韓 琦， 王 霞, 王 慧， 袁藝云， 曹 瑞， 翁騰飛

(1.重慶科技學院 智能技術(shù)與工程學院, 重慶401331; 2.重慶師范大學 數(shù)學科學學院,重慶 401331;3.重慶科技學院 電氣工程學院,重慶 401331)

0 引 言

近些年來，隨著多智能體的協(xié)同控制在各個領(lǐng)域得到應(yīng)用，多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制受到了眾多研究者的廣泛關(guān)注[1-3]。其中研究得最多的就是一致性問題，利用多智能體的一致性可以應(yīng)用到編隊控制、智能電網(wǎng)經(jīng)濟調(diào)度[4]等問題。在多智能體的系統(tǒng)控制中，研究者多數(shù)是采用分布式控制協(xié)議，與集中式協(xié)議相比，分布式控制中單個個體設(shè)計簡單，且個別的智能體的失效不會影響全局，最重要的是分布式控制擁有協(xié)作好、靈活性高、信息交流少、應(yīng)用性強等優(yōu)勢[5]。

到目前為止，多智能體一致性問題已經(jīng)得到眾多學者的深入的研究，文獻[6]結(jié)合分布式事件觸發(fā)機制考慮了一種帶有容錯性質(zhì)的自適應(yīng)一般線性多智能體系統(tǒng)。但是在很多研究中都會發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中的信息流通常不是即時的，會存在時間的延遲。時滯一致性意味著跟隨者的狀態(tài)與領(lǐng)導者的相應(yīng)狀態(tài)有一段時間延遲。在以往的研究中，針對時滯問題，有很多研究者主要集中在對時滯下系統(tǒng)的收斂性[7]和一致性[8]加以討論。且在存在時滯的系統(tǒng)中，不同孤立群集中的智能體在不同時刻的狀態(tài)都落后于它們的共同領(lǐng)導者，從而避免了在容量受限網(wǎng)絡(luò)上運行的多智能體系統(tǒng)的擁塞。為了確保系統(tǒng)時滯一致，并在一定程度解決信息流擁塞問題。

基于以上的啟發(fā)，考慮事件觸發(fā)機制作為信息傳輸策略。因為事件觸發(fā)機制避免了控制器的連續(xù)更新問題，不僅減少了網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)量，而且延長了網(wǎng)絡(luò)組件的使用壽命?，F(xiàn)如今事件觸發(fā)在很多領(lǐng)域得到利用，在文獻[9]中研究了一種關(guān)于事件觸發(fā)的雙邊非線性的二階多智能體系統(tǒng)，該系統(tǒng)可利用事件觸發(fā)達到競爭下多智能體分組的一致，增加了事件觸發(fā)的范圍。文獻[10]考慮了關(guān)于事件觸發(fā)中具有干擾的主動控制的多智能系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)實現(xiàn)了一致性。綜合時滯和事件觸發(fā)這兩方面，討論具有事件觸發(fā)的二階領(lǐng)導-跟隨多智能體時滯一致性問題。

主要貢獻可歸納為如下方面：

(1) 考慮具有領(lǐng)導者的二階非線性多智能體系統(tǒng)，通過設(shè)計一種關(guān)于時滯一致性的事件觸發(fā)控制器，相比文獻[11],有效結(jié)合事件觸發(fā)機制，減少了不必要的計算，降低了成本。

(2) 針對觸發(fā)控制協(xié)議，給出了相應(yīng)的觸發(fā)條件，和利用圖論、矩陣理論和Lyapunov穩(wěn)定性方法，給出了保證多智能體系統(tǒng)達到時滯一致的充分條件。最后利用微分方程理論和范數(shù)不等式理論，得到了本文設(shè)計的事件觸發(fā)協(xié)議是可以避免Zeno 行為。

1 預備知識

1.1 圖論理論

用帶有N個節(jié)點的有向圖G={V,Ε,W}表示由N個多智能體構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)。定義i,j=1,2，…，N,那么其中V={v1,v2,…vi,…vN}表示為節(jié)點集,vi表示第i個多智能體;E={eji=(vi,vj),vi≠vj,且vi∈V,vj∈V}?V×V代表邊緣的集合，相應(yīng)的(vi,vj)表示節(jié)點vi可以接受來自vj的信息，而且如果圖G被稱為強連通圖，則對于任意兩個節(jié)點都存在有向路徑來達到連通。W=(wij)N×N表示節(jié)點與節(jié)點之間的鄰接矩陣。如果(vi,vj)∈E,?vi,vj∈V,則wij>0，否則wij=0。圖G中的Laplace矩陣L=[lij]∈Rn×n滿足下列定義

1.2 符號標注

IN表示n維單位矩陣；IN=[1,1,…,1]T∈Rn；‖·‖表示歐氏空間的歐氏距離；矩陣的范數(shù)為‖A‖=sup{‖Ax‖：‖x‖=1}；?表示克羅內(nèi)克積；對于對稱矩陣Y，Y>0(Y<0),表示矩陣Y∈Rn×n是正定矩陣(負定矩陣),λmax(Y)表示矩陣Y的最大特征值，λmin(Y)表示最小特征值。

1.3 問題描述

研究一個領(lǐng)導者和N個跟隨者構(gòu)成的二階非線性多智能體系統(tǒng)，其中領(lǐng)導者的系統(tǒng)形式描述如下:

(1)

跟隨者的系統(tǒng)形式：

(2)

