厲鑫波 周勁松 鄧辰鑫 孫 煜

(1.紹興市公路與運(yùn)輸管理中心，312099，紹興；2.同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，201804，上?！蔚谝蛔髡?，工程師)

在無輪載作用下，測得的靜態(tài)軌道不平順僅能反映軌道表面幾何不平順以及部分道床與路基的不均勻殘余變形導(dǎo)致的不平順，而不能反映實(shí)際列車運(yùn)行下的軌道附加變形和輪軌振動(dòng)響應(yīng)部分。真正對(duì)行車安全、輪軌作用力及車輛振動(dòng)產(chǎn)生影響的是動(dòng)態(tài)軌道不平順。隨著我國軌道交通的快速發(fā)展，運(yùn)行速度、載重和發(fā)車頻次大幅度提升，在高密度線路上實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)軌道不平順的實(shí)時(shí)在線監(jiān)測，為線路維護(hù)工作提供科學(xué)依據(jù)[1]，提高旅客乘坐舒適性，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。位移、速度和加速度等振動(dòng)參數(shù)常常用于故障診斷和運(yùn)行狀態(tài)監(jiān)控[2]。加速度信號(hào)采集的使用則更為普遍，因?yàn)槠湓O(shè)備體積小、易安裝、可靠性高并且測試準(zhǔn)確。但是對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，速度和位移信號(hào)也是很重要的[3-4]。軌道車輛上的軸箱振動(dòng)加速度信號(hào)，經(jīng)過二次積分后可用來計(jì)算軌道不平順[5]。因此，對(duì)振動(dòng)信號(hào)積分的計(jì)算涉及很多工程實(shí)例，具有研究價(jià)值。

目前對(duì)加速度進(jìn)行積分的算法主要有頻域積分法和時(shí)域積分法[6]。頻域積分法是利用傅里葉變換及其逆變換，把積分過程用分量系數(shù)來表示，并且在頻域內(nèi)進(jìn)行幅值控制。該方法能避開時(shí)域微小誤差的累積效應(yīng)，但幅值控制函數(shù)是頻域積分算法的難點(diǎn)。時(shí)域積分主要采用數(shù)值積分公式，但受信號(hào)基線的影響，往往需要添加濾波和進(jìn)行去除趨勢項(xiàng)處理。盡管如此，誤差累積效應(yīng)難以根除。微小誤差在兩次積分過程中會(huì)使信號(hào)波形產(chǎn)生畸變[7]。文獻(xiàn)[8]基于誤差理論，針對(duì)加速度積分過程中的誤差信號(hào)提出誤差公式，認(rèn)為誤差來源主要是加速度傳感器的測量誤差，且信號(hào)的低頻峰值對(duì)誤差的影響尤為巨大。盡管如此，由于時(shí)域積分的簡潔和快速，在軌道檢測系統(tǒng)[5]中使用最多的仍然是時(shí)域積分算法。

本文研究了加速度信號(hào)處理技術(shù)，旨在通過時(shí)域積分方法獲得位移，實(shí)現(xiàn)實(shí)測數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)據(jù)的對(duì)比。采用均差牛頓插值法[9]對(duì)信號(hào)插值進(jìn)行處理，再使用辛普森公式對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行積分，過程中通過最小二乘法擬合剔除趨勢項(xiàng)[6]，并利用簡諧疊加信號(hào)進(jìn)行檢驗(yàn)和誤差計(jì)算。同時(shí)，建立引入軌道不平順的單輪軌模型，說明一系簧下質(zhì)量的加速度響應(yīng)能夠反映動(dòng)態(tài)軌道不平順。隨后，以上海軌道交通某線的地鐵車輛為研究對(duì)象，排查車輪踏面情況對(duì)于軸箱振動(dòng)的影響，實(shí)測其運(yùn)行于不同線路上的軸箱振動(dòng)數(shù)據(jù)，再通過積分運(yùn)算獲得位移信號(hào)，繪制不平順預(yù)測譜，并與美國五級(jí)譜進(jìn)行對(duì)比。最后，通過比較不同線路的車輛運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)，驗(yàn)證動(dòng)態(tài)軌道不平順計(jì)算方法的有效性。

1 加速度積分原理

1.1 時(shí)域積分

記加速度信號(hào)序列(tn,an)，n=0, 1,…,Na-1，采用辛普森法數(shù)值積分公式[10]進(jìn)行積分。為了不降低積分后的數(shù)據(jù)頻率，利用均差的牛頓插值法[9]對(duì)中間項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。整理后，加速度信號(hào)Ik可表示為：

(1)

式中：

Δt——時(shí)間增量；

ak——當(dāng)n=k時(shí)的加速度幅。

記速度信號(hào)序列(tn,vn)，所以：

(2)

