倉萬林 李紅

【摘 要】教材是教與學(xué)的基本材料，在教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較研究已成為數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)，研究者選取最新的七種版本高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊中的“基本不等式”內(nèi)容進(jìn)行比較，從小節(jié)內(nèi)容、問題引入情境、例題和習(xí)題的配置、數(shù)學(xué)文化滲透、教材亮點(diǎn)等方面展開比較研究，并給出教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】新教材;核心素養(yǎng);基本不等式;內(nèi)容比較

【作者簡介】倉萬林，高級教師，全國新青年數(shù)學(xué)教師工作室副理事長，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟秘書長，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)寫作;李紅，一級教師，全國新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員。

【基金項(xiàng)目】江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革試驗(yàn)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)寫作提升核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究”（2020JSQZ0147）

一、前言

“基本不等式”是高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，雖然在教材中篇幅不長，但所占的教學(xué)時(shí)間卻不少。在新版教材中，“基本不等式”的內(nèi)容放在了高中數(shù)學(xué)必修第一冊。對于該內(nèi)容，部分教材的表達(dá)方式有所差異，很多教師對這種變化不太適應(yīng)。而且在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下，對中小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較研究，也是熱點(diǎn)內(nèi)容之一?；谝陨显?，教師對新教材“基本不等式”的內(nèi)容進(jìn)行比較研究是很有必要的，這樣可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)[1]。

為了全面分析高中數(shù)學(xué)新教材特點(diǎn)，本文選取了最新版的人民教育出版社A版（以下簡稱人教A版）、人民教育出版社B版（以下簡稱人教B版）、北京師范大學(xué)出版社（以下簡稱北師大版）、上海教育出版社（以下簡稱滬教版）、江蘇鳳凰教育出版社（以下簡稱蘇教版）、湖南教育出版社（以下簡稱湘教版）、湖北教育出版社（以下簡稱鄂教版）七種版本高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊中的“基本不等式”內(nèi)容進(jìn)行比較研究。“基本不等式”既包括其自身的應(yīng)用，也包括其作為求最值基本工具的廣泛應(yīng)用。高中數(shù)學(xué)中常用的化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等在本章節(jié)均有較好的體現(xiàn)。同時(shí)，“基本不等式”內(nèi)容蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)文化，也是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的較好素材。

二、教材比較

在新舊兩個(gè)版本的人教A版教材中，該內(nèi)容的位置發(fā)生了變化，因?yàn)榛静坏仁降墓ぞ咝詰?yīng)用特點(diǎn)，在教材中的位置越往后，綜合性就越強(qiáng)，在2004年人教版教材中，“基本不等式”放在高中數(shù)學(xué)必修5第三章“不等式”的單元中。下面筆者從七種版本新教材的“基本不等式”的小節(jié)內(nèi)容、問題引入情境、例題和習(xí)題的配置、數(shù)學(xué)文化滲透、教材亮點(diǎn)等方面展開比較研究，并對本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)提出合理化建議。

（一）小節(jié)內(nèi)容

在七種版本的教材中，“基本不等式”的內(nèi)容差異不大，一般均包含基本不等式的證明和基本不等式的實(shí)際應(yīng)用。部分教材在單一小節(jié)內(nèi)容上比較集中，將基本不等式證明和基本不等式實(shí)際應(yīng)用單獨(dú)列為一個(gè)小節(jié)，詳見表1。

從表1我們可以發(fā)現(xiàn)以下特點(diǎn)：（1）在知識點(diǎn)方面，七種版本新教材均包含了基本不等式的證明和基本不等式應(yīng)用兩部分;（2）在蘇教版和湘教版教材中，本節(jié)內(nèi)容將基本不等式的證明和應(yīng)用作為兩個(gè)小節(jié)單獨(dú)編排，以方便師生使用;（3）在人教B版和滬教版中，將基本不等式及其應(yīng)用進(jìn)行通排，由教師根據(jù)教學(xué)需要分割成若干課時(shí)講授。而其余版本的教材中間采用穿插練習(xí)形式，實(shí)際上相當(dāng)于對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了分類處理。

需要補(bǔ)充說明的是，第一，在滬教版教材中，對基本不等式的界定與常見的認(rèn)識有較大差異，其將平均值不等式和三角不等式等均稱為基本不等式，滬教版教材中的“平均值不等式”內(nèi)容和其他版本中的“基本不等式”內(nèi)容是一致的。筆者認(rèn)為，滬教版中對基本不等式的界定有可推敲之處。第二，北師大版教材中設(shè)置了預(yù)備知識章節(jié)，將集合、常用邏輯用語、不等式、一元二次函數(shù)與一元二次不等式這四個(gè)版塊的內(nèi)容作為初、高中的銜接內(nèi)容，與其他版本教材的分別穿插編排有較大差異。當(dāng)然，無論哪種版本的教材，都非常重視對初、高中內(nèi)容的銜接，并落到了實(shí)處。

