楊 飛

一、試題評(píng)價(jià)

例題：函數(shù)的最小值

二、一題多解

思路1：把含絕對(duì)值的函數(shù)寫成分段函數(shù)，逐段求最小值，再通過比較得到最小值。

解法1：由題意

所以函數(shù)f（x）的最小值為1.

思路2：根據(jù)絕對(duì)值的定義對(duì)進(jìn)行“放縮”，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x-1-2lnx，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值。

解法2：因?yàn)榱頶（′x）=0，解得x=1，易知x=1是函數(shù)g（x）極值點(diǎn)，所以函數(shù)g（x）min=g（1）=1，而當(dāng)x=1時(shí)所以f（x）≥g（x）≥g（1）=1，所以f（x）min=1.

思路3：根據(jù)絕對(duì)值的定義對(duì)進(jìn)行“放縮”，再根據(jù)lnx≤x-1進(jìn)行“切線放縮”。

解法3：因?yàn)?/p>

思路4：先根據(jù)lnx≤x-1進(jìn)行“切線放縮”，再利用“絕對(duì)值不等式”性質(zhì)求得最值。

解法4：因?yàn)閘nx≤x-1，則

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以f（x）的最小值為1.

思路5：數(shù)形結(jié)合。

解法5：令和h（x）=2lnx，則f（x）的最小值為這兩個(gè)函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離的最小值，易求得h（x）在（1，0）處的切線方程為y=2x-2. 如圖：

則x=1時(shí)距離最小為g（1）-h（1）=1，所以f（x）的最小值為1.

三、解法反思

1.解含絕對(duì)值函數(shù)試題的基本途徑是去掉絕對(duì)值，常見的策略有以下兩種：

（1）等價(jià)轉(zhuǎn)化策略：①根據(jù)絕對(duì)值定義，討論絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)，將其寫成分段函數(shù)；②根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，即絕對(duì)值表示“變量”和定點(diǎn)之間的距離，如：表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)-1和2的距離之和；③通過“平方”把絕對(duì)值運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平方運(yùn)算。

2.對(duì)于“超越”函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的工具性不容忽視。

3.把握式子的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用常見的“切線放縮”。

4.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)間的距離。