呂增鋒

(象山縣第二中學(xué)，浙江 寧波 315731)

近年來(lái)，在“數(shù)學(xué)是自然的”這個(gè)大概念的統(tǒng)攝下：一方面越來(lái)越多的教師把追求“教學(xué)自然”作為課堂教學(xué)的基本訴求，比如，“追求自然連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程”[1]“追求自然樸實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)”[2]，以及數(shù)學(xué)課堂要“自然呼出、自然聯(lián)系、自然建構(gòu)”[3]等。另一方面，很多教師并沒(méi)有真正地理解“自然”的內(nèi)涵，更多的是把“自然”當(dāng)作一種“口號(hào)”；對(duì)于達(dá)成教學(xué)“自然”的方法與路徑也是知之甚少，更多依賴的是個(gè)人的臆想，想當(dāng)然地以為“這樣做就是自然”，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)陷入“天天喊自然，就是不得自然之法”的尷尬之中。下面筆者就以高中數(shù)學(xué)人教A版新教材“正弦、余弦定理”為例，談?wù)勅绾螌?shí)現(xiàn)教學(xué)自然。

一、“自然”的內(nèi)涵

“數(shù)學(xué)是自然的”中的“自然”：一是指“自然界”，即數(shù)學(xué)產(chǎn)生于“自然界”，或者是我們通常講的“數(shù)學(xué)源于生活”；二是指“自然發(fā)生”，即數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程是“自然”的。

(一)數(shù)學(xué)產(chǎn)生于“自然”

人類通過(guò)自己的實(shí)踐活動(dòng)與自然界相互聯(lián)系、相互作用產(chǎn)生了諸多的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)知識(shí)也一樣來(lái)源于大自然。比如，人類在大自然中觀察到各種不同形狀的物體：樹(shù)葉、貝殼、石頭、植物種子等，于是，頭腦逐漸出現(xiàn)了“形”的觀念，也有意識(shí)地把一些生活用具制作成較為規(guī)則的幾何形狀，幾何學(xué)從那個(gè)時(shí)候開(kāi)始萌芽，而三角形作為比較特殊的一類圖形自然成為幾何學(xué)的主要研究對(duì)象。其他數(shù)學(xué)分支也如幾何學(xué)一樣，最早都是源于對(duì)自然的觀察和思考，然后通過(guò)不斷的抽象與發(fā)展，最終建構(gòu)出了當(dāng)前宏偉的數(shù)學(xué)大廈。

(二)數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程“自然”

數(shù)學(xué)發(fā)展通?；趦蓚€(gè)“自然”：一個(gè)是需求的自然，即數(shù)學(xué)的發(fā)展為了滿足生產(chǎn)生活中需求。比如，隨著人類生產(chǎn)力的發(fā)展，跨地區(qū)的商業(yè)貿(mào)易得到迅速發(fā)展，如何在荒無(wú)人煙的荒漠草原，或一望無(wú)際的大海上確定方向成為迫切需要解決的問(wèn)題，而借助太陽(yáng)、星星來(lái)輔助定位是比較有效的手段，這就需要利用三角形模型來(lái)計(jì)算星體的相對(duì)位置和距離，于是在天文觀測(cè)中誕生了三角學(xué)[4]。另一個(gè)數(shù)學(xué)本身發(fā)展的自然，自從數(shù)學(xué)成為一門獨(dú)立的學(xué)科后，構(gòu)建完備的知識(shí)理論體系成為數(shù)學(xué)家的基本訴求。比如，在三角形的定義和形狀明確后，接下就會(huì)去研究其性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊、大邊對(duì)大角、全等與相似等；除了定性研究外，還進(jìn)行定量研究，三角形內(nèi)角和為180度、正弦定理、余弦定理、射影定理等；除了研究三角形本身，還要研究三角形與其他圖形的聯(lián)系，中線、角平分線、重心、內(nèi)心、外接圓等，在一系列性質(zhì)、定理、推論、公式的支撐下，三角學(xué)逐步完善。

二、如何凸顯教學(xué)“自然”

