楊 靜，談文慧，魏周超

（中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢） 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074）

引 言

一些經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)雖然形式很簡(jiǎn)單，但其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)卻極為復(fù)雜[1-2].為了便于研究，學(xué)者們往往會(huì)通過證明系統(tǒng)的可積性，以及尋找系統(tǒng)的不變代數(shù)曲面，從而將系統(tǒng)降維，以此達(dá)到簡(jiǎn)化系統(tǒng)的目的.此外，若一個(gè)微分系統(tǒng)有足夠多的首次積分，則可證明此微分系統(tǒng)是可積的，從而就可以找到系統(tǒng)的不變代數(shù)曲面.通過將系統(tǒng)限制在不變代數(shù)曲面上，然后研究不變代數(shù)曲面上的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，這對(duì)我們研究系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)性質(zhì)起著非常重要的輔助作用.因此，研究微分系統(tǒng)的可積性和不變代數(shù)曲面是非常有必要的.在學(xué)者們的研究過程中，如何去尋找系統(tǒng)的首次積分就成了問題的關(guān)鍵，但遺憾的是，目前并沒有一個(gè)通用有效的方法可以解決此問題.Darboux 多項(xiàng)式與首次積分的聯(lián)系密切，可以通過研究系統(tǒng)的Darboux 多項(xiàng)式來尋找系統(tǒng)的首次積分，或者通過證明系統(tǒng)不存在Darboux 多項(xiàng)式，進(jìn)而推出系統(tǒng)不存在首次積分.但同樣地，尋找系統(tǒng)的Darboux 多項(xiàng)式也是一個(gè)困難的問題，目前仍有許多難題需要被解決.

學(xué)者們對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的代數(shù)可積性及不變代數(shù)曲面問題的研究，可以追溯到Darboux[3]和Poincar[4]的研究：Darboux 最早給出了代數(shù)幾何與尋找首次積分之間的聯(lián)系；Poincar則研究了有理首次積分，并提出：尋找一個(gè)多項(xiàng)式向量場(chǎng)的Darboux 多項(xiàng)式是一項(xiàng)非常困難的任務(wù)，目前還沒有找到一個(gè)有效的方法去計(jì)算它.1996年，Labrunie 通過初等微分代數(shù)方法[5]，計(jì)算出了Lotka-Volterra 系統(tǒng)的所有多項(xiàng)式一階積分[6].1999年，Ollagnier 基于代數(shù)和組合學(xué)的思想，研究了Lotka-Volterra 系統(tǒng)的齊次有理首次積分[7].2000年，Llibre 等利用求解線性偏微分方程的特征曲線方法，描述了Rikitake 系統(tǒng)的所有不變代數(shù)曲面.此外，Llibre 等還證明出在某些參數(shù)條件下，系統(tǒng)存在一個(gè)多項(xiàng)式首次積分或有理首次積分[8].2002年，Llibre 等使用加權(quán)齊次多項(xiàng)式和特征曲線的方法，通過求解線性偏微分方程，對(duì)經(jīng)典Lorenz 系統(tǒng)的所有Darboux 不變量、不可約Darboux 多項(xiàng)式、有理首次積分及代數(shù)可積性進(jìn)行了分類討論[9].2002年，Swinnerton-Dyer 通過對(duì)多項(xiàng)式權(quán)值的重新定義，分析并計(jì)算了Lorenz 系統(tǒng)的不變代數(shù)曲面[10].2007年，Lü等通過使用加權(quán)齊次多項(xiàng)式和特征曲線法，研究了Chen 系統(tǒng)的Darboux 多項(xiàng)式和代數(shù)可積性問題[11].2011年，Deng 等通過對(duì)多項(xiàng)式權(quán)值的重新定義，求出了Chen 系統(tǒng)的所有不變代數(shù)曲面[12].2018年，Murilo 等研究了一個(gè)金融模型的不變代數(shù)曲面和Hopf 分岔問題，并基于加權(quán)齊次多項(xiàng)式和特征曲線的方法，證明出該模型對(duì)于任何參數(shù)值都不存在不變代數(shù)曲面[13].2018年，Aybar 等利用計(jì)算機(jī)代數(shù)工具，研究了一個(gè)二次自相互作用的二餌一捕食者系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，并給出了該系統(tǒng)存在不變代數(shù)曲面的條件[14].2019年，F(xiàn)erragut 等研究了一類平面多項(xiàng)式向量場(chǎng)的Darboux 首次積分問題，證明了這些向量場(chǎng)具有擴(kuò)展的約簡(jiǎn)過程，并給出計(jì)算系統(tǒng)Darboux 首次積分的算法[15].2020年，Dias 等利用Poincar緊化，對(duì)一個(gè)病毒系統(tǒng)做全局分析，證明出對(duì)于兩組參數(shù)值，系統(tǒng)具有不變代數(shù)曲面[16].同年，Dias 等利用三維空間中的Poincar緊化，對(duì)Maxwell-Bloch 系統(tǒng)進(jìn)行了全局分析，證明出對(duì)于某些參數(shù)值，該系統(tǒng)具有首次積分和不變代數(shù)曲面[17].

