趙 瑋，任鳳麗

（南京航空航天大學 數(shù)學系，南京 211106）

引 言

近幾十年來，神經(jīng)網(wǎng)絡受到了長久的關(guān)注.這與神經(jīng)網(wǎng)絡在保密通信、模式識別、聯(lián)想記憶等多個領(lǐng)域的廣泛應用有直接關(guān)系[1].神經(jīng)網(wǎng)絡復雜的動力學行為如穩(wěn)定、同步、分岔也推動了神經(jīng)網(wǎng)絡的廣泛研究[2-4].

四元數(shù)是一個非常有趣的話題.四元數(shù)問題首先于1843年被英國數(shù)學家Hamilton W R 所研究，對比于常見的實值、復值問題，四元數(shù)在運算規(guī)則上不具有乘法交換律.因此，四元數(shù)的研究一度處于停滯的狀態(tài).作為實值、復值的延展，四元數(shù)問題具有更加廣泛的應用，尤其在最近幾年人們相繼地將四元數(shù)引入到神經(jīng)網(wǎng)絡中[5-10].四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡同常見的實值、復值神經(jīng)網(wǎng)絡相比，能有效地減少系統(tǒng)的維數(shù)，具有可靠的計算速率[7].因此，四元數(shù)系統(tǒng)在優(yōu)化方面具有更好的應用.文獻[8]研究了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的全局穩(wěn)定性問題.借助于線性矩陣不等式方法，文獻[9]得到了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡全局μ 穩(wěn)定的判據(jù).文獻[10]研究了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡多平衡點的穩(wěn)定性問題.上述文獻絕大多數(shù)只考慮了穩(wěn)定性問題，對四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡同步現(xiàn)象的研究相對較少，通過實虛部分離的方法，本文研究了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的同步問題.

實際應用中，常常要求系統(tǒng)具備有限時間穩(wěn)定的性能，因此，系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定受到了大量學者的廣泛關(guān)注.有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)相比于漸近穩(wěn)定等具有較快的收斂速率、有限時間的穩(wěn)定、抗干擾等優(yōu)勢.文獻[11]分別設計了兩種不連續(xù)的控制協(xié)議使得系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)一致.文獻[12]通過使用隱函數(shù)方法給出了系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的基本判據(jù)并給出了停息時間的估計.文獻[13]通過用反函數(shù)方法解釋了有限時間穩(wěn)定的本質(zhì)原因并有效地應用到了復雜網(wǎng)絡的有限時間同步.由于實際系統(tǒng)中存在著多個平衡點問題，因此，文獻[14]給出了系統(tǒng)有限時間半穩(wěn)定的定義，并因此受到了學者的廣泛關(guān)注.最近的有限時間穩(wěn)定研究成果見文獻[15-18].

基于上述成果的啟發(fā)，本文主要研究了四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的主從系統(tǒng)有限時間同步.本文的主要貢獻在于：1) 首次考慮了四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間自適應同步問題，設計了一組新穎的控制器和自適應定律.分析了自適應控制器下四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間同步，并給出了停息時間的估計.借助Lyapunov 函數(shù)和不等式方法，得到了四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡主從系統(tǒng)同步的充分條件.2) 由于神經(jīng)元的傳輸過程中不可避免地出現(xiàn)時滯，本文考慮了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡在時滯情形下的有限時間同步.文章主要由以下幾個部分組成：在第1 節(jié)，給出了基本定義、模型；第2 節(jié)給出了主要定理和證明；在第3 節(jié)，通過數(shù)值模擬驗證了定理的有效性；最后，第4 節(jié)給出了總結(jié)和展望.

符號說明：N 表示非負整數(shù)集合，Rn表示n維實空間；Q表示四元數(shù)的集合；|·|Q表示四元數(shù)的模；D+f(t)表示f(t)的右上Dini 導數(shù).

1 基本定義和模型

一個四元數(shù)可由一個實部和三個虛部組成，如w=wR+wIi+wJj+wKk，這里w∈Q，wR,wI,wJ,wK∈R，虛部i,j,k 滿足Hamilton 準則：

i2=j2=k2=?1,ij=?ji=k,jk=?kj=i,ki=?ik=j.

注1四元數(shù)是一種超越數(shù)，由實值和復值演變而來，然而運算法則不滿足乘法交換律，即x,y∈Q,xy≠yx.

記w的共軛：=wR?wIi?wJj?wKk，w的模：|w|Q=

加法定律：對于任意兩個四元數(shù)h,q∈Q，h=hR+hIi+hJj+hKk，q=qR+qIi+qJj+qKk，h+q=hR+qR+(hI+qI)i+(hJ+qJ)j+(hK+qK)k；

乘法定律：基于Hamilton 準則，可得

hq=(hRqR?hIqI?hJqJ?hKqK)+(hRqI+hIqR+hJqK?hKqJ)i+

(hRqJ+hJqR+hKqI?hIqK)j+(hRqK+hKqR+hIqJ?hJqI)k.

四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的一般形式可描述如下：

這里p=1,2,···,n，xp(t)∈Q表示第p個神經(jīng)元的狀態(tài)，cp>0 表示第p個神經(jīng)元的自反饋系數(shù)，apq表示神經(jīng)元p,q在時刻t的連接權(quán)重，bpq表示神經(jīng)元p,q在時刻t?τ的連接權(quán)重，其中τ >0 表示離散時滯，(·)表示神經(jīng)元q的激活函數(shù)，J表示系統(tǒng)的外部輸入.系統(tǒng)(1)的初始條件為xp(t)=φ(t),t∈[?τ,0].

