韋 冬，李 華，2，周培祥，任 坤，2，4

（1.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州市精密與高效加工技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215009；3.蘇州科技大學(xué) 天平學(xué)院 智能制造學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；4.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014）

超聲振動(dòng)加工技術(shù)是對脆硬材料的一種有效、精密的加工方式。相較于傳統(tǒng)加工，超聲振動(dòng)加工可以提高加工效率，改善工件表面質(zhì)量。超聲振子是超聲振動(dòng)加工技術(shù)的核心，其諧振頻率、振幅的大小關(guān)系到超聲振動(dòng)輔助加工的效率與質(zhì)量。因此，超聲振子的設(shè)計(jì)成為了研究人員關(guān)注的熱點(diǎn)[1-15]。賀西平等對變幅桿的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了歸納總結(jié)[16]。Christian利用有限元分析軟件和MATLAB為超聲輔助磨削使用的杯型砂輪編制了分析程序，用以優(yōu)化砂輪的幾何尺寸[17]。但是通過設(shè)計(jì)軟件求解整個(gè)超聲振子任意未知段幾何尺寸，簡化整個(gè)縱振超聲振子設(shè)計(jì)過程的研究報(bào)道很少。

本文將MATLAB編寫的設(shè)計(jì)函數(shù)m文件轉(zhuǎn)換成dll文件后使用MATLABGUI界面進(jìn)行調(diào)用，以MATLABGUI界面為人機(jī)界面開發(fā)平臺(tái)，開發(fā)了縱振超聲振子的設(shè)計(jì)軟件，輸入已知參數(shù)后，軟件將未輸入的參數(shù)作為未知量求解其數(shù)值，并計(jì)算出所設(shè)計(jì)超聲振子的振幅放大系數(shù)。該程序大大簡化了設(shè)計(jì)過程，提高了設(shè)計(jì)效率。

1 等效四端網(wǎng)絡(luò)理論分析

n個(gè)任意截面形狀的細(xì)桿組成的縱振型變幅桿或換能器都可以用等效四端網(wǎng)絡(luò)法求得其頻率方程。如圖1所示，每一個(gè)截面桿對應(yīng)一個(gè)傳輸矩陣，從左端開始將它們依次左乘：

圖1 n個(gè)任意形狀截面桿的四端網(wǎng)絡(luò)圖

式（1）o為整個(gè)桿件的傳輸矩陣，每一級傳輸矩陣的矩陣元素通過各級桿件的形狀確定。桿件的傳輸方程[18]為

若整個(gè)桿件的左端固定，右端自由振動(dòng)，則有邊界條件，代入式（2）有

則桿件的頻率方程為

振動(dòng)速度方程為

若右端固定左端自由，邊界條件為F1=0，Vn=0，有

桿件的頻率方程為

振動(dòng)速度方程為

2 基于等效四端網(wǎng)絡(luò)理論的超聲振子設(shè)計(jì)

超聲振子通常由換能器、變幅桿和工具桿組成。本文設(shè)計(jì)的超聲振子結(jié)構(gòu)如圖2所示。虛線位置是位移節(jié)面，在實(shí)際工作中，需要在位移節(jié)面處設(shè)置法蘭，通過法蘭與機(jī)架的連接固定住振子，確定振子在整個(gè)系統(tǒng)中的位置。節(jié)面左側(cè)為換能器，右側(cè)為復(fù)合變幅桿與工具桿組成的變幅器，換能器與變幅器均按四分之一波長設(shè)計(jì)。下面分別給出使用等效四端網(wǎng)絡(luò)法推導(dǎo)的換能器和變幅器的頻率方程以及放大系數(shù)函數(shù)。

圖2 超聲振子示意圖

2.1 超聲振子變幅器部分的設(shè)計(jì)分析

如圖3所示，本文設(shè)計(jì)的變幅器由復(fù)合變幅桿與工具桿組成。變幅桿設(shè)計(jì)成圓錐過渡的階梯型結(jié)構(gòu)，便于加工且擁有較大的放大系數(shù)。根據(jù)式（2），變幅器的四端網(wǎng)絡(luò)傳輸方程為

