黃天立，尚旭強(qiáng)，程順，徐兆恒，樓夢(mèng)麟

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200092)

地震動(dòng)是工程結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析和抗震設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。由于記錄的具有相同統(tǒng)計(jì)特征的實(shí)際地震動(dòng)時(shí)程不足，在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析和抗震設(shè)計(jì)中仍需采用人工模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程[1?2]。從20世紀(jì)70年代至今，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種非平穩(wěn)地震動(dòng)的模擬方法，大致可分為4大類(lèi)，即基于時(shí)域調(diào)制的方法、基于演變譜的方法、基于自回歸滑移平均(ARMA)模型的方法和基于傅里葉相位差譜的方法等[3?9]。需指出的是，這些方法都有一定的局限性和適用范圍，如：基于時(shí)域調(diào)制生成的地震動(dòng)常使得結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果具有較大的誤差；基于演變譜的方法合成人工地震動(dòng)時(shí)，難以采用合理、準(zhǔn)確的時(shí)頻譜表示地震動(dòng)的時(shí)頻特性；基于ARMA 模型的方法其參數(shù)估算比較繁瑣，且存在計(jì)算量大和不能保證收斂等缺點(diǎn)；基于傅里葉相位差譜的方法僅能用于基巖場(chǎng)地的地震動(dòng)模擬。

地震動(dòng)具有明顯的強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性，對(duì)結(jié)構(gòu)和土層的非線性響應(yīng)具有顯著影響[10?14]。為使模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程較好地保持實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄的時(shí)頻特征，結(jié)合各種信號(hào)時(shí)頻分析方法，WANG 等[10,15?18]提出了一些時(shí)頻完全非平穩(wěn)地震動(dòng)的模擬方法。WANG 等[10]采用線調(diào)頻基信號(hào)近似方法模擬生成了具有完全非平穩(wěn)的地震動(dòng)，并考慮了地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)特征對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)和框架結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)的影響。GIARALIS等[15]提出了采用小波變換模擬生成反應(yīng)譜兼容的時(shí)頻完全非平穩(wěn)地震動(dòng)的方法，并模擬生成了與歐洲抗震規(guī)范反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)時(shí)程。樊劍等[16]采用S變換提出了與抗震規(guī)范功率譜相容的非平穩(wěn)地震動(dòng)合成方法，發(fā)現(xiàn)人工合成的地震波功率譜與目標(biāo)譜較符合，且生成的地震波較好地繼承了實(shí)測(cè)地震波的非平穩(wěn)特性。ZHANG 等[17]提出了僅采用Hilbert 變換模擬生成非平穩(wěn)地震動(dòng)的方法。何浩祥等[18]在基于小波包分解建立時(shí)變功率譜的基礎(chǔ)上，建立了包括地震動(dòng)頻域譜和時(shí)域譜模型的統(tǒng)一時(shí)頻譜，并基于統(tǒng)一時(shí)頻譜人工合成地震動(dòng)的方法。

Hilbert-Huang變換(HHT)方法具有良好的時(shí)頻局部化特性，可以更客觀地估計(jì)地震的時(shí)變功率譜，可用于模擬具有時(shí)頻完全非平穩(wěn)特性的地震動(dòng)時(shí)程。WEN等[19]采用HHT變換估計(jì)得到天然地震動(dòng)樣本的Hilbert 時(shí)變功率譜，建立了非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)的模擬方法，并且將該方法應(yīng)用于多分量隨機(jī)地震動(dòng)的模擬[20]。LI等[21]基于Hilbert時(shí)變功率譜建立了三向地震動(dòng)的合成方法，通過(guò)HHT 變換調(diào)整合成地震動(dòng)的時(shí)頻特性，生成了與目標(biāo)反應(yīng)譜兼容的地震動(dòng)時(shí)程。

由于HHT 方法中經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)得到的固有模式分量(IMF)之間不完全正交，由此獲得的Hilbert 時(shí)頻譜存在能量泄漏問(wèn)題，進(jìn)而會(huì)影響Hilbert 時(shí)變功率譜的估計(jì)結(jié)果[22?23]。胡燦陽(yáng)等[23]采用正交化HHT 方法[24]，解決了Hilbert 時(shí)變功率譜估計(jì)中存在的能量泄漏問(wèn)題，將實(shí)測(cè)地震記錄估計(jì)得到的Hilbert 時(shí)變功率譜作為目標(biāo)譜，提出了基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬單分量非平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)的方法。陳清軍等[25]結(jié)合演變譜理論和正交HHT 法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種能同時(shí)反映強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性的類(lèi)諧和長(zhǎng)周期地震動(dòng)合成方法。