數(shù)學(xué)教學(xué)“自然”不是“只可意會(huì)不可言傳”的天機(jī)，而是需要在理解數(shù)學(xué)“自然”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，以夸美紐斯《大教學(xué)論》中的教育應(yīng)遵循自然規(guī)律的觀點(diǎn)為理論指導(dǎo)，遵循知識(shí)的自然邏輯順序、學(xué)生的自然認(rèn)知規(guī)律與教材的自然編寫(xiě)意圖。

(一)遵循知識(shí)的自然邏輯順序

數(shù)學(xué)知識(shí)的研究一般遵循“定義概念—推導(dǎo)性質(zhì)—建立聯(lián)系—實(shí)踐應(yīng)用”的自然邏輯順序，即先從數(shù)與形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性、定義概念，明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題[5]。當(dāng)然，這一自然邏輯順序并非線性單向傳遞，而是呈現(xiàn)網(wǎng)狀放射結(jié)構(gòu)，比如，在“建立聯(lián)系”后，可能又會(huì)推導(dǎo)出更多的“性質(zhì)”；在“實(shí)踐應(yīng)用”中又可以進(jìn)一步深化對(duì)“定義概念”的理解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的螺旋上升式的自然建構(gòu)。

對(duì)于“正弦、余弦定理”這部分內(nèi)容來(lái)說(shuō)，初中對(duì)三角形的性質(zhì)已經(jīng)有了定性的描述，比如，用SSS，SAS，ASA，AAS來(lái)判斷三角形全等，因此，高中要對(duì)三角形的這些性質(zhì)的進(jìn)行定量刻畫(huà)是自然的；初中介紹了解直角三角形的方法，因此，高中研究一般三角形的解法是自然的；之前學(xué)習(xí)了向量，因此，以向量為工具來(lái)推導(dǎo)正弦、余弦定理也是自然的。

知識(shí)的自然邏輯順序就是“學(xué)什么”的順序，這可以為數(shù)學(xué)教學(xué)的自然“引入”提供事實(shí)依據(jù)。比如，“今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)解三角形，解三角形最常用的有兩大定理，其中一個(gè)就是余弦定理”“在三角形中，兩邊之和大于第三邊，我們能否把這個(gè)性質(zhì)用定量關(guān)系進(jìn)行表示呢？”“我們知道向量能夠作為研究平面圖形位置與數(shù)量關(guān)系的工具，那么能否借助向量進(jìn)一步研究三角形中的邊角關(guān)系呢？”這是余弦定理的三種“引入”，哪一種引入最“自然”？在新教材中，正弦、余弦定理是放在“向量應(yīng)用”這個(gè)章節(jié)之中，其中一個(gè)重要目的是為了凸顯向量的工具作用，因此，第三種引入應(yīng)該是最自然的。

(二)遵循學(xué)生的自然認(rèn)知規(guī)律

一談到遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，我們自然會(huì)把它與由易到難、由特殊到一般、從具體到抽象、從整體到局部、從定性到定量等做法關(guān)聯(lián)起來(lái)，以為只要照搬套用就能實(shí)現(xiàn)教學(xué)自然。其實(shí)不然，這些充其量只是比較好用的教學(xué)手段而已，并不能確保這樣做一定就是遵循了學(xué)生的自然認(rèn)知規(guī)律。所謂自然認(rèn)知規(guī)律指的是數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、數(shù)學(xué)問(wèn)題提出與解決是基于學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，或者是原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展與完善，即以合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理年齡特征，以自然的、人本的方式展開(kāi)[6]，使學(xué)生能自然而然地“發(fā)現(xiàn)”“想到”“悟到”。

學(xué)生的自然認(rèn)知規(guī)律就是“如何學(xué)”的定律。由上可知，把握學(xué)生自然認(rèn)知規(guī)律關(guān)鍵是要了解學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了什么、具備了怎樣的經(jīng)驗(yàn)與能力，然后，以此為認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)行自然的延伸與拓展，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的“自然”。