ENSO (El Ni?o southern oscillation)現(xiàn)象是指太平洋東部和中部大規(guī)模變暖的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生與熱帶太平洋海洋-大氣系統(tǒng)的無序性和地球上最突出的氣候變化有關(guān)，一般會(huì)持續(xù)幾個(gè)月.ENSO 現(xiàn)象會(huì)對(duì)當(dāng)?shù)貪O業(yè)及海洋生物的遷移產(chǎn)生巨大的影響，并且熱帶海洋表面溫度場(chǎng)對(duì)全球氣候也會(huì)產(chǎn)生不容忽視的影響，這些影響使學(xué)者們對(duì)ENSO 現(xiàn)象產(chǎn)生了極大的興趣.在文獻(xiàn)[18-21]中，學(xué)者們都針對(duì)ENSO 現(xiàn)象提出了模型，并成功地解決了部分問題，但這些模型都比較復(fù)雜.1988年，Vallis 在研究ENSO 現(xiàn)象時(shí)，提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的微分方程組，即Vallis 模型[22].Vallis 系統(tǒng)是一個(gè)三維微分系統(tǒng)，它模擬了太平洋熱帶地區(qū)的大氣動(dòng)力學(xué)與年降水量、氣溫和風(fēng)力的變化有關(guān).本文引入Vallis 系統(tǒng)如下：

式中變量x表示風(fēng)力，變量y表示太平洋東西部近水面溫差，變量z表示近水面平均溫度，參數(shù)b和c為正實(shí)數(shù)，P為實(shí)數(shù).

盡管Vallis 模型忽略了地球自轉(zhuǎn)、壓力場(chǎng)和波動(dòng)現(xiàn)象等一些影響，但它提供了對(duì)觀測(cè)到的過程的正確描述，并描述出許多觀測(cè)到的ENSO 現(xiàn)象.2008年，Krishchenko 等利用Vallis 模型，研究了右側(cè)可微時(shí)變系統(tǒng)緊不變集的局部化問題[23].在文獻(xiàn)[24]中，Euzebio 等討論了Vallis 系統(tǒng)的周期解的存在性及穩(wěn)定性問題.2015年，Garay 等研究了Vallis 模型的混沌問題[25].2017年，Borghezan 等分析了Vallis 系統(tǒng)的混沌與周期性，證明了嵌入在混沌區(qū)域的周期結(jié)構(gòu)的存在性，并且這些周期結(jié)構(gòu)是以周期相加序列的形式存在的[26].2019年，Rajagopal 等研究了Vallis 模型的反單調(diào)性、分岔性和多穩(wěn)定性問題，分別給出了當(dāng)P為0 和不為0 時(shí)產(chǎn)生Hopf 分岔的參數(shù)條件[27].在本文中，我們將從代數(shù)學(xué)方面，研究系統(tǒng)(1)的Darboux 多項(xiàng)式和不變代數(shù)曲面問題.

本論文構(gòu)造如下：第1 節(jié)給出了一些Darboux 多項(xiàng)式的相關(guān)定義及求解線性偏微分方程的特征方法，并給出了本文的主要定理；第2 節(jié)給出了主要定理的證明；第3 節(jié)給出了本文的總結(jié).

1 主要結(jié)論和定義

設(shè)f(x,y,z)是關(guān)于變量x,y,z的實(shí)多項(xiàng)式，若我們稱f是系統(tǒng)(1)的Darboux 多項(xiàng)式，其中k(x,y,z)是實(shí)多項(xiàng)式，k稱為f的余因子.由于系統(tǒng)(1)是三維二次系統(tǒng)，則由可知，余因子k(x,y,z)的階數(shù)至多為1.若f(x,y,z)是Darboux 多項(xiàng)式且f=0是曲面，那么它就是不變的，我們稱為不變代數(shù)曲面.