本文將基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜的單分量完全非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法進(jìn)一步拓展，提出了基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜的多分量完全非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法，該方法在確定描述各分量間相關(guān)性的互協(xié)方差函數(shù)時(shí)，假定各分量采用一組相同的隨機(jī)相位偏差。分別以EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄南北分量和Northridge 地震Newhall 臺(tái)站實(shí)測(cè)三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄為單、多分量地震動(dòng)時(shí)程模擬對(duì)象，模擬生成了具有完全非平穩(wěn)特征的單、多分量地震動(dòng)時(shí)程；采用Hilbert時(shí)頻譜、累積歸一化Arias 強(qiáng)度指標(biāo)、加速度反應(yīng)譜、Renyi熵和分形維數(shù)指標(biāo)驗(yàn)證模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程的有效性。

1 基于正交化HHT 方法的時(shí)變功率譜估計(jì)

1.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?/h3>

為使基于Hilbert 變換獲得的信號(hào)瞬時(shí)頻率定義具有意義，HUANG 等[26]提出了固有模式函數(shù)(IMF)的概念，并給出了一種將任意信號(hào)x(t)分解成IMF 分量的方法，即經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)方法。EMD 方法通過(guò)一種被稱(chēng)為“篩分”的過(guò)程，對(duì)信號(hào)逐步進(jìn)行分解，最后得到一系列IMF 分量cj(t)(j=1,2,…,n)和1個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)rn(t)之和，即

1.2 正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?/h3>

樓夢(mèng)麟等[22]指出，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)所得的固有模式分量(IMF)之間是不完全正交的，由此獲得的Hilbert 時(shí)頻譜存在能量泄漏問(wèn)題，進(jìn)而會(huì)影響Hilbert時(shí)變功率譜的估計(jì)。HUANG等[24]進(jìn)一步提出了針對(duì)IMF 分量進(jìn)行正交化處理的方法，即正交化HHT 方法，解決了Hilbert 時(shí)變功率譜估計(jì)中的能量泄漏問(wèn)題，并可應(yīng)用于地震加速度時(shí)程的譜分析。

通過(guò)對(duì)EMD 分解所得IMF 分量進(jìn)行正交化處理，可得到完全正交的各階IMF 分量，詳細(xì)步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[24]。式(1)中信號(hào)x(t)可被分解成為n個(gè)正交IMF 分量c*j(t)(j=1,2,…,n)和1 個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)rn*(t)之和，即

式中：c*j(t)(j=1,2,…,n)之間是完全正交的。

1.3 Hilbert時(shí)變功率譜估計(jì)

對(duì)式(2)中任意一個(gè)正交IMF 分量(t)進(jìn)行Hilbert變換，并構(gòu)造解析信號(hào)zj(t)：

信號(hào)x(t)可表示為如下形式：

式中：Re(?)表示取實(shí)部。

將信號(hào)x(t)的振幅表示在時(shí)間?頻率平面上，可得到Hilbert 幅值譜H(t,ω)，稱(chēng)為Hilbert 時(shí)頻譜，即

式中：ωj(t)為第j個(gè)頻率點(diǎn)。

Hilbert 時(shí)頻譜可由EMD 分解得到的IMF 分量或由正交EMD 分解得到的正交IMF 分量計(jì)算得到，其描述了信號(hào)幅值隨時(shí)間和頻率的變化規(guī)律。

考慮信號(hào)x(t)和解析信號(hào)的關(guān)系，可從能量角度估計(jì)得到反映信號(hào)時(shí)頻能量特性的Hilbert 時(shí)變功率譜f(t,ω)，即

基于正交IMF 分量確定Hilbert 時(shí)頻譜，并通過(guò)式(8)確定Hilbert 時(shí)變功率譜，不僅避免了能量泄漏，同時(shí)也使采用正交HHT 方法估計(jì)得到的正交Hilbert時(shí)變功率譜更準(zhǔn)確。

