孫文靜，王毅澤

（1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 力學(xué)系，北京 100044；2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 力學(xué)系，天津 300350）

引 言

聲子晶體和彈性波超材料是由兩種或兩種以上彈性材料周期性排列構(gòu)成的新型功能結(jié)構(gòu).由于結(jié)構(gòu)周期性，彈性波和振動在帶隙的頻率范圍內(nèi)不能在結(jié)構(gòu)中傳播[1-7].聲子晶體和彈性波超材料可以提供許多新領(lǐng)域的應(yīng)用，如濾波、隱身、聚焦等.其中關(guān)于直線型結(jié)構(gòu)的研究包括，低階Lamb 波在周期板中的傳播[8]、考慮熱效應(yīng)的無序?qū)訝盥曌泳w中的彈性波局部化[9]，以及周期性壓電耦合梁中的波傳播和帶隙特性[10]等內(nèi)容.

聲子晶體和彈性波超材料通常表現(xiàn)為有序?qū)ΨQ的周期性結(jié)構(gòu).隨著周期特點(diǎn)的變化，帶隙的位置和寬度將隨之改變，有時甚至?xí)a(chǎn)生新的帶隙[11].這為研究設(shè)計特殊形式的彈性波超材料提供了新的思路，如已報道了具有交錯層狀和三明治層狀結(jié)構(gòu)的周期性板結(jié)構(gòu)[12-13].當(dāng)填充率或者幾何參數(shù)發(fā)生變化時，帶隙的特性會隨之改變.因此，可以通過設(shè)計周期結(jié)構(gòu)來調(diào)控彈性波的傳播特性.然而，以往的研究通常局限于改變彈性波超材料的幾何結(jié)構(gòu)與組成材料的參數(shù)，因此上述結(jié)構(gòu)一旦加工成型便不便于調(diào)節(jié)帶隙行為，從而使得控制方法不夠靈活.

另一方面，由于力電耦合效應(yīng)，壓電材料能夠方便地改變材料參數(shù)[14-17].可以采用壓電材料以及主動控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對彈性波傳輸?shù)闹鲃涌刂芠18-24]，從而改進(jìn)以往被動調(diào)節(jié)方式靈活性不足的缺點(diǎn).本文研究了主動控制對彈性波超材料梁中帶隙特性的影響，采用與壓電片連接的負(fù)電容電路進(jìn)行調(diào)控，從而改變帶隙與界面?zhèn)鬏斕匦?本文基于傳遞矩陣和Lyapunov 指數(shù)方法，給出了彈性波的帶隙特性，通過有限元計算和實(shí)驗(yàn)證明了理論結(jié)果的正確性.

1 基本方程和理論推導(dǎo)

將壓電片與外部負(fù)電容電路連接，然后周期性地黏附在基體梁結(jié)構(gòu)上，用以調(diào)控周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播特性，如圖1所示.類比于固體物理學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)形式，可以將含有壓電分流電路的復(fù)合結(jié)構(gòu)看作一個單胞，在空間上周期性排布，形成一種特殊的晶格結(jié)構(gòu).這種單胞主要包含三部分，即基體結(jié)構(gòu)、壓電片和外部電路.其中，外部分流電路和壓電片共同作用可以主動控制超材料中的彈性波傳輸特性.圖2給出了本文考慮的彈性波超材料梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由相同單胞周期排列構(gòu)成.選取樹脂材料作為基體梁，在其上下表面周期性地粘貼壓電陶瓷片，每個單胞的厚度為h=hb+hpt+hpb，其中hb是基體梁的厚度，hpt和hpb分別是上下層黏附的壓電片厚度.

圖1 壓電分流結(jié)構(gòu)單胞Fig.1 The unit cell of the piezoelectric circuit

圖2 具有不等厚度壓電片的主動彈性波超材料梁Fig.2 Active elastic wave metamaterial beam attached by piezoelectric patches with different thicknesses

壓電材料的本構(gòu)方程為[21]

其中，下標(biāo)1 和3 分別表示x和z方向，S1和T1分別表示沿x方向的應(yīng)變和應(yīng)力，是壓電材料的柔度系數(shù)，d31和分別表示壓電常數(shù)和介電常數(shù)，D3和E3分別代表沿z方向的電位移和電場強(qiáng)度.

壓電材料的本構(gòu)關(guān)系可以表示為[22]

其中，Z是復(fù)阻抗，As是壓電片的電極面積，Cp=εT33As/Hp是壓電片的固有電容.

從而可以推導(dǎo)出壓電片的彈性模量為

采用圖3所示的負(fù)電容電路作為主動控制系統(tǒng)，其包含電容C和補(bǔ)償電阻R0，運(yùn)算放大器的型號為LM 324N，復(fù)阻抗可定義為

圖3 含有負(fù)電容電路的主動控制系統(tǒng)Fig.3 The active control system with a negative capacitance circuit

其中，R1是固定電阻阻值，R2是滑動變阻器阻值.