其中，xi(t)∈n,vi(t)∈n,ui(t)∈n(i=0,1,2,…,N)分別表示智能體i在時間t時的位移，速度和控制輸入，并且f(t,xi(t),vi(t))∈n是第i個智能體的非線性函數(shù)。

定義1在式(1)和式(2)中，智能體的系統(tǒng)達到二階領(lǐng)導-跟隨時滯一致，當且僅當對于任何初始狀態(tài)，滿足

其中，τ是正常數(shù)。

假設(shè)1存在非負常數(shù)ξ1和ξ2，使得f(t,xi(t),vi(t))滿足利普希次條件

‖f(t,x,v)-f(t,y,z)‖≤ξ1‖x-y‖+
ξ2‖v-z‖?x,y,v,z∈n,t∈[0,∞)

假設(shè)2領(lǐng)導者和N個智能體之間至少存在一個有向的生成樹，且該網(wǎng)絡(luò)拓撲圖是一個連通圖。

引理1[21]線性矩陣不等式：

其中，Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x),上述不等式成立時，可以轉(zhuǎn)化為其中一個下面的等價條件：

(1)Q(x)>0,R(x)-ST(x)Q-1(x)S(x)>0；

(2)R(x)>0,Q(x)-S(x)R-1(x)ST(x)>0。

引理2[22]如果矩陣H∈N×N是非奇異矩陣，并且H的非對角元素是非正數(shù)，則下面敘述的結(jié)論互相等價：

(1)H是一個非奇異的M-矩陣;

(2)H的所有特征值是在平面的右半平面，意味著J(H)>0;

(3) 存在一個正定的對角矩陣P=diag{p1,p2，…，pN}>0,使得有PH+HTP>0成立。

基于事件觸發(fā)控制定義(2)的控制協(xié)議如下

(3)

其中，σ>0是控制增益，τ是正常數(shù)。

定義觸發(fā)誤差為

一致性誤差分別是

選擇觸發(fā)函數(shù)

(4)

接下來結(jié)合一致性誤差、事件觸發(fā)誤差和事件觸發(fā)的控制改寫系統(tǒng)式(1)和式(2)如下：

(5)

令

2 主要結(jié)論

這部分運用矩陣理論來證明事件觸發(fā)下的領(lǐng)導跟隨者的時滯一致問題，并排除Zeno行為。

則多智能體系統(tǒng)式(1)和式(2)可以實現(xiàn)領(lǐng)導跟隨的滯后一致性。

證明設(shè)定V函數(shù)如下：

其中，Q=P(L+B)+(L+B)TP。

V(t)對t求導有

(6)

對于式(6)的最后一項有

(7)

α‖φi(t)+ei(t)‖≤

α‖φi(t)‖+α‖ei(t)‖

bi(xi(t)-x0(t-τ)+vi(t)-v0(t-τ))‖ =

則對于式(6)的第二項有下列式子

(8)

(9)

-μ(P(L+B)+(L+B)TP)?IN>2ξ(P?IN)

即-μ(P(L+B)+(L+B)TP)>2ξP。

定理2領(lǐng)導跟隨多智能體系統(tǒng)式(1)和式(2)利用事件觸發(fā)函數(shù)式(4)和控制式(3)達到時滯一致是可以排除Zeno行為的。

證明

所以，

取ξ=max{ξ1‖L+B‖,(ξ2+1)‖L+B‖}，則

(10)

又在式(9)中令，有Ξ>0,可得

故

-λmin(Ξ)ηT(t)η(t)。

令

有V(t)=η(t)Ψη(t)。

故有

(11)

故由式(10)有

即

3 實驗仿真

考慮4個跟隨者和一個領(lǐng)導者的非線性的二階系統(tǒng)，其中0表示領(lǐng)導者，相應(yīng)的跟隨者網(wǎng)絡(luò)拓撲如圖1所示。

圖1 跟隨者與領(lǐng)導者結(jié)構(gòu)拓撲圖Fig. 1 Communication topology of leader-follower system

其中，Laplace矩陣表示為

從圖2和圖3可以看出，4個跟隨者是可以和領(lǐng)導者達成滯同步一致的。而從圖4可以得到，每個智能體的誤差曲線，最后都會趨于0，說明跟隨者會和領(lǐng)導者趨于一致。圖5表明了智能體的控制變化趨勢，最后也是每個智能體都是當時間趨于無窮時控制趨于0，充分說明了智能體的時滯一致性。圖6是每個跟隨者的觸發(fā)間隔，從圖中可以明顯看出該觸發(fā)事件是沒有Zeno行為的。圖2—圖6都有效說明理論的正確性。

圖2 智能體速度變化軌跡圖Fig. 2 The velocity trajectory of agent

圖3 智能體的狀態(tài)軌跡圖Fig. 3 The state trajectory of agent

圖4 跟隨者的誤差趨勢變化Fig. 4 Error trend of followers

圖5 智能體的控制輸入變化趨勢Fig. 5 Control input trend of agent

圖6 跟隨者觸發(fā)間隔圖Fig. 6 Follower trigger interval graph

4 結(jié)束語

主要研究智能體的非線性動力學系統(tǒng)，考慮具有時滯效應(yīng)的二階領(lǐng)導——跟隨多智能體的系統(tǒng)的時滯一致性。首先，結(jié)合事件觸發(fā)機制給出一個基于局部信息的分布式控制協(xié)議；然后在這個協(xié)議下，運用Lyapunov穩(wěn)定性理論，圖論等相關(guān)知識導出該系統(tǒng)實現(xiàn)滯后一致性的充分條件；最后，數(shù)值模擬驗證理論結(jié)果的正確性。