王少杰, 夏 鏈, 韓 江, 劉海軍

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

由于受到安裝誤差、制造誤差和齒輪變形等因素的影響,齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中易產(chǎn)生嚙入、嚙出沖擊以及噪聲和振動(dòng)。實(shí)際生產(chǎn)中大多數(shù)齒輪都需要進(jìn)行齒向修形,使其在傳動(dòng)時(shí)受載均勻、減少嚙合沖擊。珩齒工藝因其對(duì)熱處理后的齒輪有很好的誤差修正能力而得到廣泛采用[1],珩齒修形加工后的齒輪具有良好的齒面精度和傳動(dòng)性能。

文獻(xiàn)[2]提出對(duì)齒輪進(jìn)行齒向修形以改善齒輪的接觸特性和承載能力;文獻(xiàn)[3]研究了3種附加運(yùn)動(dòng)進(jìn)行齒向修形的方法及其對(duì)齒形的影響;文獻(xiàn)[4]基于五軸數(shù)控成形磨齒機(jī),提出將機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)擬合為高階多項(xiàng)式對(duì)齒輪進(jìn)行齒向修形;文獻(xiàn)[5]提出用B樣條曲線對(duì)砂輪軸向廓形進(jìn)行擬合,再基于機(jī)床各軸敏感性分析的高階修正模型對(duì)齒輪進(jìn)行拓?fù)湫扌?文獻(xiàn)[6]研究了接觸線與齒向修形的關(guān)系,通過(guò)調(diào)整砂輪安裝角對(duì)接觸線進(jìn)行優(yōu)化，以提高齒向修形的精度;文獻(xiàn)[7]針對(duì)齒向任意修形齒輪的精密加工問(wèn)題,提出一種連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法;文獻(xiàn)[8]提出用與工件齒輪相同齒面的金剛石修整輪修整珩輪的方法來(lái)得到目標(biāo)工件齒輪;文獻(xiàn)[9]提出將珩齒機(jī)床運(yùn)動(dòng)擬合為高階多項(xiàng)式形式對(duì)齒輪進(jìn)行拓?fù)湫扌巍?/p>

綜上所述,許多學(xué)者對(duì)齒輪修形加工工藝進(jìn)行了大量研究,但主要集中在磨齒加工上。珩齒修形加工目前仍是采用專用的金剛石修整輪修磨珩輪,將修形參數(shù)復(fù)映到工件齒輪上,不同的修形參數(shù)需要制造不同的金剛石修整輪,這種加工方式成本昂貴、齒輪生產(chǎn)周期長(zhǎng)。

本文基于已有的研究,根據(jù)珩齒加工運(yùn)動(dòng)機(jī)理提出通過(guò)多軸聯(lián)動(dòng)的方式來(lái)進(jìn)行齒向修形,實(shí)現(xiàn)不需要調(diào)整金剛石修整輪,僅需根據(jù)修形曲線調(diào)整機(jī)床運(yùn)動(dòng)即可加工出所需的修形齒輪。

1 內(nèi)齒珩輪齒面數(shù)學(xué)模型

內(nèi)齒珩輪和工件齒輪嚙合屬于交錯(cuò)軸斜齒輪嚙合,加工時(shí)珩輪表面磨粒通過(guò)滑移和擠壓的方式去除工件表面材料。在珩齒加工過(guò)程中,首先要用金剛石修整輪對(duì)珩輪齒面進(jìn)行修整,再利用修整后的珩輪對(duì)工件齒輪進(jìn)行展成加工。因此,需要根據(jù)金剛石修整輪修整加工機(jī)理構(gòu)建內(nèi)齒珩輪齒面數(shù)學(xué)模型。

1.1 金剛石修整輪齒面方程

金剛石修整輪齒面是標(biāo)準(zhǔn)的漸開線螺旋面,如圖1所示。

根據(jù)漸開線螺旋面的形成原理,在坐標(biāo)系Sd(Od-xdydzd)中,金剛石修整輪齒面上任意點(diǎn)M的位置矢量和法向量可以表示如下:

(1)

(2)

其中:p=rd/tanβd=rbd/tanβbd為齒面螺旋參數(shù);rbd為修整輪基圓半徑;θd為螺旋增量角;λd為漸開線增量角;σ0d為漸開線起始角。

圖1 金剛石修整輪齒面坐標(biāo)系

1.2 金剛石修整輪修整運(yùn)動(dòng)模型

內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)床(如Y4830CNC型)有7個(gè)運(yùn)動(dòng)軸,如圖2所示。

圖2 Y4830CNC內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒機(jī)模型

圖2中:X軸為珩輪徑向進(jìn)給軸;Z1軸為珩輪軸向進(jìn)給軸;Z2為工件移動(dòng)軸;A軸為軸交角調(diào)整軸;B軸為珩輪擺動(dòng)軸;C1軸為珩輪旋轉(zhuǎn)軸;C2為工件旋轉(zhuǎn)軸(金剛石修整輪旋轉(zhuǎn)軸)。

根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)和各軸運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立金剛石修整輪修整加工運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系,如圖3所示。其中:坐標(biāo)系Sd(Od-xdydzd)和Sh(Oh-xhyhzh)為固聯(lián)于金剛石修整輪和內(nèi)齒珩輪的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系;坐標(biāo)系S1(O1-x1y1z1)和S2(O2-x2y2z2)為方便于坐標(biāo)變換的輔助坐標(biāo)系。

圖3 金剛石修整輪修整加工運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

通過(guò)坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換,在坐標(biāo)系Sh(Oh-xhyhzh)中珩輪齒面的位置矢量和法向量可以表示如下:

Mhd(φd)rd(λd,θd)

(3)

Lhd(φd)nd(λd,θd)

(4)

Mhd=Mh1M12M2d,

(5)

(6)

其中:Mhd為坐標(biāo)系Sh(Oh-xhyhzh)和Sd(Od-xdydzd)的坐標(biāo)變換矩陣;Lhd為Mhd去除最后一行和最后一列的子矩陣;E0為金剛石修整輪與珩輪的中心距;φd、φh分別為金剛石修整輪和珩輪的旋轉(zhuǎn)角;Zd、Zh分別為金剛石修整輪和珩輪的齒數(shù);Σ0為金剛石修整輪和珩輪的軸交角。

根據(jù)齒輪嚙合原理[10],可以得到珩輪和金剛石修整齒輪的嚙合方程如下:

(7)

珩輪齒面的位置矢量和法向量可以通過(guò)聯(lián)立(1)～(7)式求解得到。

2 工件實(shí)際修形齒面數(shù)學(xué)模型

內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒齒向修形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,C1軸、C2軸、Z1軸、X軸、A軸進(jìn)行聯(lián)動(dòng),A軸為機(jī)床設(shè)定參數(shù),附加徑向(X軸)運(yùn)動(dòng)量由修形量決定。

2.1 附加徑向運(yùn)動(dòng)量

本文根據(jù)修形曲線調(diào)整機(jī)床運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)齒向修形的方式如下:在機(jī)床珩削標(biāo)準(zhǔn)齒輪(未修形齒輪)時(shí)各軸運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上,通過(guò)在機(jī)床徑向運(yùn)動(dòng)(X軸的運(yùn)動(dòng))上添加附加運(yùn)動(dòng),達(dá)到修形的目的。不同齒寬位置處的齒向修形量不同,珩輪沿工件齒寬方向進(jìn)行軸向進(jìn)給的時(shí)候,徑向運(yùn)動(dòng)軸需要根據(jù)齒向修形曲線附加不同的運(yùn)動(dòng)量,從而完成整個(gè)齒面齒寬方向的修形。附加徑向運(yùn)動(dòng)量與齒向修形量的關(guān)系如圖4所示。其中:M為分度圓與漸開線的交點(diǎn);r、rb分別為工件分度圓半徑和基圓半徑;黑色虛線為修形前廓形(即標(biāo)準(zhǔn)漸開線);紅色實(shí)線為修形后廓形。

