王夢夢, 周小濤, 李露露

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

憶阻器與電阻、電容和電感被一同視為第四基本電路元件[1],惠普實(shí)驗(yàn)室團(tuán)隊(duì)于2008年成功制造出憶阻器的原型[2]。到目前為止,越來越多的研究結(jié)果表明,憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在關(guān)聯(lián)記憶、信號(hào)處理等領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用。因此,與憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有關(guān)的動(dòng)態(tài)行為值得進(jìn)一步研究。

在過去的幾十年里,同步即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為趨于同一狀態(tài),它在安全通信和圖像處理等領(lǐng)域都有許多應(yīng)用。迄今為止,已有多種憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步行為被研究,如投影同步[3]、滯后同步和有限時(shí)間同步[4],而指數(shù)同步在實(shí)際中應(yīng)用非常普遍。例如,文獻(xiàn)[5]給出具有時(shí)滯的耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不受外部控制的情況下達(dá)到指數(shù)同步的充分條件;文獻(xiàn)[6]利用比較原理和線性矩陣不等式,得到一類混合時(shí)滯參數(shù)不確定性混沌憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步的充分條件。

另外,實(shí)際神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,節(jié)點(diǎn)之間不可避免地存在信號(hào)傳輸延遲,因此在對憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行同步分析時(shí),時(shí)滯的影響不可忽略[7]。

基于上述討論,本文研究時(shí)滯不連續(xù)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)同步問題,并通過設(shè)計(jì)反饋控制,使主從系統(tǒng)達(dá)到同步,具體如下:

(1) 根據(jù)憶阻網(wǎng)絡(luò)的切換特性和激活函數(shù)的不連續(xù)性,設(shè)計(jì)一個(gè)新的反饋控制器。

(2) 基于李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性理論,構(gòu)建相應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù),利用Halanay不等式,給出驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)同步的判據(jù)。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出文中常用的記號(hào),并介紹有關(guān)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的一些基本定義和涉及到的引理。

1.1 常用記號(hào)

1.2 有關(guān)定義和引理

H1 對j=1,2,…,N,激活函數(shù)fj(·)滿足下列條件:

引理1(Halanay不等式) 若對t∈(-∞,+∞),連續(xù)函數(shù)u(t)≥0滿足

t≥t0且ξ>ζ>0,

則

其中,θ為方程θ+ζeθτ-ξ=0的唯一正解[9]。

引理2[10]設(shè)H1成立,若fj(±Tj)=0,j=1,2,…,N,則

BijLj‖yj(t)-xj(t)‖,

CijLj‖yj(t-τ(t))-xj(t-τ(t))‖,

2 模型的建立和分析

本文考慮一個(gè)更一般的時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,具體如下:

(1)

其中:xi(t)∈Rn為t時(shí)刻第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài);ai>0為第i個(gè)神經(jīng)元在斷開網(wǎng)絡(luò)連接后電位重置到靜息狀態(tài)的速率;fi(·)為激活函數(shù);Ji為第i個(gè)神經(jīng)元上的外部輸入;τ(t)為滿足條件0≤τ(t)≤τ的時(shí)間延遲;xi(s)=Φi(s),s∈[-τ,0]為系統(tǒng)(1)的初始條件;bij(·)為xj(t)和激活函數(shù)fj(xj(t))之間的憶阻權(quán)重;cij(·)為xj(t)和激活函數(shù)fj(xj(t-τ(t)))之間的憶阻權(quán)重。

由憶阻器的電流電壓滯后效應(yīng),得到憶阻器的數(shù)學(xué)模型如下:

其中:bij′、bij″、cij′、cij″均為已知常數(shù);Γ為臨界閾值。

根據(jù)文獻(xiàn)[11-12]中集值映射和Filippov的定義,具有初始條件的方程(1)在Filippov意義下的解xi(t) (t≥0)滿足以下微分包含:

(2)

其中

將系統(tǒng)(1)視為主系統(tǒng),則從系統(tǒng)定義為：

(3)

基于Filippov的解以及微分包含的定義,系統(tǒng)(3)可寫為:

(4)

其中

yi(s)=Θi(s),s∈[-τ, 0]是系統(tǒng)(3)的初始條件;ui(t)是需要設(shè)計(jì)的控制器。

3 主要結(jié)果

令誤差系統(tǒng)為ei(t)=yi(t)-xi(t),設(shè)計(jì)的反饋控制器為:

ui(t)=-γiei(t)-ηisgn{ei(t)}‖ei(t-τ(t))‖

(5)

其中:i∈N;γi、ηi分別表示不帶延遲和帶延遲的正常數(shù)控制強(qiáng)度。在控制器(5)的作用下,誤差系統(tǒng)變?yōu)槿缦滦问?

γiei(t)-ηisgn{ei(t)}‖ei(t-τ(t))‖

(6)

誤差系統(tǒng)對應(yīng)的初始條件為:

Ψi(s)=Θi(s)-Φi(s)∈

C([-τ, 0],Rn),i∈N。

定理1 若H1成立且存在正常數(shù)ai、γi、ηi和Lj(j∈N),使ξ>ζ>0成立,則主從系統(tǒng)(1)和(3)達(dá)到指數(shù)同步,其中

γi‖ei(t)‖-ηi‖ei(t-τ(t))‖]≤

‖fj(yj(t-τ(t)))-fj(xj(t-τ(t)))‖-

于是

(7)

由(7)式和引理1可得:

V(t)≤Ge-θ(t-t0),t≥t0

(8)

文獻(xiàn)[13-14]設(shè)計(jì)的控制器與其第i個(gè)神經(jīng)元本身狀態(tài)相關(guān)的同時(shí),也與其他神經(jīng)元之前的狀態(tài)相關(guān),從而使其理論結(jié)果與實(shí)際應(yīng)用產(chǎn)生偏差,而本文設(shè)計(jì)的具有時(shí)延的控制器在一定程度上克服了這個(gè)困難。

4 數(shù)值模擬

由此可知,Bij=0.45,Cij=0.01。令ai=0.5,γi=ηi=0.01,Lj=1,經(jīng)過簡單的計(jì)算,可得:ξ=0.41,ζ=0.19,即滿足條件ξ>ζ>0。

無控制器作用下主從系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖1所示,反饋控制器作用下誤差系統(tǒng)的狀態(tài)明顯趨于同步，如圖2所示。這說明主從系統(tǒng)達(dá)到了指數(shù)同步,驗(yàn)證了定理1的有效性。圖1、圖2中，節(jié)點(diǎn)數(shù)為20。

圖1 系統(tǒng)在無控制器下的誤差軌跡

圖2 系統(tǒng)在反饋控制器下的誤差軌跡

5 結(jié) 論

本文利用Halanay不等式和放縮技巧研究具有時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步的性質(zhì),根據(jù)理論推導(dǎo),得到有效的指數(shù)同步依據(jù)。最后,由數(shù)值算例說明理論結(jié)果的有效性。