選取圖2單胞中的l1部分進(jìn)行分析，其中不同厚度的壓電片hpt和hpb分別貼附在梁的上下表面，圖4給出了該部分的變形情況.假設(shè)壓電片和基體梁具有相同的旋轉(zhuǎn)角度.由于結(jié)構(gòu)厚度較小，此時兩部分中性層位置差別可以忽略[10,18].因此，基體梁和上下層壓電片中性層的軸向位移分別為u1b，u1pt和u1pb，它們之間的相互關(guān)系可以表述為

圖4 變形關(guān)系：(a)超材料梁的變形；(b)節(jié)點(diǎn)的位移Fig.4 The deformation relation:(a) the deformation of the layered elastic-piezoelectric beam;(b) the displacements of the nodes

式中，θ1=?w1/?x是旋轉(zhuǎn)角度.

另一方面，對于上下層壓電片厚度不相等的情況，l1部分的應(yīng)變能和動能可以分別表示為

式中，E為彈性模量，A為橫截面積，I為慣性矩，ρ為每一層的質(zhì)量密度，t為時間.

對于l2部分，只有基體梁而沒有壓電片，因此其應(yīng)變能和動能可分別表示為

式中，u2b為基體梁的軸向位移，w2為橫向位移，l2為該部分的長度.

根據(jù)式(5a)和(5b)，可以用ub代替式(6a)和(6b)中的upt和upb，得到此時的位移變量.圖4所示的梁位移矢量可表示為

式中，i表示單胞的第i部分，Niu(x)和Niw(x)為形函數(shù)，δi(t)代表節(jié)點(diǎn)位移向量.

以上分量可以表達(dá)為

式中，L 和R 分別表示梁單元的左右兩側(cè).

從而單胞的l1和l2部分可以推導(dǎo)為

式中，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的表達(dá)式為

考慮以角頻率為ω的彎曲波在超材料梁中傳播，基于以上推導(dǎo)，動態(tài)剛度矩陣可以定義為

式中，Kdi代表單胞第i部分的動態(tài)剛度矩陣.

根據(jù)以往關(guān)于周期結(jié)構(gòu)的研究[9,25]，由傳遞矩陣可以得到局部化因子，從而得出帶隙特性.在第j個單胞中，其第i部分的平衡方程為

式中，KdiMN(M,N=L,R)是第j個單胞中Kdi的3×3 子矩陣，X(j)和F(j)是廣義位移矢量和廣義力矢量.

從而方程(14a)和(14b)可以推導(dǎo)為

根據(jù)單胞相鄰兩個部分交接面處的相互關(guān)系，位移和力的狀態(tài)矢量為

另一方面，相鄰單胞交界面處的矢量可以寫成

式中

所以第j個單胞中l(wèi)1部分左側(cè)和l2部分右側(cè)之間的關(guān)系為

式中，T′是第j個單胞的傳遞矩陣，其表達(dá)式為

第j個單胞左側(cè)狀態(tài)矢量可以通過第j–1 個單胞右側(cè)的狀態(tài)矢量表示為

根據(jù)方程(24)和(26)，第j–1 個單胞和第j個單胞的狀態(tài)矢量滿足如下關(guān)系：

其中，T(j)=T′J?1=T2′J?1T1′J?1是兩個連續(xù)單胞之間的傳遞矩陣.

此外，本文利用了局部化因子表征帶隙特性.Lyapunov 指數(shù)表征相對相空間相鄰相軌線的平均指數(shù)發(fā)散或收斂程度，按數(shù)值大小排列最小正數(shù)的Lyapunov 指數(shù)即為其局部化因子.我們可以利用傳遞矩陣計算本系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)以及局部化因子[9,25]，局部化因子為零的區(qū)域?qū)?yīng)能帶結(jié)構(gòu)中的通帶，非零值區(qū)域則表示彈性波帶隙，因此本文采用局部化因子描述帶隙特性.

2 結(jié)果和討論

本文從理論分析、有限元數(shù)值計算以及實(shí)驗(yàn)研究三個方面進(jìn)行了討論，研究此類結(jié)構(gòu)的帶隙和界面態(tài)傳輸性質(zhì).我們將著重討論上下壓電片厚度不相等以及主動控制的影響.本文采用壓電片型號為PZT-5H，彈性模量為77.5 GPa，密度為7 500 kg/m3；基體梁為樹脂材料，彈性模量為1.43 GPa，密度為1 200 kg/m3.當(dāng)壓電片在梁上對稱粘貼時，改變壓電片厚度并保持上下層厚度相同，其局部化因子變化情況如圖5所示.從中可以看出，當(dāng)壓電片厚度由0.001 m 增大為0.001 2 m 時，結(jié)構(gòu)中第一帶隙頻率范圍由138～1 535 Hz 變?yōu)?38～1 750 Hz，帶隙起始頻率不變，但寬度增加；第二帶隙起始頻率由2 641 Hz 變?yōu)? 963 Hz，但寬度幾乎不變；而第三個帶隙的起始頻率明顯變高，從6 740 Hz 變?yōu)? 477 Hz，變化幅度為737 Hz.