(a) 輪齒端截面 (b) 修形量與附加徑向運(yùn)動(dòng)量關(guān)系圖4 修形量與附加運(yùn)動(dòng)量關(guān)系示意圖

附加徑向運(yùn)動(dòng)量與修形量的關(guān)系式為:

(8)

其中:δ為修形量;β為工件分度圓螺旋角;lx為附加徑向運(yùn)動(dòng)量;σ0為漸開線起始角;τ為漸開線展成角。

2.2 內(nèi)齒珩輪強(qiáng)力珩齒齒向修形運(yùn)動(dòng)模型

根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)和各軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系,建立內(nèi)齒珩輪齒向修形加工運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系,如圖5所示。

圖5 內(nèi)齒珩輪齒向修形加工運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

坐標(biāo)系Sh(Oh-xhyhzh)和Sg(Og-xgygzg)分別固聯(lián)在珩輪和工件齒輪上,坐標(biāo)系S1(O1-x1y1z1)、S2(O2-x2y2z2)、S3(O3-x3y3z3)為方便于坐標(biāo)變換的輔助坐標(biāo)系;φh、φg分別為珩輪和工件的轉(zhuǎn)角;lz、lx分別為珩輪的軸向位移和徑向位移(附加徑向運(yùn)動(dòng)量);Σ為珩輪與工件的軸交角,坐標(biāo)系Sh(Oh-xhyhzh)和Sg(Og-xgygzg)的坐標(biāo)變換矩陣如下:

Mgh=Mg3M32M21M1h

(9)

其中

珩輪在坐標(biāo)系Sh(Oh-xhyhzh)下的位置矢量和法向量與工件在坐標(biāo)系Sg(Og-xgygzg)下的位置矢量和法向量的關(guān)系式為:

Mgh(lx,lz)rh(λd,θd,φd)

(10)

Lgh(lx,lz)nh(λd,θd,φd)

(11)

由齒輪嚙合原理可知,珩輪與工件齒輪在齒向修形過(guò)程中的嚙合方程為:

(12)

工件轉(zhuǎn)角φg、珩輪轉(zhuǎn)角φh以及珩輪軸向位移lz的聯(lián)動(dòng)關(guān)系式為:

φg=(Zh/Zg)φh+(tanβg/rg′)lz

(13)

工件齒輪實(shí)際修形齒面的位置矢量和法向量可以聯(lián)立(8)～(13)式求解得到。

3 算例與分析

本文以具體齒輪修形加工為例,對(duì)提出的修形方法進(jìn)行詳細(xì)的分析。

3.1 算例1

齒向鼓形修形由于設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、加工方便且修形效果明顯得到了廣泛應(yīng)用。本文以齒向鼓形修形為例,齒向鼓形拋物線修形曲線如圖6所示。

圖6 鼓形拋物線修形曲線示意圖

修形曲線函數(shù)為:

δ=(4δ0/b2)(lz-b/2)2

其中:δ為修形量;lz為珩輪沿齒寬方向位移量;b為齒寬;δ0為鼓形量。

珩輪、金剛石修整輪、工件齒輪的參數(shù)見(jiàn)表1所列。

表1 珩輪、工件、金剛石修整輪參數(shù)

表1中：鼓形量取30 μm;珩輪、工件、金剛石修整輪旋向均為左旋。

為了直觀描述實(shí)際修形齒面的形狀,將齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分(本文將齒面劃分為5×9個(gè)網(wǎng)格點(diǎn))并求解網(wǎng)格點(diǎn)處實(shí)際修形齒面與標(biāo)準(zhǔn)齒面的齒面偏差。