式中：

v0——初始速度。

其中，n=0, 1,…,Nv-1。同理可得位移信號(hào)。

1.2 剔除趨勢項(xiàng)

以積分后的速度信號(hào)為例，用最小二乘法[10]擬合出趨勢項(xiàng)，假設(shè)存在最高處為m次的多項(xiàng)式fm(t)：

(3)

存在一組系數(shù)pk，使得式(4)取得最小值。

(4)

故：

(5)

其中，j=0, 1,…,m。對(duì)上式變形，并用矩陣表達(dá)可得：

(6)

式(6)存在唯一解，即擬合系數(shù)pk。處理后的速度信號(hào)v′k可表示為，

v′k=vk-fm(tk)

(7)

1.3 誤差計(jì)算

(8)

絕對(duì)誤差越小，就意味預(yù)測結(jié)果更準(zhǔn)確。

決定系數(shù)R2反應(yīng)了預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的吻合程度，常用于回歸分析。

(9)

式中：

決定系數(shù)R2可以用來量化預(yù)測模型的表現(xiàn)，被當(dāng)作衡量預(yù)測模型能力好壞的標(biāo)準(zhǔn)。R2的數(shù)值范圍從0至1，表示目標(biāo)變量的預(yù)測值和實(shí)際值之間的相關(guān)程度。R2值越接近1，表示預(yù)測值對(duì)原始變量的預(yù)測越準(zhǔn)確。

1.4 算法驗(yàn)證

假設(shè)輸入的加速度信號(hào)為簡諧振動(dòng)疊加的信號(hào)a(t)，其表達(dá)式為：

(10)

同理可得位移信號(hào)。圖1所示為該算例的流程圖。在第一次積分后，選擇去除線性趨勢項(xiàng)。在第二次積分后，選擇去除二次趨勢項(xiàng)，這是由于趨勢項(xiàng)往往會(huì)有殘留，在積分后誤差會(huì)被放大。

圖1 信號(hào)處理流程圖

圖2 a)為原始加速度信號(hào)，圖2 b)為理論位移信號(hào)和預(yù)測位移信號(hào)。由圖2易知，預(yù)測值曲線和理論值曲線基本重合，說明了所用方法在一定數(shù)量簡諧振動(dòng)疊加的信號(hào)情況下有很高的精度。

圖2 加速度信號(hào)和位移信號(hào)對(duì)比圖

選取不同的采樣比，分析采樣比對(duì)誤差的影響。圖3為絕對(duì)誤差和決定系數(shù)隨采樣比變化的關(guān)系圖。由圖3可知，當(dāng)采樣比大于2時(shí)，絕對(duì)誤差隨采樣比的增大而減小，決定系數(shù)隨采樣比的增大而增大，且變化趨勢隨之緩慢。當(dāng)采樣比為3時(shí)，絕對(duì)誤差為6.28%，決定系數(shù)為0.985，說明當(dāng)前預(yù)測模型達(dá)到了很高的擬合度，預(yù)測位移信號(hào)是可信的。當(dāng)采樣頻率大于5時(shí)，計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定。

圖3 絕對(duì)誤差和決定系數(shù)隨采樣比變化的關(guān)系圖

2 基于實(shí)測數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)軌道不平順分析

2.1 引入軌道不平順的單輪軌模型

在建立單輪軌模型時(shí)，可將包含軸箱、輪對(duì)的一系簧下質(zhì)量和軌道分別簡化為單自由度的當(dāng)量系統(tǒng)，且不考慮一系懸架以上部分的影響。這是因?yàn)樵趯?shí)際運(yùn)行工況中，輪軌間高頻響應(yīng)的頻帶遠(yuǎn)大于構(gòu)架及車體的自振頻率。模型中假設(shè)車體、構(gòu)架不隨軸箱上下運(yùn)動(dòng)而靜止，輪軌始終保持接觸，且具有一定的接觸剛度。軌道垂向不平順以位移的形式作為系統(tǒng)的輸入。引入軌道不平順的單輪軌模型如圖4所示。

基于圖4模型的垂向動(dòng)力學(xué)方程為：

圖4 引入軌道不平順的單輪軌模型

(11)

式中：

鋼軌波浪形磨耗作為最普遍的不平順表現(xiàn)，具有諧波特征，可用式(12)表示：

(12)

式中：

b——常量；

ω——角頻率。

在假設(shè)的零初始條件下，對(duì)式(11)進(jìn)行拉普拉斯變換并化簡，可得：

(13)

式中：

s——拉普拉斯變換復(fù)變量。

由此可得一系簧下質(zhì)量的位移傳遞函數(shù)HZ1為：

(14)