圖5 壓電片對稱粘貼但厚度改變時彈性波超材料梁的局部化因子Fig.5 The localization factors of the elastic metamaterial beam with different-thickness piezoelectric sheets symmetrically pasted

當(dāng)上下層壓電片厚度相同與不同時，該彈性波超材料的局部化因子如圖6所示.從圖中可以看出，對于壓電片厚度不等情況，第二帶隙的位置存在明顯的偏移，因此可以通過采用上下壓電片不同厚度的方式調(diào)節(jié)帶隙位置.另外，三個帶隙的起始頻率分別由138 Hz，2 641 Hz，6 740 Hz 變?yōu)? 520 Hz，2 794 Hz，7 124 Hz，均有不同程度的增大.

圖6 上下層壓電片厚度相同與不同時彈性波超材料梁的局部化因子Fig.6 The localization factors of the elastic metamaterial beam with the same- and different-thickness piezoelectric patches

圖7給出了壓電片厚度不相等時彈性波超材料梁中有無主動控制的局部化因子情況.主動控制系統(tǒng)通過改變壓電片的彈性模量從而改變帶隙特性.施加主動控制后，壓電片彈性模量增大為156.6 GPa.從圖中可以看出，進(jìn)行主動調(diào)控之后，第一帶隙的寬度明顯變大，由1 520～1 627 Hz 變?yōu)? 520 ～2 303 Hz，其起始頻率并未改變；第二帶隙由2 794～4 499 Hz 變?yōu)? 961～6 372 Hz，起始頻率變高，且變化十分明顯，同時其寬度也相應(yīng)變大.但在8 000 Hz 以下，主動控制后的能帶結(jié)構(gòu)中帶隙的數(shù)量減少，只存在2 個帶隙.

圖7 彈性波超材料梁有無主動控制時的局部化因子Fig.7 The localization factors of the elastic metamaterial beam with and without active control

為驗(yàn)證主動控制系統(tǒng)的有效性，我們利用有限元軟件COMSOL 對彈性波超材料梁的波動響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并且在上述分析的基礎(chǔ)上開展了實(shí)驗(yàn)研究，圖8為搭建的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)、實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵约跋鄳?yīng)的控制電路.在有限元數(shù)值計算中，我們選取了由7 個單胞周期排列而構(gòu)成的彈性波超材料梁，在3 850 Hz 和5 659 Hz 兩個頻率點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀測.從圖7可以看出，3 850 Hz 處于帶隙位置，彎曲波將不能在梁中進(jìn)行傳播.然而當(dāng)施加主動控制之后，帶隙位置發(fā)生改變，使得上述頻率處于通帶，從而彎曲波將可以傳播.

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置：(a)數(shù)據(jù)采集儀（上）和信號放大器（下）；(b)信號發(fā)生器；(c)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?d)電路實(shí)物圖；(e)壓電片細(xì)節(jié)圖Fig.8 The experimental equipment:(a) the data acquisition instrument (upper) and the signal amplifier (lower);(b) the signal generator;(c) the experimental model;(d) the physical circuit diagram;(e) the detailed diagram of the piezoelectric patch

同樣在5 659 Hz 處有相反的現(xiàn)象發(fā)生，原本處于通帶的彎曲波將由于處于禁帶而不能傳播.我們在實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖蠖耸┘蛹睿诔牧狭旱挠叶擞脗鞲衅魇叭№憫?yīng).觀察響應(yīng)值與激勵值，以此結(jié)果作為判斷通帶和帶隙的依據(jù).圖9是用有限元軟件COMSOL 計算得到的響應(yīng)圖，從圖中可以明顯發(fā)現(xiàn)，在3 850 Hz 處，彎曲波幾乎沒有傳播.但是經(jīng)過主動控制之后，彈性波的傳播效果明顯增強(qiáng).在5 659 Hz 處，原本彈性波的傳輸效果較好，但經(jīng)過主動調(diào)控后，彈性波傳輸衰減明顯，幾乎不能傳播.

不同頻率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示，可以觀察到與圖9一致的結(jié)論.圖10給出的是激勵端和接收端時域信號經(jīng)過Fourier 變換之后的響應(yīng)值，其中虛線代表激勵信號，實(shí)線代表接收信號.從圖中可以觀察到，在3 850 Hz 處，彈性波在主動控制前的接收信號強(qiáng)度約為30%，但經(jīng)過主動調(diào)控后，接收信號強(qiáng)度增大為約82%.在5 659 Hz 處，主動控制前后的接收信號強(qiáng)度大約從80%下降至27%.上述理論分析以及數(shù)值計算的結(jié)論相一致，證實(shí)了主動控制系統(tǒng)的有效性.