假設1對于任意的xp=xRp+xIpi+xJpj+xKpk，其中xRp,xIp,xJp,xKp∈R，p=1,2,···,n.激活函數(shù)滿足

假設2對于任意的xαp,yαp∈R，存在常數(shù)lαp>0，p=1,2,···,n，α=R,I,J,K，滿足

本文將系統(tǒng)(1)設為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)用下式表示：

其中cp∈R，apq,bpq∈Q同系統(tǒng)(1)，up(t)是一個旨在實現(xiàn)主從系統(tǒng)有限時間同步的外部控制器.從系統(tǒng)(2)的初始條件為yp(t)=φ(t),t∈[?τ,0].

定義主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)之間的誤差：ep(t)=yp(t)?xp(t)，則誤差系統(tǒng)可用下述方程表述：

基于Hamilton 準則，將誤差系統(tǒng)(3)進行實虛部分離得

控制器設計如下：

這里

sigβ(r)=sgn(r)|r|β，0<β<1，δαp>0，λαp>0，α=R,I,J,K.

注2全文將在Filippov 解意義下[19]討論系統(tǒng)(3)能否有限時間收斂到零.

下面將主要介紹有限時間同步的定義和基本引理.

定義1若存在T>0，使得

1) l imt→T|yp(t)?xp(t)|=0；

2) |yp(t)?xp(t)|=0,t≥T

成立，則主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)實現(xiàn)有限時間同步，其中T稱為停息時間.

引理1[20]假定V(t)是連續(xù)正定的函數(shù)且滿足下式：

D+V(t)≤μV?(t),

這里μ >0，0

V1??(t)≤V1??(t0)?μ(1??)(t?t0),t0≤t≤T,

其中V(t)=0，t≥T，T=t0+V1??(t0)/(μ(1??)).

引理2[21]設x1,x2,···,xn≥0，0 1，則有

2 主要結(jié)果

本節(jié)將通過上文給定的自適應控制器，基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論給出兩個四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡即主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)的有限時間同步的充分條件.

定理1在假設1 和假設2 下，誤差系統(tǒng) (3)在控制器(4)伴隨的更新定律為式(5)，主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)實現(xiàn)有限時間同步，停息時間

證明構(gòu)造候選Lyapunov 函數(shù)V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),

對輔助函數(shù)(t)求右上Dini 導數(shù)，得

由假設2 得

這里α=R,I,J,K.則有下式：

同理可得

對輔助函數(shù)(t)求右上Dini 導數(shù)，得

則有下式：

同理可得

對輔助函數(shù)(t)求右上Dini 導數(shù)，得

則有下式：

同理可得

對輔助函數(shù)(t)求右上Dini 導數(shù)，得

則有下式：

綜合上式，得

根據(jù)引理2，則下列不等式成立：

其中 0 <β<1.

其中

定義一個常數(shù)

取

下面將考慮兩種情形.

情形1若(0)≤M，于是可得根據(jù)引理1，則系統(tǒng)(3)有限時間收斂到零.系統(tǒng)的停息時間估計

情形2若(0)>M，采用反證法，若對任意的時刻t，(t)>M恒成立，則有下式成立：

3 數(shù)值模擬

考慮四元數(shù)細胞時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(2)，系統(tǒng)參數(shù)的取值如下：c1=1.5,c2=1,a11=b11=1+2i+2j+2k,a12=b12=2+i+2j+1.5k,a21=b21=1+2i+j+0.5k,a22=b22=2+2i+2j+k.取n=2,=取mα1(t),mα2(t),α=R,I,J,K的初值為mR1(0)=0.1,mI1(0)=0.2,mJ1(0)=0.4,mK1(0)=0.2,mR2(0)=0.2,mI2(0)=0.3,mJ2(0)=0.4,mK2(0)=0.6,β=0.8,λαp=6.由此可知lαp=1,α=R,I,J,K.通過定理1的條件取 δα1=12，δα2=15.隨機取4 組 [?1,1]間的初值，步長h=1×10?3.從圖1、圖2可知主系統(tǒng)(1)與從系統(tǒng)(2)是有限時間同步的.

圖1 誤差狀態(tài)的實、虛部運動軌跡Fig.1 The trajectories of the real，imaginary parts of errors

圖2 自適應增益的實、虛部運動軌跡Fig.2 The trajectories of the real，imaginary parts of adaptive gain

4 結(jié) 論

本文研究了四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間同步問題.為節(jié)約控制成本，設計了一組新穎的自適應控制器，基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論和不等式方法，有效地解決了含有時滯的四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡主從系統(tǒng)的有限時間同步.對比已有文獻關(guān)于四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的研究，首次研究了自適應控制下四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間同步.四元數(shù)作為實值、復值的延伸，具有較為廣泛的應用價值.因此本文所考慮的四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間同步更具有一般性.通過數(shù)值仿真有效地驗證了定理的合理性.考慮到離散時間的四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間自適應穩(wěn)定和四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡的切換同步對實際應用有非常重要的意義，因此，筆者未來將主要關(guān)注四元數(shù)切換系統(tǒng)下的有限時間同步和四元數(shù)離散神經(jīng)網(wǎng)絡的有限時間自適應同步控制問題.