欒珺玄， 程 嶺

(江蘇師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)為高中數(shù)學(xué)確定了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為核心素養(yǎng)的培育研究在政策層面指明了方向，相關(guān)研究的快速出爐也說明了研究者們很快對該政策給予了積極回應(yīng)。回顧近些年來關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究，主要包括以下幾個方面：一是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價體系建構(gòu)，例如有研究者通過建構(gòu)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中品格與價值觀的評價指標(biāo)體系、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價框架對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力和必備品格的評價做出積極探索[1-2]。二是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)建構(gòu)，例如有學(xué)者提出了重構(gòu)教學(xué)目標(biāo)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，研究了新課標(biāo)背景下教學(xué)目標(biāo)取向及要素結(jié)構(gòu)[3]。三是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵明晰，例如研究者通過辨析數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)素養(yǎng)來厘清數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4]，也有學(xué)者直接提出了高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值與特質(zhì)[5]。

上述研究成果帶來了關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的激烈探討，豐富了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的理論和實(shí)踐成果，為中國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)學(xué)科的研究與實(shí)踐指明了方向。但是，仔細(xì)分析過去的研究成果發(fā)現(xiàn)，理論研究占主體，與落實(shí)到基礎(chǔ)教育實(shí)踐尚有距離。關(guān)于這個問題，學(xué)者也早有提醒，劉祖希在梳理中國核心素養(yǎng)的研究進(jìn)展基礎(chǔ)上，提出未來研究工作應(yīng)關(guān)注分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成機(jī)制、探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的教學(xué)策略等[6]。但這一點(diǎn)，在最近的一些研究中得到了一定程度的補(bǔ)充和糾正，例如數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的“三線四環(huán)節(jié)”公式教學(xué)研究[7]，做了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的嘗試實(shí)踐。但是梳理這類文獻(xiàn)時發(fā)現(xiàn)，在探索數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成的教學(xué)策略中缺乏層次性。具體來說，《課標(biāo)》僅明確了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分，但核心素養(yǎng)的養(yǎng)成并不是一蹴而就的，在對學(xué)生核心素養(yǎng)的培育過程中，存在不同水平的差異。因此，立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)必須關(guān)注素養(yǎng)的水平差異，進(jìn)而要求課堂教學(xué)設(shè)計必須環(huán)環(huán)相扣、逐級遞進(jìn)，才能讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正深入學(xué)生內(nèi)心，而不是純粹的“口號操作”與“文字游戲”。但這樣遞進(jìn)式的教學(xué)設(shè)計不能憑空而來，該從何處入手呢？余文森教授在《論學(xué)科核心素養(yǎng)形成的機(jī)制》一文中提到：“學(xué)科知識與學(xué)科活動是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的兩翼，學(xué)科知識是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要載體，學(xué)科活動是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要路徑?！盵8]從這句話中不難體會到，知識仍是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容工具，學(xué)科活動是通往學(xué)生內(nèi)心成長的主要路徑。因此，本文將從知識的學(xué)習(xí)階段出發(fā)，以不同的學(xué)習(xí)活動為載體，構(gòu)建一個三程遞進(jìn)式的教學(xué)過程設(shè)計，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的真實(shí)落地。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本文主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，那么首先應(yīng)當(dāng)明確什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

(一)何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

根據(jù)核心素養(yǎng)這個上位概念的定義，可以將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)界定為：學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力。另外，《課標(biāo)》為高中數(shù)學(xué)確定了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也有專家通過嚴(yán)密的數(shù)據(jù)收集和分析討論，將應(yīng)用意識、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)容[9]。二者實(shí)際上都在強(qiáng)調(diào)“抽象、推理和模型”。具體來說，前者提到的“直觀想象”是高階抽象的思維基礎(chǔ)，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是抽象、推理和模型的集合體，經(jīng)由該集合體所承載，而“數(shù)據(jù)分析”實(shí)際上是模型的具體運(yùn)用，因?yàn)閿?shù)據(jù)的收集、處理和分析實(shí)際上就是一個建模過程，并有推理貫穿其中[10]。后者也是如此，其中“運(yùn)算能力”同“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，“幾何直觀”同“直觀想象”，而“應(yīng)用意識”是指要有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系[11]，這就是指數(shù)學(xué)模型在生活中的應(yīng)用。也就是說，基礎(chǔ)教育階段的核心素養(yǎng)實(shí)際上可以整合成“抽象、推理和模型”，這三個要素貫穿基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育全過程，是構(gòu)成數(shù)學(xué)三個基本特征的思維基礎(chǔ)。那么，到目前為止，關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本概念和成分有了較為明確合理的概括。但是，核心素養(yǎng)作為基礎(chǔ)教育的培養(yǎng)目標(biāo)，它的深度仍值得探究，因?yàn)槟芰εc品格的淬煉不是一蹴而就的，因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的層次探討顯得尤為必要。