圖9 傳輸響應(yīng)：(a) 3 850 Hz，主動控制前；(b) 3 850 Hz，主動控制后；(c) 5 659 Hz，主動控制前；(d) 5 659 Hz，主動控制后Fig.9 Transmission responses:(a) at 3 850 Hz before active control (b) at 3 850 Hz after active control;(c) at 5 659 Hz before active control;(d) at 5 659 Hz after active control

圖10 激勵端和接收端的響應(yīng)值：(a) 3 850 Hz，主動控制前；(b) 3 850 Hz,主動控制后；(c) 5 659 Hz，主動控制前；(d) 5 659 Hz，主動控制后Fig.10 The responses at the excitation and the receiving end:(a) at 3 850 Hz,before active control;(b) at 3 850 Hz,after active control;(c) at 5 659 Hz,before active control;(d) at 5 659 Hz,after active control

如圖11所示，我們在利用有限元軟件對單胞進(jìn)行計算時，注意到l1從6 mm 增大到25 mm的過程中，能帶結(jié)構(gòu)中第二個帶隙先消失再產(chǎn)生.當(dāng)l1=6 mm 時，兩條能帶之間的寬度為78 Hz，隨著l1的增大，帶隙寬度逐漸減小，當(dāng)l1=15 mm 時，帶隙在575 Hz 處消失.然而l1繼續(xù)增大時，帶隙重新出現(xiàn)，并且寬度隨著l1的增大而增大，當(dāng)l1=25 mm 時，兩條能帶之間的寬度為186 Hz.

圖11 結(jié)構(gòu)能帶圖Fig.11 The band structure

我們對此現(xiàn)象進(jìn)行研究，分別取具有7 個l1=6 mm 以及7 個l1=25 mm的周期梁，然后將兩個部分組合成一個彈性波超材料梁結(jié)構(gòu).在整體結(jié)構(gòu)的左側(cè)施加激勵，在右側(cè)拾取響應(yīng)值，得到結(jié)果如圖12所示.從中可以發(fā)現(xiàn)，原本在516～668 Hz 頻率段的帶隙，卻在585 Hz 處出現(xiàn)了一個峰值，該值與單胞能帶結(jié)構(gòu)中第二個帶隙消失的頻率575 Hz 誤差為10 Hz.主要原因?yàn)橛嬎銌伟軒ЫY(jié)構(gòu)時采用周期性邊界條件，單胞構(gòu)成的梁假設(shè)為無限周期梁，而實(shí)際計算的含有交界面的梁為有限周期結(jié)構(gòu).對585 Hz 處的波動幅值響應(yīng)圖進(jìn)行觀察，如圖13所示，發(fā)現(xiàn)在兩部分的交界面處出現(xiàn)了界面局域態(tài).

圖12 響應(yīng)圖Fig.12 The response diagram

圖13 彈性波幅值響應(yīng)圖Fig.13 The diagram of elastic wave responses

我們利用圖8所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，對上述分析結(jié)果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，圖14為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛨D.在梁的左端施加激勵，用傳感器在交界面處接收信號，將接收端的信號與激勵端的信號進(jìn)行Fourier 變換處理，得到結(jié)果如圖15所示.從圖中可以看出，經(jīng)過主動控制之后，彈性波超材料梁中交界面處信號的響應(yīng)較高.上述現(xiàn)象表明彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播發(fā)生了界面局域態(tài)的現(xiàn)象，與理論分析以及數(shù)值計算的結(jié)果一致.

圖14 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.14 The experimental model

圖15 激勵端和接收端的響應(yīng)值：(a)主動控制之前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；(b)經(jīng)過主動調(diào)控之后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.15 The responses at the excitation and the receiving end:(a) experimental results before active control; (b) experimental results after active control

3 結(jié) 論

本文研究了彎曲波在彈性波超材料梁中的傳播問題，采用不等厚壓電片周期性排布的方式，設(shè)計了含有負(fù)電容電路的主動控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了彈性波帶隙特性和界面態(tài)傳輸?shù)闹鲃涌刂乒δ?應(yīng)用傳遞矩陣方法以及局部化因子計算了能帶結(jié)構(gòu).研究結(jié)果表明，壓電片厚度變化引起的填充率改變以及彈性模量均對彈性波的帶隙特性存在影響.在此基礎(chǔ)上，針對超材料梁的界面態(tài)傳輸進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了該超材料結(jié)構(gòu)具有彈性波界面局域態(tài)的特殊性質(zhì).