圖3 變幅器結(jié)構(gòu)圖

變幅器的傳輸矩陣元素由三個(gè)不同直徑的等截面桿和一個(gè)圓錐桿的傳遞矩陣相乘得到，等截面桿的傳輸矩陣[19]元素為

直圓錐桿的傳輸矩陣元素為

復(fù)合變幅桿的大端與換能器相連，連接面作為位移節(jié)面，工具桿前端自由。由式（4）及式（5）可得變幅器的頻率方程為

工具桿前端的振動(dòng)速度方程為

2.2 超聲振子換能器部分的設(shè)計(jì)分析

如圖4所示，本文設(shè)計(jì)的夾心式換能器由直徑相同的后蓋板、壓電陶瓷片和前蓋板組成，根據(jù)式（2），其四端網(wǎng)絡(luò)傳輸方程為

圖4 換能器結(jié)構(gòu)圖

換能器的后蓋板后端自由，前蓋板前端與變幅桿連接，連接面作為位移節(jié)面。根據(jù)式（4）和式（5）得到換能器頻率方程為

后蓋板后端的振動(dòng)速度方程為

前蓋板端面與變幅桿大端面相連，有

將式（14）、（15）代入式（11）可以得到超聲振子的放大系數(shù)函數(shù)為

3 基于MATLAB GUI程序的設(shè)計(jì)軟件研究

考慮到超聲振子裝配、使用等要求的變化，需要把超聲振子不同段作為未知量來求解，使用第2節(jié)中的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)不同未知段的超聲振子時(shí)計(jì)算量十分龐大，需要設(shè)計(jì)人員掌握相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算軟件開發(fā)技術(shù)。本小節(jié)根據(jù)推導(dǎo)的超聲振子諧振頻率方程和放大系數(shù)公式開發(fā)了一種縱振超聲振子的設(shè)計(jì)軟件，極大的減少了設(shè)計(jì)時(shí)間，提高了設(shè)計(jì)效率。

超聲振子的設(shè)計(jì)軟件由MATLAB編寫的設(shè)計(jì)函數(shù)和MATLABGUI界面組成。如圖5所示，用戶只需在人機(jī)界面中輸入超聲振子已知的參數(shù)，未填寫的參數(shù)與振幅放大系數(shù)將作為未知量通過調(diào)用設(shè)計(jì)函數(shù)來求解。軟件的設(shè)計(jì)流程如圖6所示。

圖5 超聲振子設(shè)計(jì)軟件人機(jī)界面圖

圖6 軟件設(shè)計(jì)流程

以設(shè)計(jì)諧振頻率為26 000 Hz的超聲振子為例，在人機(jī)交互界面中輸入表1、表2中超聲振子各段材料的性能參數(shù)，已知的幾何尺寸。如圖7所示，按下運(yùn)行按鈕后，經(jīng)過軟件計(jì)算得到未知的后蓋板長度LH=16.18 mm，變幅桿小端的長度LS=29.29 mm，振幅放大系數(shù)M=3.34。

圖7 超聲振子設(shè)計(jì)軟件計(jì)算結(jié)果

表1 超聲振子已知幾何尺寸

表2 超聲振子各段材料的物理力學(xué)性能

4 基于有限元分析的軟件準(zhǔn)確性驗(yàn)證

對用軟件設(shè)計(jì)的超聲振子進(jìn)行模態(tài)分析。在ANSYS中按照軟件求解的結(jié)果繪制出超聲振子的模型圖。選用SmartSize劃分網(wǎng)格，劃分精度為1。指定分塊Lanczos法提取模態(tài)并拓展模態(tài)，拓展階數(shù)設(shè)為10，模態(tài)頻率范圍設(shè)為20～30 kHz。有限元求解后得到各階諧振頻率及振型云圖，最接近設(shè)計(jì)頻率26 000 Hz，并且是縱向振動(dòng)的頻率為26 569.2 Hz，如圖8所示。和設(shè)計(jì)頻率26 000 Hz相比，存在2.14%的誤差。

圖8 振子模態(tài)分析圖

在后處理的路徑操作中，選取超聲振子大端面圓心到小端面圓心的線段作為路徑，把模態(tài)分析求解得到的Z方向位移量插值到這個(gè)路徑上，得到超聲振子的軸向位移分布圖，如圖9所示。圖中可以看出，曲線形狀與圖2中振子理論設(shè)計(jì)的位移分布曲線相一致，接近正弦曲線半個(gè)周期的形狀，這與換能器和變幅器都按照四分之一波長的設(shè)計(jì)相吻合。測得位移節(jié)面距后蓋板端面43.68 mm，與理論節(jié)面相比，向工具桿端移動(dòng)了4.49 mm，實(shí)際工作中應(yīng)該將法蘭設(shè)置在此處。超聲振子大端面的位移量為6.361，小端面的位移量為-1.995，超聲振子的振幅放大系數(shù)為3.19，與理論設(shè)計(jì)值3.34比較接近，僅存在4.5%的誤差。