將表1參數(shù)和修形參數(shù)輸入實(shí)際修形齒面數(shù)學(xué)模型,并在Matlab中編程求解得到實(shí)際修形齒面和標(biāo)準(zhǔn)齒面的齒面偏差,結(jié)果見(jiàn)表2、圖7所示。圖7和表2中:粗實(shí)線網(wǎng)格面為實(shí)際修形齒面;細(xì)實(shí)線網(wǎng)格面為標(biāo)準(zhǔn)齒面;網(wǎng)格點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度表示齒面偏差;字母序號(hào)表示齒高方向上不同齒高的位置;數(shù)字序號(hào)表示齒寬方向上不同端截面的位置。

表2 算例1實(shí)際修形齒面與標(biāo)準(zhǔn)齒面網(wǎng)格點(diǎn)處齒面偏差值 單位:μm

圖7 算例1修形齒面與標(biāo)準(zhǔn)齒面的齒面偏差

由表2和圖7可知:修形量沿齒寬兩端向齒寬中心逐漸遞減,在齒寬中心處修形量接近于0,在齒寬兩端修形量較大且最大值為38.2 μm;修形后的齒面在齒寬方向上呈鼓狀,修形效果明顯;實(shí)際修形齒面與理論修形齒面存在齒面誤差,主要體現(xiàn)為齒面扭曲誤差,網(wǎng)格點(diǎn)處齒面誤差最大值為8.2 μm,實(shí)際修形齒面與理論修形齒面網(wǎng)格點(diǎn)處齒面誤差平方和為226.44 μm2,修形精度滿足要求。

3.2 算例2

在算例2中采用的修形曲線如圖8所示,修形曲線由1條拋物線和2條直線組成。

圖8 齒向修形曲線示意圖

修形曲線的函數(shù)為:

其中:δ0=25 μm;δ1=8.33 μm;l1=6.25 mm;l2=18.75 mm;b=25 mm。將各參數(shù)輸入實(shí)際修形齒面數(shù)學(xué)模型,求解得到實(shí)際修形齒面與標(biāo)準(zhǔn)齒面的齒面偏差,結(jié)果見(jiàn)表3、圖9所示。

表3 算例2實(shí)際修形齒面與標(biāo)準(zhǔn)齒面網(wǎng)格點(diǎn)處齒面偏差值 單位:μm

圖9 算例2修形齒面與標(biāo)準(zhǔn)齒面的齒面偏差

由表3和圖9可知:實(shí)際修形齒面最大修形量為31.9 μm,齒面修形效果明顯;實(shí)際修形齒面與理論修形齒面存在齒面誤差,主要體現(xiàn)為齒面扭曲誤差,網(wǎng)格點(diǎn)處齒面誤差最大值為6.9 μm,實(shí)際修形齒面與理論修形齒面網(wǎng)格點(diǎn)處齒面誤差平方和為214.13 μm2,修形精度滿足要求。

4 結(jié) 論

本文提出在珩齒加工過(guò)程中的徑向運(yùn)動(dòng)上添加附加運(yùn)動(dòng),通過(guò)多軸聯(lián)動(dòng)的方式對(duì)齒輪進(jìn)行齒向修形加工。首先根據(jù)金剛石修整輪修整加工機(jī)理建立了內(nèi)齒珩輪齒面數(shù)學(xué)模型;然后根據(jù)珩齒修形加工機(jī)理建立了工件實(shí)際修形齒面數(shù)學(xué)模型;最后通過(guò)算例對(duì)修形效果進(jìn)行了驗(yàn)證。

根據(jù)算例仿真結(jié)果可知,利用本文提出的修形方法進(jìn)行齒向修形加工后,實(shí)際修形齒面的修形效果明顯,實(shí)際修形齒面與理論修形齒面存在齒面誤差,主要體現(xiàn)為齒面扭曲誤差,算例1和算例2中的實(shí)際修形齒面與理論修形齒面的齒面誤差最大值分別為8.2 μm和6.9 μm,網(wǎng)格點(diǎn)處實(shí)際修形齒面與理論修形齒面的齒面誤差平方和分別為226.44 μm2和214.13 μm2,修形精度滿足要求。因此利用本文提出的齒向修形方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)工件齒輪的珩齒修形加工,從而提高金剛石修整輪的通用性。