(二)核心素養(yǎng)的層次性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力，從實(shí)質(zhì)上來說，它描述的是一系列的目標(biāo)，因此，我們探討的是這些目標(biāo)的層次性，即目標(biāo)的縱向分類。關(guān)于目標(biāo)分類，現(xiàn)有的模型主要是以下幾種：

1.加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論

加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類包括認(rèn)知、動作技能和態(tài)度三方面，其中，認(rèn)知和態(tài)度領(lǐng)域又各有分類。認(rèn)知結(jié)果又可分為言語信息、智力技能、認(rèn)知策略三個方面。智力技能又分為辨別、概念、規(guī)則、高級規(guī)則四類，由簡單到復(fù)雜構(gòu)成一個層級關(guān)系。加涅沒有對技能領(lǐng)域進(jìn)行分解，而態(tài)度領(lǐng)域則分為情感因素、認(rèn)知因素和行為后果三類。加涅認(rèn)為學(xué)習(xí)的結(jié)果就是形成學(xué)生的智力技能、認(rèn)知策略、言語信息、運(yùn)動技能和態(tài)度五種能力。

2.布魯姆的教育目標(biāo)分類理論

美國教育心理學(xué)家布盧姆用分類學(xué)方法分析學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，將其分為認(rèn)知、情感和動作技能三個領(lǐng)域，并將認(rèn)知領(lǐng)域目標(biāo)分成六大主類，分別是識記、領(lǐng)會、應(yīng)用、分析、綜合及評價，這六大類是環(huán)環(huán)相扣、互相制約、互相依存的。

3.我國新課改提倡的三維目標(biāo)分類

2001年6月8日國家教育部印發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》，提出了三維目標(biāo)的概念，即知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀這三個方面。

4.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的三程遞進(jìn)模式

分析前文三種分類方式，我國的三維目標(biāo)分類在關(guān)注目標(biāo)廣度的基礎(chǔ)上也兼顧了目標(biāo)的深度，知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀在一定程度上有層層遞進(jìn)的內(nèi)在關(guān)系，但是仍然偏重目標(biāo)的橫向劃分。而加涅和布魯姆的目標(biāo)分類，則主要是以學(xué)生發(fā)展的不同領(lǐng)域?yàn)橹骶€，也在某些領(lǐng)域做了縱向劃分，但不難看出他們也偏重目標(biāo)的橫向劃分。顯然，上述的目標(biāo)分類主要從橫向角度出發(fā)，有助于學(xué)生在不同領(lǐng)域的發(fā)展，但是不利于學(xué)生核心素養(yǎng)培育的深度推進(jìn)，因此，在前面這些目標(biāo)分類的基礎(chǔ)上，需要建構(gòu)一個逐級遞進(jìn)的三程遞進(jìn)式數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)構(gòu)想。前文談到了余文森教授的觀點(diǎn)“知識仍是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容工具”，也就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生于知識，那么數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平結(jié)構(gòu)劃分就應(yīng)當(dāng)從知識的角度切入，參照加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論、布魯姆的教育目標(biāo)分類理論、三維目標(biāo)分類，提出如下一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育進(jìn)程的理論構(gòu)想：將數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)分為知識習(xí)得、知識遷移、知識轉(zhuǎn)化三種學(xué)習(xí)結(jié)果。由此產(chǎn)生的三種學(xué)習(xí)過程即為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的三程遞進(jìn)模式的“三程”：基礎(chǔ)知識的厘清與應(yīng)用(知識習(xí)得)、思維方法的辨析與獲得(知識遷移)、價值情感的追問與闡發(fā)(知識轉(zhuǎn)化)。

(1)基礎(chǔ)知識的厘清與應(yīng)用(知識習(xí)得)