故一系簧下質(zhì)量的加速度響應(yīng)為:

(15)

輪軌接觸剛度、鋼軌支承剛度和阻尼都相對(duì)一系懸架的剛度和阻尼大的多，所以傳遞函數(shù)HZ1的特征方程的所有系數(shù)都為正，根據(jù)勞斯判據(jù)，所有根的實(shí)部為負(fù)。假設(shè)傳遞函數(shù)HZ1有各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，記pi(i=1,2，…，n)，則式(15)可寫成：

(16)

式中：

Ai，pi，B，C——由系統(tǒng)參數(shù)和輸入?yún)?shù)決定的常數(shù)。

對(duì)式(16)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，得到：

(17)

式中，

(18)

(19)

式中：

φ——初相位。

式(17)中，第一項(xiàng)為衰減項(xiàng)，隨著時(shí)間的增加而衰減為零，第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)項(xiàng)?？梢?，在諧波型軌道垂向不平順輸入下，一系簧下質(zhì)量的加速度響應(yīng)的頻率不失真；而加速度響應(yīng)的幅值是輸入信號(hào)的幅值與頻率特性的幅值的乘積，包含了輪軌作用力和軌道附加變形的動(dòng)態(tài)軌道不平順。因此，一系簧下質(zhì)量的加速度響應(yīng)能夠較準(zhǔn)確地反映出動(dòng)態(tài)軌道不平順狀況。

2.2 測試方案

為了探究實(shí)際路線上軸箱的振動(dòng)情況和軌道不平順，對(duì)某運(yùn)營線的地鐵車輛進(jìn)行軸箱振動(dòng)測試和分析。測試線路包含舊線和試運(yùn)營的新線，兩條線路開通時(shí)間相差近15年，由于使用和日常維護(hù)情況不同，線路狀況相差甚遠(yuǎn)。測試車輛為新車，車輛各方面狀態(tài)最佳。為了排查車輪偏磨、多邊形磨損等對(duì)軸箱振動(dòng)情況的影響，對(duì)車輪踏面進(jìn)行檢測。測試時(shí)，在TC車的一、二位側(cè)的對(duì)等軸箱上布置加速度傳感器，并在該車車體一、二位端地板的平穩(wěn)性測點(diǎn)上布置加速度傳感器。測試工況為同一車輛以80 km/h在舊線和新線的平直區(qū)段內(nèi)分別運(yùn)行。測試儀器如表1所示，軸箱及車體地板測點(diǎn)如圖5所示，車輪踏面測試如圖6所示。

表1 測試儀器

圖5 軸箱及車體地板測點(diǎn)圖

圖6 車輪踏面測試圖

2.3 數(shù)據(jù)處理與結(jié)果分析

2.3.1 車輪踏面計(jì)算

車輪旋轉(zhuǎn)一周，車輪粗糙度測試儀探針記錄車輪踏面徑向波動(dòng)量。以車輪踏面平均徑跳量為基準(zhǔn)，繪制車輪踏面圓周粗糙度。一般徑跳量在100 μm以內(nèi)的車輪為新輪或新鏇修車輪。如圖7所示，一位側(cè)輪的最大徑跳量為23.2 μm，最小徑跳量為-6.2 μm；二位側(cè)輪的最大徑跳量為8.7 μm，最小徑跳量為-11.9 μm。兩側(cè)車輪沒有明顯的偏磨。

圖7 車輪踏面粗糙度極坐標(biāo)圖

為了研究車輪多邊形磨損，通常對(duì)車輪踏面圓周粗糙度進(jìn)行階次分析，粗糙度水平用dB表示，其表達(dá)式為：

(20)

式中：

Lk——k階踏面粗糙度；

rk——k階踏面粗糙度均值；

rref——參考值，取值為1 μm。

圖8為車輪踏面粗糙度階次圖。如圖8所示，一、二位側(cè)車輪踏面粗糙度水平在所示階次域中均處于較低水平，且沒有顯著的單峰值，說明兩側(cè)車輪沒表現(xiàn)出多邊形磨損特征，服役狀態(tài)良好。

圖8 車輪踏面粗糙度階次圖

2.3.2 軌道預(yù)測譜計(jì)算

利用加速度積分原理，對(duì)兩側(cè)軸箱加速度信號(hào)積分后取平均值，則可得到軌道垂向不平順[4]，其表達(dá)式為：

zv=(zl+zr)/2

(21)

式中：

zv——軌道垂向不平順；

zl——左軌垂向不平順；

zr——右軌垂向不平順。

圖9為車輛在舊線和新線上運(yùn)行時(shí)，兩側(cè)軸箱加速度信號(hào)和積分后的預(yù)測位移信號(hào)。由圖9可見，在所截取的里程內(nèi)，預(yù)測位移信號(hào)在舊線上的幅值顯著大于新線。