（二）問題引入情境

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確指出，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]。七種版本新教材中的問題引入情境，具體見表2。

從表2可以看出有以下特點(diǎn)：（1）七種版本新教材的“基本不等式”內(nèi)容在問題引入上比較重視設(shè)置情境，從數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境或者科學(xué)情境等方面給出了具有關(guān)聯(lián)性的問題，問題情境中所設(shè)置的問題較為基礎(chǔ);（2）蘇教版的物理測量問題有科學(xué)氣息，和人教B版中的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”，可以銜接成一個(gè)有機(jī)的整體。

（三）例題和習(xí)題配置

例題和習(xí)題是教材的核心內(nèi)容，所占的篇幅最大，也是教學(xué)中重要的板塊。新版教材中例題和習(xí)題的難度和梯度比各自舊版的教材有較大提升，更加貼近評價(jià)中的試題，改變了以往教材例題、習(xí)題和評價(jià)中的試題差距懸殊的現(xiàn)狀。需要說明的是，本文所指的習(xí)題包括小節(jié)后的隨堂練習(xí)和每節(jié)內(nèi)容的相應(yīng)習(xí)題，部分版本中的習(xí)題，如果包含了本單元前面知識點(diǎn)的內(nèi)容，就只統(tǒng)計(jì)其中基本不等式的問題。七種版本新教材中“基本不等式”內(nèi)容的例題和習(xí)題配置數(shù)量統(tǒng)計(jì)見表3。

從七種版本的例題與習(xí)題的比較發(fā)現(xiàn)有以下特點(diǎn)：（1）一般配置4～5道例題較為適中，習(xí)題的數(shù)量多于例題的數(shù)量，一般按照1∶3比例比較適中，北師大版由于將集合、常用邏輯用語、不等式、一元二次函數(shù)與一元二次不等式放在預(yù)備知識位置，因此，“基本不等式”的題量和難度適當(dāng)降低，個(gè)別版本新教材的例題和習(xí)題的典型性、數(shù)量、難度有待提升;（2）人教B版新教材中的習(xí)題按難度進(jìn)行了A、B、C分組，這是一個(gè)亮點(diǎn);（3）部分版本新教材的習(xí)題結(jié)構(gòu)上注重開放性，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。當(dāng)然，七種版本新教材中習(xí)題的知識點(diǎn)、數(shù)量和難度等量化分析也是值得廣大教師研究的問題。

（四）數(shù)學(xué)文化滲透

數(shù)學(xué)文化是貫穿于新課程的主線之一，七種版本新教材的“基本不等式”均或明或暗體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容。人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、鄂教版均選用了“半徑大于或者等于半弦”的無字證明。滬教版中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容有：利用等式證明不等式;調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均值不等式。鄂教版還出現(xiàn)了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會（ICM-2002）的會標(biāo)。因此，基本不等式中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容在教學(xué)中應(yīng)得到重視。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要合理利用數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的抽象之美（如無字證明）、簡潔美、奇異美，幫助學(xué)生優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)的德育功能，落實(shí)新時(shí)代立德樹人的要求。

（五）教材亮點(diǎn)

從七種版本新教材中的比較中可以發(fā)現(xiàn)，各版本新教材均從情境案例出發(fā)引出基本不等式，并重視從不同的角度對基本不等式進(jìn)行證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)。新教材的亮點(diǎn)如下。

1.重視培養(yǎng)思辨能力

人教A版新教材中，在用基本不等式求出最值后，給出了下面的問題。

在本題的解答中，我們不僅明確了x>0，有x+1x≥2，而且給出了“當(dāng)且僅當(dāng)x=1x，即x2=1，x=1時(shí)，等號成立”，這是為了說明2是x+1x（x>0）的一個(gè)取值。想一想，當(dāng)y0<2時(shí)，x+1x≥y0成立嗎？這時(shí)能說y0是x+1x（x>0）的最小值嗎？[3]

該問題引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)最值的本質(zhì)含義，對培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要意義。

人教B版中的“想一想”，北師大版中的“思考與交流”，滬教版中的“小貼士”形式的思考，短小精悍，且問題較為完整貼切，畫龍點(diǎn)睛，同樣可以啟迪學(xué)生思維，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會閱讀，學(xué)會思考。