數(shù)學(xué)知識習(xí)得包括了數(shù)學(xué)知識的厘清和應(yīng)用。所謂知識厘清是指學(xué)生通過學(xué)習(xí)全面、準(zhǔn)確地獲得知識的含義、本質(zhì)、邏輯、內(nèi)在關(guān)系以及知識間的關(guān)系的理解。例如，人教版小學(xué)六年級上冊《圓的周長》一課中，學(xué)生先通過合作探索等學(xué)習(xí)方式歸納總結(jié)出圓的周長公式這一過程，就是對知識的厘清，即學(xué)生掌握了圓的周長公式的背景，理解圓的周長的含義，并且結(jié)合了前一課時《圓的認(rèn)識》的有關(guān)半徑、直徑的相關(guān)知識。所謂知識應(yīng)用是將知識轉(zhuǎn)化到實(shí)踐中去，用以解決數(shù)學(xué)問題的過程。學(xué)生掌握了圓的周長公式，即可用以計算給定圓的周長，這就是解決數(shù)學(xué)問題的過程，也即知識的應(yīng)用。馬克思主義哲學(xué)啟示我們，必須不斷重復(fù)知識認(rèn)知到知識應(yīng)用再到知識認(rèn)知這一循環(huán)過程，才能實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的真正習(xí)得。

(2)思維方法的辨析與獲得(知識遷移)

所謂知識遷移，就是將習(xí)得的知識遷移到不同的情境中去，解決不同問題和訴求的過程。知識遷移的過程涉及知識的準(zhǔn)確提取、靈活應(yīng)用，考驗(yàn)學(xué)習(xí)者對知識相關(guān)性的把握以及思維方法的提取，換句話說，這一過程反映了學(xué)習(xí)者的能力，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種側(cè)面體現(xiàn)。不同的情景不僅包括不同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題，也包括實(shí)際的生活情景。因此，知識遷移不僅是知識的重現(xiàn)，也是知識學(xué)習(xí)過程中思維方法的辨析與獲得。解決數(shù)學(xué)問題的過程中很難單純應(yīng)用某一個知識點(diǎn)，解決生活問題更不單純是知識的簡單組合，很多情況涉及數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用。例如，在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)這個單元時發(fā)現(xiàn)，在不同的數(shù)學(xué)題中，會出現(xiàn)不同的函數(shù)表達(dá)式，精準(zhǔn)選擇會大大降低解題的難度。運(yùn)用數(shù)學(xué)圖像還可以幫助解決極值、對稱軸、零點(diǎn)等問題。當(dāng)函數(shù)走進(jìn)生活中，又不難發(fā)現(xiàn)，幾乎不可能在真實(shí)情境中去解二次函數(shù)，這也讓許多人誤解了數(shù)學(xué)的生活化，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只能用于考試。實(shí)際上，函數(shù)這一單元蘊(yùn)含了很多數(shù)學(xué)思維方法：畫圖法、轉(zhuǎn)化法、符號化、工具法等，而這些思維方法完全可以靈活應(yīng)用于生活世界。因此，可以說思維方法的辨析與獲得是知識學(xué)習(xí)的重要一步。

(3)價值情感的追問與闡發(fā)(知識轉(zhuǎn)化)

學(xué)生在知識學(xué)習(xí)的過程中不能止步于知識遷移、解決問題，而是把握知識背后的情感和價值觀，并將其轉(zhuǎn)化為自身的品質(zhì)，這才是知識能賦予個體的真正價值。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育將數(shù)學(xué)作為一種工具，特別重視其作為科學(xué)的應(yīng)用價值，而相對忽視數(shù)學(xué)的文化性功能，忽視數(shù)學(xué)作為文化的人文價值。實(shí)際上，數(shù)學(xué)知識背后也蘊(yùn)含著人的情感、信念、審美等價值體系，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)習(xí)者也會相應(yīng)建構(gòu)起個人對社會和人生的觀念。例如，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式不僅鍛煉了學(xué)生的推理運(yùn)算能力，同時也培養(yǎng)著學(xué)生的縝密思維和科學(xué)態(tài)度。軸對稱圖形不僅讓學(xué)生學(xué)會辨析圖形結(jié)構(gòu)，也在幫助學(xué)生感知對稱美，中國自古以來講究對稱美，園林、建筑、行政區(qū)域劃分等都能體現(xiàn)數(shù)學(xué)美學(xué)，從而促使學(xué)生形成良好的價值體系。以上就是知識的轉(zhuǎn)化過程，當(dāng)知識走過學(xué)習(xí)者的人生旅程，不應(yīng)該簡單留下“客觀事實(shí)”的印象，而是讓其以更深層次的意義系統(tǒng)刻在人的身上，激蕩人的心靈。