對(duì)X∈Rn，若存在S=(s1,s2,···,sn)∈Nn,m∈N，對(duì)所有α ∈R{0}，有g(shù)(αsX)=g(αs1x1,αs2x2,···,αsnxn)=αmg(X)，則多項(xiàng)式g(X)被 稱為加權(quán)齊次的，其中R 代表實(shí)數(shù)域，N代 表正整數(shù)集.我們稱s為g的權(quán)，m表示加權(quán)階數(shù)，X→αsX表示賦予變量新的加權(quán)次數(shù).

為了方便讀者理解，我們將求解線性偏微分方程的特征方法總結(jié)如下.考慮一階線性偏微分方程：

這里A=A(x,y,z),a,b,c,d,f是C1函數(shù)，Ax,Ay,Az分別是A(x,y,z)關(guān)于x,y,z的一階偏導(dǎo).

對(duì)于xyz空間中的曲線(x(t),y(t),z(t))，若對(duì)曲線上的每一點(diǎn)(x0,y0,z0)，向量(a(x0,y0,z0),b(x0,y0,z0),c(x0,y0,z0))與曲線相切，則曲線(x(t),y(t),z(t))被稱為線性偏微分方程(2)的特征曲線.并且，特征曲線是如下系統(tǒng)的解：

為了方便起見，我們將z代替t作為新的自變量，將系統(tǒng)(3)簡(jiǎn)化為如下方程(這里假設(shè)c(x(t),y(t),z(t))≠0)：

則常微分方程(4)稱為偏微分方程(2)的特征方程.

假設(shè)方程(4)有隱式解g(x,y,z)=c1，h(x,y,z)=c2，其中c1,c2是任意常數(shù).現(xiàn)考慮如下變量替換：

且變換(5)的逆變換為x=p(u,v,w),y=q(u,v,w),z=s(u,v,w).于是我們將方程(2)變成關(guān)于w的常微分方程(對(duì)于固定的u,v)：

本文的主要定理如下.

定理1當(dāng)有以下條件之一成立時(shí)，系統(tǒng)(1)有不變代數(shù)曲面.

(ⅰ) 當(dāng)c=1/2，P=0時(shí)，系統(tǒng)(1)的Darboux 多項(xiàng)式為an(x2+2bz?2b)2n，對(duì)應(yīng)的余因子為k=?2n；另一個(gè)Darboux 多項(xiàng)式為an(x2+2bz?2b)2n?1，對(duì)應(yīng)的余因子為?2n+1，其中an為任意非零實(shí)數(shù).

(ⅱ) 當(dāng)c=1，P=0時(shí)，系統(tǒng)(1)的Darboux 多項(xiàng)式為對(duì)應(yīng)的余因子為k=?2n，其中a0為任意非零實(shí)數(shù).

2 定理1的證明

通過變量替換

我們將系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

接下來，我們繼續(xù)對(duì)系統(tǒng)(8)做變量替換:

則系統(tǒng)(8)變?yōu)?/p>

其中上標(biāo)點(diǎn)表示變量對(duì)T的導(dǎo)數(shù).

若f(x,y,z)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)Darboux 多項(xiàng)式，其余因子為k(x,y,z).不失一般性，我們假設(shè)k(x,y,z)=k0+k1x+k2y+k3z.令F(X,Y,Z)=αl f(α?1X,α?2Y，α?2Z),K(X,Y,Z)=α2k(α?1X,α?2Y,α?2Z)，其中l(wèi)為f的權(quán)齊次分量中的最高權(quán)次，(x,y,z)的權(quán)次為(1,2,2).假設(shè)F=F0+αF1+α2F2+···+αmFm，這里Fi是一個(gè)權(quán)齊次多項(xiàng)式，其權(quán)次為l?i，且i=0,1,···,m,l≥m.由Darboux 多項(xiàng)式定義，我們可以得到以下等式：

式中，我們?nèi)杂脁,y,z代替X,Y,Z.比較等式(11)兩邊 α?1的系數(shù)，可以證明k2=k3=0.再比較等式(11)兩邊αi,i=0,1,···,m+2的系數(shù)，我們有