2.關(guān)注教學(xué)和技術(shù)的融合

人教B版新教材中第76頁的“探索與研究”[4]76有以下一道題目。

用Excel或其他計(jì)算機(jī)軟件，完成下列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

（1）任取多組三個(gè)正數(shù)a，b，c，計(jì)算a+b+c3和3abc，比較它們的大小，總結(jié)出一般規(guī)律;

（2）對四個(gè)正數(shù)、五個(gè)正數(shù)做類似的實(shí)驗(yàn)，總結(jié)出普遍規(guī)律。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將均值不等式拓展到多元情形，引導(dǎo)學(xué)生探索均值不等式的一般情形，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力有一定價(jià)值。教學(xué)活動和技術(shù)的結(jié)合是未來的趨勢，廣大一線教師應(yīng)順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。

3.重視定理證明和實(shí)際應(yīng)用問題

蘇教版新教材在基本不等式引入和證明上花了一定的功夫，教材用三種不同的方法給出了基本不等式的證明?；静坏仁綄?shí)際應(yīng)用中問題的典型性，較其他版本教材更為豐富。

三、教學(xué)思考

教師、教材、學(xué)生是課堂教學(xué)的三大基本要素。新教材給教師和學(xué)生提供了豐富的教與學(xué)的資源，也帶來了更大的挑戰(zhàn)。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)取自教材而不拘泥于教材，教師在備課時(shí)要把握課標(biāo)基本理念與教學(xué)要求，不斷地吸取、借鑒不同版本教材中的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)學(xué)情靈活使用教材，對教材進(jìn)行再加工，使其更好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

考慮到人教A版新教材是目前使用范圍最廣泛的版本，下面筆者通過整合其他版本的教材內(nèi)容，以人教A版新教材的教學(xué)內(nèi)容為例，給出一些適當(dāng)調(diào)整素材的案例。

【調(diào)整1】情境與問題：選用鄂教版第46頁中第24屆國際數(shù)學(xué)家大會（ICM-2002）的會標(biāo)，如圖1。

調(diào)整理由：圖形結(jié)構(gòu)簡潔優(yōu)美，有數(shù)學(xué)文化的韻味，彰顯學(xué)科的育人價(jià)值。

【調(diào)整2】在人教A版新教材第45頁例2后補(bǔ)充人教B版第75頁的例4[4]75作為例3。

已知x∈（-1，3），求y=（1+x）（3-x）的最大值，以及y取得最大值時(shí)x的值。

調(diào)整理由：原有的例題在基本不等式的應(yīng)用上，條件和形式過于直觀。該問題的解決需在審題上下功夫，既可以用基本不等式處理，也可以轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題處理，方法較為靈活，這也提醒學(xué)生應(yīng)辯證地看待基本不等式的應(yīng)用，讓學(xué)生明白這是一種有效的方法，但并不是唯一的方法。

【調(diào)整3】人教A版新教材習(xí)題2.2中的綜合應(yīng)用第6題更換為蘇教版第57頁的第10題[5]。

某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價(jià)，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價(jià)的百分比，對產(chǎn)品分兩次提價(jià)，現(xiàn)在有三種提價(jià)方案：

方案甲：第一次提價(jià)p，第二次提價(jià)q;

方案乙：第一次提價(jià)q，第二次提價(jià)p;

方案丙：第一次提價(jià)p+q2，第二次提價(jià)p+q2。

其中p>q>0，比較上述三種方案，哪一種提價(jià)少？哪一種提價(jià)多？

調(diào)整理由：該問題的結(jié)構(gòu)和思維更具有開放性，在多種方案的比較中，有效地提升了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

因此，在整合使用不同版本教材的素材時(shí)，教師應(yīng)兼顧不同版本教材的風(fēng)格，這也是不容忽視的問題。

通過分析2021年高考數(shù)學(xué)試題，筆者發(fā)現(xiàn)對基本不等式等傳統(tǒng)重難點(diǎn)內(nèi)容的考查方向和難度也在變化，這對大家今后的教學(xué)與研究會有較大的影響。他山之石，可以攻玉，教師應(yīng)借鑒不同版本的教材，突破單一版本教材的局限性，真正實(shí)現(xiàn)從“教教材”到“用教材教”的根本性轉(zhuǎn)變。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（12）：3-7，15.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4]人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊B版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[5]單墫，李善良.普通高中教科書數(shù)學(xué)（必修第一冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯：陸順演）