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三程遞進(jìn)式教學(xué)過程設(shè)計

根據(jù)前文的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的三程遞進(jìn)模式的“三程”學(xué)習(xí)過程，相應(yīng)地形成了三程遞進(jìn)式的具體教學(xué)過程：

(一)創(chuàng)建學(xué)習(xí)共同體，在合作探究中實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識的厘清與應(yīng)用

新高考改革的到來，對學(xué)校教育提出了新的要求，這其中就包含師生關(guān)系的優(yōu)化、學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)化、教學(xué)方式的變化。師生之間早已不再是“教師講、學(xué)生聽”的狀態(tài)，而是逐漸走向另一個師生關(guān)系模式——學(xué)習(xí)共同體。這為學(xué)生從被動接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹骄?，從學(xué)生獨(dú)立成長轉(zhuǎn)變?yōu)閹熒餐瑢?shí)現(xiàn)增值性發(fā)展提供了可能性。作為共同體，從涉及的主體、內(nèi)容、方式等角度而言，應(yīng)當(dāng)包含學(xué)習(xí)者、助學(xué)者、學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)環(huán)境和基本規(guī)則這幾項(xiàng)基本要素[12]。其中，學(xué)習(xí)者主要指學(xué)生；助學(xué)者為教師，也可是學(xué)習(xí)共同體中在某些方面較為突出的學(xué)生；學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是圍繞數(shù)學(xué)教材展開的多種課程資源；學(xué)習(xí)環(huán)境包括內(nèi)部環(huán)境創(chuàng)設(shè)(學(xué)習(xí)氛圍培養(yǎng)等)和外部環(huán)境(教學(xué)場所、信息技術(shù)等)；基本規(guī)則通常是成員要求共同接受并遵守的一系列行為規(guī)定。這樣，一個“學(xué)生為中心，教師為主導(dǎo)”的大學(xué)習(xí)共同體就建設(shè)完成。但是，一個班的學(xué)生數(shù)量較多，為方便后續(xù)學(xué)習(xí)討論，可以在大學(xué)習(xí)共同體的基礎(chǔ)上建構(gòu)小學(xué)習(xí)共同體，將班級學(xué)生分為幾組，每組4～6人，并為每一組選出一個組長，類似于助學(xué)者的位置，在小學(xué)習(xí)共同體中負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)人員、安排任務(wù)的工作。大小共同體既照顧到每一位學(xué)生，也不脫離教師的整體把握。

數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)共同體的建構(gòu)主要分為以下五步：確定目標(biāo)、整合資源、創(chuàng)設(shè)情境、進(jìn)入任務(wù)、學(xué)習(xí)評價。第一，確定目標(biāo)要求教師結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)、教材資源、學(xué)生能力加以整體把握，與學(xué)生共同制定數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，這是師生完成教學(xué)活動的焦點(diǎn)，也是整節(jié)課的起點(diǎn)。第二，整合資源要求教師不僅要評估可獲得的和學(xué)生需要的資源，還要盡可能將這些資源加以整合，提供給學(xué)生。這些資源主要包括圍繞教材的相關(guān)資源、跨學(xué)科資源、學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等。第三，創(chuàng)設(shè)情境要求超越以往的學(xué)習(xí)觀，將教學(xué)情境延伸到不同的區(qū)域中去，而不僅是傳統(tǒng)的教室。另外，教學(xué)情境也要考慮內(nèi)外部兩種，外部情境主要包括教學(xué)場所、信息技術(shù)、教室布置等，內(nèi)部情境主要包括學(xué)生的學(xué)習(xí)氛圍、心境、學(xué)習(xí)動機(jī)、學(xué)習(xí)興趣等。第四，進(jìn)入任務(wù)，這是三程遞進(jìn)式教學(xué)過程第一步驟的核心，在前面一系列準(zhǔn)備活動的鋪墊下，由教師組織學(xué)生開展學(xué)習(xí)互動，注意突出學(xué)生的主體地位，給予學(xué)生充分的自主權(quán)和管理權(quán)。第五，組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)評價，評價有自我評價和他人評價、書面評價和口頭評價、過程性評價和結(jié)果性評價等不同的形式，注意在不同的學(xué)習(xí)活動中靈活應(yīng)用不同的評價方式。這樣，基本完成了第一步，實(shí)現(xiàn)了知識習(xí)得的目標(biāo)。

(二)開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，在問題解決中實(shí)現(xiàn)思維方法的辨析與獲得

