢度)對于準則cj下方案α與方案β的綜合優(yōu)勢度定義為

3 一種新的TODIM-PROMETHEE Ⅱ決策流程

Step1 收集決策者的評價并將其轉(zhuǎn)化為PLZNs。

Step2 根據(jù)組內(nèi)優(yōu)勢關(guān)系、組內(nèi)偏離度計算綜合偏離度。

Step3 計算權(quán)重向量。

考慮利用一種擴展的最大偏差方法來計算權(quán)向量。與其他的權(quán)重確定方法相比，擴展的最大偏差法[10-11]利用各準則下各備選方案的整體偏差來確定準則權(quán)重，充分考慮了各評價信息之間的內(nèi)在關(guān)系。具體的過程如下：

(1)

其中DVj(zij,zkj)是zij,zkj兩個PLZNs之間的綜合偏離度。

構(gòu)造Lagrange函數(shù)以求解權(quán)重ωj，

(2)

其中λ為lagrange乘子，通過對F(ωj,λ)求偏導得到以下等式：

(3)

通過計算式(3)，得到準則的最優(yōu)權(quán)重如下：

(4)

(5)

Step4 確定所有準則的標準權(quán)重。

根據(jù)式(6)計算準則的標準權(quán)重：

(6)

其中ωr=max (ωj|j=1,2,…,m)。

Step5 計算某準則下綜合優(yōu)勢度。

對于準則cj下方案ai與方案ak的綜合優(yōu)勢度為

(7)

Step6 計算在所有準則下的總體優(yōu)勢度。

在Step5的基礎(chǔ)上，總體優(yōu)勢度可通過式(8)求得：

(i,k=1,2,…,n;i≠k)

(8)

Step7 獲得流出Φ+(ai)、流入Φ-(ai)以及凈流Φ(ai)。

流出、流入與凈流分別通過式(9)、式(10)、式(11)計算：

(9)

(10)

Φ(ai)=Φ+(ai)-Φ-(ai)

(11)

其中i=1,2,…,n。

Step8 對評價目標進行排序。

根據(jù)判決規(guī)則，Φ(ai)越大說明方案ai越優(yōu)。

4 實例分析與應用

4.1 計算過程與結(jié)果

根據(jù)上述決策步驟，得到綜合偏離度。再根據(jù)式(1)—式(5)，采用最大偏差法確定的歸一化后的最優(yōu)權(quán)重如圖1所示。

圖1 16個準則的權(quán)重比較Fig. 1 The weight comparison among sixteen criteria

通過式(6)確定所有準則的標準權(quán)重，如表1：

表1 各個準則的標準權(quán)重Table 1 The standard weight of each criterion

根據(jù)式(8)計算得到所有準則下的總體優(yōu)勢度，結(jié)果如下：

根據(jù)式(9)-式(11)計算得到流出Φ+(ai)、流入Φ-(ai)以及凈流Φ(ai)，結(jié)果如表2所示：

表2 流出、流入與凈流Table 2 Outflows， inflows and netflows

根據(jù)凈流大小，獲得最終方案排序為a1?a6?a5?a3?a2?a4，因此慈利縣應當作為優(yōu)先治理地區(qū)。

4.2 比較分析

對比原參考文獻的結(jié)果，差異來源主要在于優(yōu)先定義的同一組專家評價內(nèi)的優(yōu)勢關(guān)系。先驗的優(yōu)先順序很大程度上影響了最終的結(jié)果。在定義的的組內(nèi)優(yōu)勢關(guān)系中，敏感因子也對最終結(jié)果起著一定程度的影響，使得新定義的組內(nèi)優(yōu)勢關(guān)系有著很強的可變性和適應能力。對于不同的敏感因子，結(jié)果差異如表3所示。

表3 不同敏感因子對應結(jié)果對比Table 3 Comparison of the results of different sensitive factors

由表3可知：方案1隨著劣性評價(ε2)占比的增加，排名向后移動；方案2隨著優(yōu)性評價(ε1)占比的增加，排名向前移動；方案3隨著劣性評價(ε2)占比的增加，排名向前移動。

5 結(jié)束語

在PLZN環(huán)境下，對優(yōu)勢度計算進行了改進，提出了一種新的優(yōu)勢關(guān)系，區(qū)別于同一方案內(nèi)不同評價可信度先融合的決策步驟，先對同一評價可信度的組內(nèi)信息進行融合，得到組內(nèi)偏離度，再根據(jù)專家評價的可信度對不同等級的專家評價進行融合得到綜合優(yōu)勢度。再基于TODIM與PROMETHEEⅡ兩種決策方法互補結(jié)合的決策方法，最終得到方案的排序。在這里，由于綜合優(yōu)勢度是基于先驗的優(yōu)勢關(guān)系與偏離度，從而最終的決策結(jié)果與先驗信息有密不可分的關(guān)系。如何得到更加準確的先驗信息有待深入研究。