其中j=2,3,···,m+2；當(dāng)j>m時(shí)，F(xiàn)j=0；L是線性偏微分算子，

那么與線性偏微分算子(13)相關(guān)的特征方程為

經(jīng)計(jì)算，特征方程(14)的通解為x2?2az=d1,y2+z2=d2,此處d1和d2是積分常數(shù).接下來，我們做變量替換：

則變換(15)的逆變換是

在后面的計(jì)算中，為了方便，我們只考慮

通過變換(15)和(17)，方程(12)的第一個(gè)方程變?yōu)槿缦鲁Ｎ⒎址匠?對(duì)于固定的u,v)：

這里G0是關(guān)于u,v的任意光滑函數(shù).為了使是一個(gè)權(quán)齊次多項(xiàng)式，我們必須使k1=0，于是有

因此，系統(tǒng)(1)的每個(gè)Darboux 多項(xiàng)式的余因子是一個(gè)常數(shù).由于u和v在x,y,z中的權(quán)次分別是2 和4，則F0的權(quán)次應(yīng)為l=4n或l=4n?2,n∈N.所以F0的形式為

此處l=4n，且當(dāng)i=0,1,···,n時(shí)，ai是任意實(shí)數(shù)；或

此處l=4n?2，且當(dāng)i=1,2,···,n時(shí)，ai是任意實(shí)數(shù).

對(duì)于這兩種不同的情況，我們將證明分為兩部分.

2.1 F0的形式為式(20)

將F0代入式(12)的第二個(gè)方程，我們可以證明

將方程(23)對(duì)w積分，我們得到

進(jìn)一步，條件(25)可等同以下條件：

(ⅰ)c=1/2，k0=?2n，且存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0；

(ⅱ)c≠1/2，k0=?2n，a0≠0，對(duì)i=1,2,···,n，有ai=0.

這里對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行說明，我們首先假設(shè)2c?1=0.于是條件(25)可以被簡(jiǎn)化為

由式(26)可以看出，當(dāng)k0≠?2n時(shí)，對(duì)i=0,1,···,n，有ai=0，此時(shí)F0=0.將F0=0代入式(11)，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)i=1,2,···,n，有Fi=0，則F=0，Darboux 多項(xiàng)式不存在；當(dāng)k0=?2n時(shí)，對(duì)i=0,1,···,n，ai可以為任意實(shí)數(shù)，但須存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0(否則有F0=0 )，即為條件(ⅰ)；現(xiàn)在我們假設(shè) 2c?1≠0，由式(25)的第二個(gè)式子可以看出，若a0=0，則一定有a1=0，同理遞推，對(duì)i=2,3,···,n，有ai=0，所以a0≠0(否則有F0=0)；在式(25)的第二個(gè)式子和第三個(gè)式子中，令i=0，則有

由于a0≠0，則必須有k0+2n=0，于是可以得到a1=0，遞推有ai=0,i=2,3,···,n，即為條件(ⅱ).

接下來，我們分別在這兩個(gè)條件下進(jìn)行計(jì)算.

條件(ⅰ) 當(dāng)c=1/2,k0=?2n，且存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0時(shí)，有F1=0.由式(11)，當(dāng)j=2時(shí)，計(jì)算得

通過使用變換(15)和(17)，我們得到以下常微分方程：

將方程(28)關(guān)于w求積分，得到

由條件(ⅰ)，我們得到P=0，且有

這里bi是實(shí)常數(shù)，其中i=0,1,···,n?1.同樣地，由式(11)，當(dāng)j=3時(shí)，計(jì)算得

類似地，通過計(jì)算，我們得到

由于F3是權(quán)次為4n?3的權(quán)齊次多項(xiàng)式，則有(u,v)=0，且

這表明F2=0,F3=0.循環(huán)計(jì)算，當(dāng)i=4,5,···,m時(shí)，我們可以得到Fi=0.由式(33)的第一個(gè)式子得到，對(duì)i=0,1,···,n?1，有ai=0.結(jié)合條件，存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0.由此可得，系統(tǒng)(8)的Darboux 多項(xiàng)式為F=an(x2?2bz)2n，對(duì)應(yīng)的余因子為?2n.回到系統(tǒng)(1)，我們得到系統(tǒng)(1)的Darboux多項(xiàng)式為F=an(x2+2bz?2b)2n，對(duì)應(yīng)的余因子為?2n.