圖9 軸箱加速度信號(hào)和預(yù)測位移信號(hào)圖

美國軌道譜的解析式[4]為：

(22)

式中：

Sv——功率譜值；

Av——粗糙度系數(shù)；

K——比例系數(shù)；

Ωc——截?cái)囝l率；

Ω——空間頻率。

將預(yù)測位移信號(hào)功率譜與美國五級(jí)譜進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖10所示。舊線和新線的預(yù)測譜與美國五級(jí)譜具有類似的趨勢。舊線的預(yù)測譜幅值在所示空間頻率范圍內(nèi)明顯大于新線的預(yù)測譜，說明舊線軌道不平順狀態(tài)劣于新線。新線的預(yù)測譜在空間頻率為2.4 rad/m處出現(xiàn)顯著的波峰。而通常波長在1.0～3.5 m范圍內(nèi)，波幅在0.1～1.0 mm范圍內(nèi)的波長成分，主要是鋼軌在軋制過程中形成的周期性成分，屬于新軌軌身不平順。舊線的預(yù)測譜在空間頻率為16～28 rad/m波段出現(xiàn)顯著的波峰。而通常波長在幾百毫米內(nèi)、波幅在2 mm以內(nèi)的波長成分，主要由鋼軌波浪形磨耗和軌枕間距不平順引起[13]。

圖10 預(yù)測位移信號(hào)功率譜與美國五級(jí)譜對(duì)比圖

由于加速度傳感器的低頻非線性，軌道預(yù)測譜在低于0.5 Hz的低頻長波部分會(huì)產(chǎn)生失真。受輪軌接觸斑沿鋼軌縱向長度限制，無法識(shí)別出半波長小于該長度的軌道不平順。預(yù)測譜在高頻短波部分也會(huì)產(chǎn)生失真。而在中高頻段的預(yù)測譜具有較高的識(shí)別可靠性。

2.3.3 車輛平穩(wěn)性計(jì)算

根據(jù)GB 5599—1985，運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)計(jì)算公式：

(23)

式中：

W——平穩(wěn)性指標(biāo)；

A——振動(dòng)加速度；

f——振動(dòng)頻率；

F(f)——頻率修正系數(shù)，頻率修正系數(shù)表詳見標(biāo)準(zhǔn)。

任意截取不同線路上車體一、二位端處的20 s垂向加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，平穩(wěn)性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果如表2所示。由表2可知，在舊線上，車體一、二位端的平穩(wěn)性指標(biāo)在2.50至2.75之間，平穩(wěn)性等級(jí)為2級(jí)，評(píng)定為良好。在新線上，車體一、二位端的平穩(wěn)性指標(biāo)小于2.50，平穩(wěn)性等級(jí)為1級(jí)，評(píng)定為優(yōu)。在車輛運(yùn)行工況一致的前提下，運(yùn)行于舊線的平穩(wěn)性明顯劣于新線，說明舊線的動(dòng)態(tài)軌道不平順?biāo)斤@著高于新線。

表2 平穩(wěn)性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)語

本文推導(dǎo)并驗(yàn)證加速度積分算法，建立引入軌道不平順的單輪軌模型，以某運(yùn)營線的地鐵車輛作為研究對(duì)象，對(duì)實(shí)測不同線路上軸箱加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)軌道不平順預(yù)測和對(duì)比，得出以下結(jié)論：

1)加速度信號(hào)采樣頻率的采樣比為3時(shí)，積分絕對(duì)誤差為6.28%，決定系數(shù)為0.985，預(yù)測的位移信號(hào)達(dá)到精度要求。

2)在諧波型軌道不平順輸入下，單輪軌模型反映出軸箱加速度響應(yīng)的頻率不失真；加速度響應(yīng)的幅值包含動(dòng)態(tài)軌道不平順成分。

3)舊線和新線的軌道預(yù)測譜與美國五級(jí)譜的趨勢接近，因此在地鐵車輛動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)，宜采用美國五級(jí)譜。舊線和新線的軌道預(yù)測譜清晰地反映出了各自的不平順特征。舊線和新線的軌道預(yù)測譜具有明顯差異，且對(duì)車輛運(yùn)行平穩(wěn)性產(chǎn)生顯著影響。

4)通過監(jiān)測高密度運(yùn)營線路上的軌道車輛的軸箱加速度信號(hào)，利用該動(dòng)態(tài)軌道不平順計(jì)算方法，能夠以較低成本對(duì)線路進(jìn)行實(shí)時(shí)在線檢查，可為日常線路養(yǎng)護(hù)工作提供科學(xué)依據(jù)。