2 基于正交Hilbert時(shí)變功率譜的單分量非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬驗(yàn)證

2.1 模擬方法

基于三角級(jí)數(shù)法模擬地震動(dòng)，陳清軍等[25]提出了結(jié)合演變譜和正交HHT方法的地震動(dòng)模擬方法，其表達(dá)式如下：

式中：f(t,ωk)為采用式(8)估計(jì)得到的正交Hilbert時(shí)變功率譜；Δω=(ωk-ωk-1)為正交Hilbert 時(shí)變功率譜的頻率間隔；Φk為[0,2π]區(qū)間均勻分布、相互獨(dú)立的隨機(jī)相位角。該方法模擬得到的地震動(dòng)時(shí)程同時(shí)具有較強(qiáng)的強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性。

采用正交HHT 方法估計(jì)得到的Hilbert 時(shí)變功率譜能很好地描繪地震動(dòng)能量和頻率隨時(shí)間的變化特征，然而，模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程的Hilbert時(shí)頻譜不相同。對(duì)于地震動(dòng)，往往只能實(shí)測(cè)到1個(gè)或者幾個(gè)時(shí)程，因此，可將某實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的Hilbert時(shí)頻譜Hm(t,ω)視為模擬生成的地震動(dòng)所有時(shí)程的Hilbert時(shí)頻譜的期望值E[H(t,ω)]，即

假設(shè)單變量隨機(jī)過(guò)程X(t)可以通過(guò)引入1個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表示：

式中：Φj為獨(dú)立的隨機(jī)相位角，均勻分布于區(qū)間[0,2π]內(nèi)。隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值μX、協(xié)方差KXX(t1,t2)和方差σ2x(t)分別表示為：

由此可見(jiàn)，模擬生成的所有地震動(dòng)時(shí)程，其均值與實(shí)測(cè)記錄的均值相同，其協(xié)方差則主要取決于相位角的相關(guān)性和在每個(gè)瞬時(shí)頻率的瞬時(shí)幅值，方差則由瞬時(shí)幅值的平方?jīng)Q定。

選取實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程南北分量為模擬對(duì)象，分別采用HHT和正交HHT方法估計(jì)Hilbert 時(shí)變功率譜，利用式(9)模擬生成人工地震動(dòng)加速度時(shí)程，這里采用一組完全相同的隨機(jī)相位角。實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程南北分量以及分別基于Hilbert 時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的1條地震動(dòng)加速度時(shí)程如圖1所示。從圖1可以看出：基于Hilbert時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬得到的地震動(dòng)加速度時(shí)程都能很好地反映實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄的強(qiáng)度非平穩(wěn)特征。

圖1 實(shí)測(cè)和模擬的單分量地震動(dòng)加速度時(shí)程Fig.1 Recorded and simulated single-component earthquake ground motion acceleration time histories

2.2 單分量非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程模擬結(jié)果驗(yàn)證

為了演示基于Hilbert 時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的單分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的準(zhǔn)確性和有效性，分別采用Hilbert 時(shí)頻譜、累積歸一化Arias 強(qiáng)度指標(biāo)、加速度反應(yīng)譜、Renyi熵和分形維數(shù)等指標(biāo)予以驗(yàn)證。

2.2.1 Hilbert時(shí)頻譜

實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄南北分量、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的單分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的Hilbert 時(shí)頻譜見(jiàn)圖2。從圖2可以看出：這2 種方法模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程，其Hilbert 時(shí)頻譜都能有效地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)頻非平穩(wěn)特性。

圖2 單分量地震動(dòng)的Hilbert時(shí)頻譜Fig.2 Hilbert time-frequency amplitude spectra of singlecomponent earthquake ground motions

2.2.2 累積歸一化Arias強(qiáng)度指標(biāo)

累積歸一化Arias 強(qiáng)度指標(biāo)(CNAI)可用于表征地震動(dòng)時(shí)程的累計(jì)能量釋放特性，其計(jì)算式為[27]