條件(ⅱ) 當(dāng)c≠1/2，k0=?2n，a0≠0，且對(duì)i=1,2,···,n，有ai=0 時(shí)，我們有F0=a0(y2+z2)n,F1=0.由式(11)，當(dāng)j=2 時(shí)，計(jì)算得

由于F2是權(quán)次為4n?2的權(quán)齊次多項(xiàng)式，則有

這里bi是實(shí)常數(shù)，其中i=0,1,···,n?1.接下來，由式(11)，當(dāng)j=3時(shí)，計(jì)算得

于是我們有

將方程(37)關(guān)于w求積分，得到

由于F3是權(quán)次為4n?3的權(quán)齊次多項(xiàng)式，則有(u,v)=0，且

這表明F3=0.因?yàn)閍0≠0，c≠1/2，由式(39)的第一個(gè)式子知，b1≠0；由式(39)的第三個(gè)式子知bi=0,i=2,3,···,n，由式(39)的第二個(gè)式子，令i=1，有(c?1)b1=0，于是求得c=1，b1=?a0n/b.代入式(35)，我們有

將F3代 入式(11)，當(dāng)j=4時(shí)，我們求得

與F3類似的求解方法，我們求得

這表明F5=0.在式(45)的第二個(gè)式子中，令i=1，得到于是有

循環(huán)計(jì)算，我們得到

因此系統(tǒng)(8)的Darboux 多項(xiàng)式為

對(duì)應(yīng)的余因子為?2n.回到系統(tǒng)(1)，我們得到系統(tǒng)(1)的Darboux 多項(xiàng)式為對(duì)應(yīng)的余因子為?2n.

2.2 F0的形式為式(21)

將F0代入式(11)的第二個(gè)方程，我們計(jì)算得到

與上一種情況計(jì)算方法相似，我們求出

其中a0=an+1=0.進(jìn)一步，條件(52)可以等同以下條件：

(ⅰ)c=1/2，k0=?2n+1，且存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0；

(ⅱ)c≠1/2，F(xiàn)0=0.

這里對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行說明.我們首先假設(shè)2c?1=0，于是條件(52)可以被簡(jiǎn)化為

若k0?1+2n≠0，則對(duì)i=1,2,···,n，必須有ai=0，此時(shí)F0=0，Darboux 多項(xiàng)式不存在.若k0?1+2n=0，則須存在i0∈1,2,···,n,使得ai0≠0，否則F0=0，即為條件(ⅰ).現(xiàn)在假設(shè)2c?1≠0，于是由a0=an+1=0和條件(52)的第一個(gè)式子，可以看出，對(duì)i=1,2,···,n，有ai=0，則有F0=0，即為條件(ⅱ).顯而易見，當(dāng)F0=0時(shí)，系統(tǒng)(8)不存在Darboux 多項(xiàng)式，所以對(duì)條件情況(ⅱ)不再進(jìn)行分析.現(xiàn)在我們計(jì)算系統(tǒng)(10)在條件(ⅰ)下的Darboux 多項(xiàng)式.

當(dāng)c=1/2，k0=?2n+1，且存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0時(shí)，有F1=0.由式(11)，當(dāng)j=2時(shí)，計(jì)算得

按照之前類似的計(jì)算，我們能夠得到

將式(55)關(guān)于w求積分，得到

由于F2是權(quán)次為4n?4的權(quán)齊次多項(xiàng)式，則有

由于存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0，且c=1/2，則P=0.于是F2可寫為

這里bi是實(shí)常數(shù)，其中i=0,1,···,n?1.接下來，由式(11)，當(dāng)j=3時(shí)，計(jì)算得

類似地，我們得到常微分方程(對(duì)于固定的u,v)：

將方程(60)關(guān)于w求積分，得到

由于F3是權(quán)數(shù)為4n?5的權(quán)齊次多項(xiàng)式，則有G3(u,v)=0，并且有

這表明F3=0，且對(duì)i=1,2,···,n?1，有ai=0，對(duì)i=0,1,···,n?1，有bi=0.此時(shí)F2=0.循環(huán)計(jì)算，可以得到Fi=0,i=4,5,···,n.根據(jù)條件(ⅰ)，存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0，于是有an≠0，因此系統(tǒng)(8)的Darboux 多項(xiàng)式為F=an(x2?2bz)2n?1，余因子為?2n+1.回到系統(tǒng)(1)，我們得到系統(tǒng)(1)的Darboux 多項(xiàng)式為F=an(x2+2bz?2b)2n?1，對(duì)應(yīng)的余因子為?2n+1.

定理1 證畢.

3 結(jié) 論

基于加權(quán)齊次多項(xiàng)式和特征曲線的方法，通過求解線性偏微分方程，研究了Vallis 系統(tǒng)的Darboux 多項(xiàng)式和不變代數(shù)曲面問題.最終，在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下，我們得到了Vallis 系統(tǒng)的三類Darboux 多項(xiàng)式.除了Darboux 多項(xiàng)式和不變代數(shù)曲面問題，Vallis 系統(tǒng)的首次積分和代數(shù)可積性等問題也值得思考.