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)主要以數(shù)學(xué)學(xué)科知識為載體，通過問題解決這一路徑，利用相關(guān)知識和信息收集，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法的提取與應(yīng)用，這是將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活情境的重要方式?！绊?xiàng)目”指的是從提出問題到解決問題、收獲成果的完整活動[13]。根據(jù)這一概念可知，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)主要是圍繞問題展開的，那么項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的基本步驟則可以分為以下五步：提出問題，作出假設(shè)，收集資料，驗(yàn)證假設(shè)，成果展示。

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的第一步，就是提出驅(qū)動性問題，問題的提出大有講究，既不能脫離書本知識，也不能忽視實(shí)際生活意義，既不能超出學(xué)生的現(xiàn)有能力，也不能過于簡單而失去研究意義。這里，實(shí)際上可以通過建設(shè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師團(tuán)隊(duì)，開發(fā)出一些適合學(xué)生能力、適應(yīng)教材內(nèi)容的項(xiàng)目案例，并且允許其進(jìn)行校際間的共享。借助高質(zhì)量的教師團(tuán)隊(duì)，避免隨意開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，違背該學(xué)習(xí)方式的初心。第二，對提出的問題作出假設(shè)，這時大小學(xué)習(xí)共同體的組織就能充分發(fā)揮作用，由小學(xué)習(xí)共同體提出小組假設(shè)，再送大學(xué)習(xí)共同體匯總修改，最終得出可行方案。第三，收集資料。漫無目的地收集資料對學(xué)生來說，特別是低年級學(xué)生，是極其困難的，他們對信息的收集、篩選、辨別、使用都非常生疏。因此，要為學(xué)生提供可供選擇的資源包，讓學(xué)生在相對準(zhǔn)確的范圍內(nèi)選擇資料。第四，驗(yàn)證假設(shè)，學(xué)習(xí)共同體通過前一步收集的資源對假設(shè)加以驗(yàn)證。第五，成果展示。成果展示的形式是多樣的，可以是學(xué)生對問題的論證過程，可以是學(xué)生在進(jìn)行項(xiàng)目活動時做出的成果，抑或是其他創(chuàng)意方式?？傊趩栴}解決的過程中，有意識地滲透相對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，再配合動手操作、合作探究等活動，具身體會數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，才能讓數(shù)學(xué)思想方法真正成為學(xué)生素養(yǎng)的一部分。

(三)舉辦數(shù)學(xué)活動，在史實(shí)中實(shí)現(xiàn)價值情感的追問與闡發(fā)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅是能力的培養(yǎng)，也有品格的提升。如何將數(shù)學(xué)和學(xué)生的情感、價值觀聯(lián)系在一起是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能否深入學(xué)生內(nèi)心的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)課程資源中有哪些可以為我們所用呢？首先，教科書本身就是具有數(shù)學(xué)知識魅力的存在，要善于挖掘知識產(chǎn)生的背景、概念形成與發(fā)展過程[14]。其次，借助數(shù)學(xué)史實(shí)的力量。數(shù)學(xué)教材中不乏一些數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)史圖片，但卻被長期的忽略了[15]。那么如何借助這些資源讓數(shù)學(xué)塑造學(xué)生的情感和價值觀呢，或許借助數(shù)學(xué)活動能夠到達(dá)一定的成效。

數(shù)學(xué)活動主要包括：數(shù)學(xué)征文、數(shù)學(xué)故事會、數(shù)學(xué)辯論、數(shù)學(xué)藝術(shù)展等，只要將現(xiàn)有的活動形式結(jié)合數(shù)學(xué)知識加以融合，也能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加豐富多彩?；顒觾?nèi)容可以包括數(shù)學(xué)史，在讀史中建立正確積極的價值觀。古今中外的文化史實(shí)猶如璀璨明珠，是不可忽視的寶貴資源，特別是我國古代的數(shù)學(xué)家們。劉徽割圓術(shù)、祖沖之圓周率等故事完全可以以故事會、小品、圖畫、動畫的形式展示出來，讓學(xué)生在這些數(shù)學(xué)故事中感受數(shù)學(xué)精神、探索精神、批判精神、客觀理性精神，感受祖國燦爛的數(shù)學(xué)歷史文化。此外，還可以將自己在生活中的數(shù)學(xué)故事講出來、寫出來、畫出來，體會到數(shù)學(xué)的可感可觀可用，身體力行地將數(shù)學(xué)精神貫徹實(shí)踐，而實(shí)踐過程是符號學(xué)習(xí)向深層意義提升的機(jī)制[16]。▲