式中：0 ≤t≤Td；Td為加速度時(shí)程的總持續(xù)時(shí)間；a(τ)為時(shí)間為τ時(shí)的加速度。

實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄南北分量、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程的累積歸一化Arias強(qiáng)度指標(biāo)見(jiàn)圖3。從圖3可以看出：基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程的CNAI 與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的CNAI 基本一致，兩者之間的差異可以忽略不計(jì)；而基于Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程的CNAI 與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的CNAI 差別較大，相差40%左右。由此表明，基于Hilbert 時(shí)變功率譜生成的地震動(dòng)時(shí)程與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程相比存在能量泄露現(xiàn)象，這主要是HHT 方法分解得到的IMF分量之間不完全正交所造成的。累積歸一化Arias強(qiáng)度指標(biāo)表明，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程更接近，模擬結(jié)果更準(zhǔn)確，能更好地表征實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的能量釋放特性。

圖3 單分量地震動(dòng)的累積歸一化Arias強(qiáng)度指標(biāo)圖Fig.3 Cumulative normalized Arias intensities of singlecomponent earthquake ground motions

2.2.3 加速度反應(yīng)譜

加速度反應(yīng)譜可作為反映人工地震動(dòng)加速度時(shí)程模擬效果的指標(biāo)。當(dāng)阻尼比為5%時(shí)，實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程南北分量、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程的彈性加速度反應(yīng)譜如圖4所示。從圖4可以看出：在周期為0.5～2.0 s 時(shí)，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程的反應(yīng)譜與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜之間存在一定差異；當(dāng)周期大于2 s 時(shí)，兩者之間吻合較好；在整個(gè)周期內(nèi)，基于Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程反應(yīng)譜與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程反應(yīng)譜之間差別較大。由此表明，采用基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜的人工地震動(dòng)模擬方法可獲得與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程更接近的模擬結(jié)果。

圖4 單分量地震動(dòng)的加速度反應(yīng)譜Fig.4 Pseudo-acceleration response spectra of singlecomponent earthquake ground motions

2.2.4 Renyi熵

Renyi熵是描述系統(tǒng)混亂度的指標(biāo)，可用于描述信號(hào)的復(fù)雜度，本文將其作為驗(yàn)證人工地震動(dòng)模擬方法有效性的一種指標(biāo)。Renyi 熵Hα由下式確定[27]：

式中：Wψ(a,b)為時(shí)頻表達(dá)系數(shù)；α為Renyi 熵的次數(shù)，本文取α=3。

實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄南北分量的Renyi熵、基于Hilbert時(shí)變功率譜、基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜生成的50 條地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi 熵如圖5所示。從圖5可以看出：基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的50 條地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵在3.50上下波動(dòng)，與實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵3.42較接近；而基于Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的50 條地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵在3.20上下波動(dòng)，與實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄的Renyi 熵差別較大。此外，由圖5還可見(jiàn)50條白噪聲信號(hào)加速度時(shí)程的Renyi熵在5.00上下波動(dòng)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵。

圖5 單分量地震動(dòng)的Renyi熵Fig.5 Renyi entropies of single-component earthquake ground motions

2.2.5 分形維數(shù)

分形維數(shù)是估計(jì)數(shù)據(jù)自由度和表征數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)空間中分布方式的指標(biāo)，也可用于驗(yàn)證非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬的有效性。分形維數(shù)表征分形的任何維度包括容量維度、相關(guān)維數(shù)和信息維度，其中，Kolmogorov 容量(盒計(jì)數(shù)維度)得到普遍應(yīng)用。通常，分形維數(shù)增加表明信息熵增加。本文采用盒計(jì)數(shù)方法計(jì)算地震動(dòng)加速度時(shí)程的分形維數(shù)[27]。

設(shè)平面內(nèi)有一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為a和b的分形集M(a,b)，用邊長(zhǎng)為ε的正方形網(wǎng)格覆蓋此分形集，則分形集M(a,b)與正方形網(wǎng)格相交的數(shù)量為M(a,b;ε)。定義分形集M(a,b)在標(biāo)度為ε時(shí)的盒維數(shù)D為

對(duì)于地震動(dòng)時(shí)程，盒維數(shù)D表明其在標(biāo)度為ε時(shí)的不規(guī)則性，與地震動(dòng)的頻譜分布有關(guān)。地震動(dòng)時(shí)程的分形維數(shù)越大，表明地震動(dòng)高頻分量越多；反之，表明地震動(dòng)低頻分量越多。本文計(jì)算地震動(dòng)時(shí)程的盒維數(shù)時(shí)，取a=0.08，b=0.1。