圖9 振子軸向位移分布圖

5 超聲振子特性測試與軟件驗(yàn)證

5.1 阻抗分析測試

根據(jù)軟件的計(jì)算結(jié)果加工、裝配了超聲振子。用預(yù)緊力螺桿將后蓋板陶瓷片、壓電陶瓷片、前蓋板和復(fù)合變幅桿緊密連接，再通過彈簧夾頭與壓緊螺母將工具桿與復(fù)合桿緊密壓緊在一起。法蘭設(shè)置在理論節(jié)面向工具桿端偏移4.49 mm處。如表3所列，經(jīng)過PV70A型阻抗分析儀測試與分析，超聲振子的諧振頻率為25 392 Hz，與設(shè)計(jì)頻率26 000 Hz相比，誤差為2.3%，略低于理論設(shè)計(jì)諧振頻率是由于實(shí)際裝配時(shí)不能與理論模型完全一致導(dǎo)致的，比如裝配過程中存在筒夾不能完全閉合等因素。超聲振子的阻抗特性曲線如圖10所示。圖10中左邊的導(dǎo)納圓曲線由一個(gè)完好圓形構(gòu)成。右邊的“幾”字型曲線為相位角曲線，另一條為阻抗曲線，它的極小值落在諧振頻率25 300 Hz附近。由測試結(jié)果可知，實(shí)際制做的超聲振子實(shí)物性能良好，符合理論設(shè)計(jì)要求。

表3 超聲振子阻抗特性參數(shù)

圖10 超聲振子阻抗特性曲線

5.2 振幅測試

對超聲振子的工具桿前端面、后蓋板后端面及法蘭端面以及法蘭外圓面進(jìn)行振幅測試。如圖11所示，采用多普激光測振儀，信號發(fā)生器，功率放大器等搭建振動(dòng)測試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。將超聲振子與功率放大器相連并平放在V型架上，信號發(fā)生器連上功率放大器以放大電壓信號。電腦與多普勒激光測振儀相連，通過電腦上的軟件采集振動(dòng)信號。調(diào)整測振儀光纖頭的角度和距離使光斑落在需要測量振幅的位置，再調(diào)節(jié)光斑大小直至測振儀控制箱上的信號強(qiáng)度顯示滿格。調(diào)節(jié)信號發(fā)生器調(diào)頻旋鈕，從25 000 Hz逐步增大，觀察軟件中采集到的振幅信號，多次調(diào)節(jié)頻率后測得在25 310.7 Hz處位移信號有極大值，此極大值即為在諧振頻率下光斑所在位置沿光路方向的振幅，測試結(jié)果如表4所列。表5列出了理論設(shè)計(jì)、ANSYS有限元分析和超聲振子實(shí)物測試三種情況下的諧振頻率、放大系數(shù)，三者的誤差很小，基本吻合。法蘭處兩個(gè)方向的振幅都非常小，接近于零，滿足固定超聲振子而不影響其正常工作的要求。

表4 振幅測試結(jié)果

表5 參數(shù)對比

6 結(jié)論

（1）基于等效四端網(wǎng)絡(luò)理論推導(dǎo)了縱振超聲振子的諧振頻率方程和振幅放大系數(shù)函數(shù)，以MATLAB GUI程序開發(fā)了超聲振子的設(shè)計(jì)軟件，該軟件通過輸入已知參數(shù)直接求解出超聲振子的未知量和振幅放大系數(shù)，大大減少了設(shè)計(jì)人員的工作量和設(shè)計(jì)周期，提升了設(shè)計(jì)效率。（2）通過ANSYS對軟件設(shè)計(jì)的超聲振子進(jìn)行有限元分析。仿真結(jié)果顯示其諧振頻率為26 569.2 Hz，與理論設(shè)計(jì)值26 000 Hz僅存在2.14%的誤差；振幅放大系數(shù)為3.19，比之理論設(shè)計(jì)值3.34，誤差為4.5%。表明軟件設(shè)計(jì)的超聲振子具有較好的精度。（3）根據(jù)設(shè)計(jì)結(jié)果制做并裝配了超聲振子，對其進(jìn)行了阻抗分析和振幅測試。測試結(jié)果顯示超聲振子機(jī)械品質(zhì)因素為1 015.13，諧振頻率為25 392 Hz，與理論設(shè)計(jì)值26 000 Hz僅存在2.3%的誤差，具有良好的阻抗特性曲線；振幅放大系數(shù)為3.15，與理論設(shè)計(jì)值3.34相比，誤差為5.6%。證明制作完成的超聲振子性能良好。