問(wèn)題1：如何用向量關(guān)系式來(lái)表示“三角形兩邊之和大于第三邊”？

追問(wèn)：在前面向量這章內(nèi)容中是如何證明這個(gè)不等式？

又比如，如何讓學(xué)生自然想到類比直角三角發(fā)現(xiàn)正弦定理的存在。在學(xué)生已知“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”和經(jīng)歷余弦定理推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上，教師可以做這樣引導(dǎo)：

問(wèn)題2：如何把“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”進(jìn)行向量表示？

追問(wèn)：你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

學(xué)生自然想到借助特殊三角形去進(jìn)行驗(yàn)證，比如，直角三角形。

為了讓學(xué)生能夠自然想到，必要的引導(dǎo)是不可少的，但教師的引導(dǎo)也要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知自然，問(wèn)題的跨度不能太大，否則，很容易使數(shù)學(xué)的自然生成異化為教師的強(qiáng)行灌輸。

(三)遵循教材的自然編寫(xiě)意圖

在教學(xué)中，教材的重要性不言而喻。教材既是學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)的凝練，又是教學(xué)的文本和指引；教材既是社會(huì)文化標(biāo)準(zhǔn)與文化規(guī)范的體現(xiàn)者，又是民族文化與國(guó)家意識(shí)形態(tài)的承載者。教材的編寫(xiě)是在綜合考量各種因素后的最優(yōu)方案，從而確保在明確育人目標(biāo)的基礎(chǔ)上最大可能地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的普及與價(jià)值觀的正向傳遞。因此，理解教材，遵循教材的自然編寫(xiě)意圖是實(shí)現(xiàn)教學(xué)自然的重要一環(huán)。

如果不考慮教材的意圖，正弦、余弦定理也可以按照下面這樣來(lái)推導(dǎo)。

問(wèn)題3：一架飛機(jī)從A地飛往B地，飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛后，就沿著原來(lái)的飛行方向成21°角的方向飛行，飛行到C地，測(cè)得AC間的距離為500 km，然后再?gòu)腃地飛到B點(diǎn)。

(1)若C地飛到B點(diǎn)的航線與原來(lái)的航線成35°角，則BC間的距離是多少？

(2)若測(cè)得AB的距離為700 km，則BC間的距離是多少？

解析：根據(jù)題意，作出飛機(jī)飛行的路線圖，如圖1所示。在初中階段，解決此類問(wèn)題的一般方法是通過(guò)“作高線”構(gòu)造直角三角形，然后借助直角三角形的特殊性獲得邊角之間的定量關(guān)系。作AB邊上的高線CD，垂足為D，如圖2所示。

圖1

圖2

(2)CD=500sin21°，AD=500cos21°，BD=700-500cos21°，所以BC2=CD2+BD2=5002sin221°+(700-500cos21°)2=5002+7002-2×500×700cos21°。

問(wèn)題4：若問(wèn)題3中三角形的三條邊分別用字母a，b，c表示，三個(gè)角分別用字母A，B，C表示，你能發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的定量關(guān)系嗎？這些關(guān)系式有幾組？

余弦定理：

從具體的問(wèn)題情境出發(fā)，利用初中解直角三角形的思路，經(jīng)歷從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)與歸納，最終同時(shí)獲得兩個(gè)定理，你說(shuō)這樣的推導(dǎo)思路不“自然”嗎？但如果參照“以向量作為研究平面幾何問(wèn)題的工具”這個(gè)教材意圖，上面的推導(dǎo)方法顯然偏離方向。事實(shí)上，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展來(lái)看，傳統(tǒng)的幾何學(xué)已經(jīng)走向沒(méi)落，很難有新的突破，而以向量為分析工具的幾何，比如，解析幾何、向量幾何還是方興未艾，教材正是在這樣的大背景下才萌發(fā)了這樣的“意圖”。由此可見(jiàn)，教材的自然編寫(xiě)意圖直指“怎樣才能學(xué)得好”，遵循教材的自然編寫(xiě)意圖可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)建構(gòu)的“自然”。

綜上所述，教學(xué)“自然”并非說(shuō)不清道不明，而是既要考慮數(shù)學(xué)本身因素，又要考慮學(xué)生因素，還要考慮教材因素，最后需要綜合多種因素，才能形成比較自然的教學(xué)方案?！?/p>