實(shí)測(cè)EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程南北分量的分形維數(shù)圖、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的100條地震動(dòng)加速度時(shí)程的分形維數(shù)圖如圖6所示。從圖6可以看出：基于Hilbert 時(shí)變功率譜、正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)加速度時(shí)程，其分形維數(shù)圖與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的分析維數(shù)圖相差較小，這表明基于Hilbert 時(shí)變功率譜、正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程都能準(zhǔn)確地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄的信號(hào)特征。

圖6 單分量地震動(dòng)的分形維數(shù)Fig.6 Fractal dimensions of single-component earthquake ground motions

3 基于正交Hilbert時(shí)變功率譜的多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法及其驗(yàn)證

3.1 模擬方法

將基于Hilbert 時(shí)變功率譜的單分量非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法推廣到具有m個(gè)分量的多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬，其關(guān)鍵在于確定各分量之間的互協(xié)方差函數(shù)。

假設(shè)多分量非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y(t)的第k個(gè)分量Yk(t)表示為如下形式：

由式(12)，(13)和式(14)可求得Yk(t)的均值、協(xié)方差和方差。多分量非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y(t)的第p和第q個(gè)分量之間的互協(xié)方差KYpYq(t1,t2)可表示為[19]

式中：E(?)表示取期望；ajp，θjp和?jp分別為第p個(gè)分量的第j階IMF 的幅值、相位角和隨機(jī)相位偏移；akq，θkq和?kq分別為第q個(gè)分量的第k階IMF的幅值、相位角和隨機(jī)相位偏移；rnp和rnq分別為第p和第q個(gè)分量的趨勢(shì)項(xiàng)。

互協(xié)方差取決于每一個(gè)分量的幅值、相位角和隨機(jī)相位偏移。若2個(gè)分量之間的隨機(jī)相位偏移?jp和?kq相互獨(dú)立，則這2 個(gè)分量之間的互協(xié)方差為0。通過(guò)建立2 個(gè)分量之間的互協(xié)方差，可確定兩分量之間的相關(guān)性。本文采用的方法是，使2個(gè)分量的兩組隨機(jī)相位偏移相關(guān)。2個(gè)分量相同序列的IMF的隨機(jī)相位偏移關(guān)系為

式中：ψjq為常數(shù)，表示2 個(gè)分量相同序列的IMF的隨機(jī)相位偏移是相關(guān)的，而不同序列的IMF 的隨機(jī)相位偏移是相互獨(dú)立的。多分量隨機(jī)過(guò)程的均值、協(xié)方差和方差均值也可由式(12)，(13)和式(14)求得，每個(gè)分量的Hilbert時(shí)頻譜保持不變。第p和第q個(gè)分量之間的互協(xié)方差為

式(21)取決于每個(gè)分量相同序列的IMF幅值函數(shù)、相位角之差和隨機(jī)相位偏移之差。當(dāng)相位角之差和隨機(jī)相位偏移之差，即[θjp(t1)-θjq(t2)+ψjp-ψjq]很小時(shí)，余弦函數(shù)接近于1，互協(xié)方差取決于2個(gè)分量的IMF；當(dāng)[θjp(t1)-θjq(t2)+ψjp-ψjq]接近于π/2 時(shí)，余弦函數(shù)接近于0，互協(xié)方差也接近于0。需指出的是，這僅是模擬多分量隨機(jī)過(guò)程各分量之間相關(guān)性的一種方法。

為了模擬多分量隨機(jī)過(guò)程，理論上需要知道各分量之間的互協(xié)方差，以此確定式(18)中各分量的隨機(jī)相位偏移。然而，對(duì)于大多數(shù)實(shí)際多分量地震動(dòng)記錄而言，往往僅有1 個(gè)實(shí)測(cè)記錄可以采用，因此，本文假設(shè)多分量隨機(jī)過(guò)程各分量相同序號(hào)的IMF代表波形，則在同一時(shí)間，式(20)中ψjq為0。對(duì)于多分量隨機(jī)過(guò)程中的每一分量的模擬，假設(shè)采用一組相同的隨機(jī)相位偏移來(lái)模擬，因此，在(21)中，假設(shè)ψjp=ψjq=0。

基于這個(gè)假定，選擇Northridge 地震中Newhall臺(tái)站記錄的垂直(z)和2個(gè)水平(x，y)方向分量地震動(dòng)時(shí)程為模擬對(duì)象，分別基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert時(shí)變功率譜，利用式(9)和(21)模擬生成多分量地震動(dòng)加速度時(shí)程。

Northridge 地震中Newhall 臺(tái)站實(shí)測(cè)的垂直(z)和2 個(gè)水平(x，y)方向的地震動(dòng)加速度、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的1 條三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程如圖7所示。從圖7可以看出：基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬得到的三分量地震動(dòng)時(shí)程均能客觀地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程記錄，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬得到的地震動(dòng)時(shí)程與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程差別更小，由此表明，對(duì)于多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程的模擬，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜的模擬方法比基于Hilbert 時(shí)變功率譜的模擬方法更優(yōu)，模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程也能更準(zhǔn)確、全面地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程。

圖7 實(shí)測(cè)和模擬的三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程Fig.7 Recorded and simulated tri-directional earthquake ground motion acceleration time histories

3.2 多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程模擬結(jié)果驗(yàn)證

為了演示基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的多分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的準(zhǔn)確性和有效性，分別采用Hilbert 時(shí)頻譜、加速度反應(yīng)譜、Renyi熵和分形維數(shù)等指標(biāo)予以驗(yàn)證。

3.2.1 Hilbert時(shí)頻譜

Northridge 地震中Newhall 臺(tái)站實(shí)測(cè)的垂直(z)和2 個(gè)水平(x，y)方向的地震動(dòng)加速度時(shí)程、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的1條三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的Hilbert時(shí)頻譜圖如圖8所示。

從圖8可以看出：與模擬生成單分量非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程情況類(lèi)似，基于Hilbert 時(shí)變功率譜和基于正交Hilbert時(shí)變功率譜這2種地震動(dòng)模擬方法模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程都能有效地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)頻非平穩(wěn)特性?；贖ilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程，其Hilbert 時(shí)頻譜的形狀雖然與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的Hilbert 時(shí)頻譜類(lèi)似，但其峰值與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的峰值相差較大；而基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程不僅在Hilbert 時(shí)頻譜的形狀上與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的Hilbert 時(shí)頻譜吻合，而且其峰值與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的峰值相差很小。由此表明，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜的多分量地震動(dòng)模擬方法改進(jìn)了基于Hilbert 時(shí)變功率譜的多分量地震動(dòng)模擬方法，特別是在反映實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程記錄的時(shí)頻能量特征方面，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜方法模擬生成多分量地震動(dòng)時(shí)程能更好地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的時(shí)頻能量特征。

圖8 三分量地震動(dòng)的Hilbert時(shí)頻譜Fig.8 Hilbert time-frequency amplitude spectra of tridirectional earthquake ground motions

3.2.2 加速度反應(yīng)譜

當(dāng)阻尼比為5%時(shí)，Northridge 地震中Newhall臺(tái)站實(shí)測(cè)的垂直(z)和2 個(gè)水平(x，y)方向的地震動(dòng)加速度時(shí)程、基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的1條三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的加速度反應(yīng)譜如圖9所示。

從圖9可以看出：基于Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的加速度反應(yīng)譜與基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的加速度反應(yīng)譜顯著不同；基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程彈性反應(yīng)譜與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程彈性反應(yīng)譜更接近。由此表明，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜的多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法，可獲得與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程更接近的模擬結(jié)果。

圖9 三分量地震動(dòng)的加速度反應(yīng)譜Fig.9 Pseudo-acceleration response spectra of tri-directional earthquake ground motions

3.2.3 Renyi熵

Northridge 地震中Newhall 臺(tái)站實(shí)測(cè)的垂直(z)和2 個(gè)水平(x，y)方向的地震動(dòng)加速度時(shí)程和分別基于Hilbert 時(shí)變功率譜、正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的50條三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵如圖10所示。從圖10可以看出：基于Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的50 條地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi 熵低于實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi 熵；基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的50 條地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵與實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi 熵更接近。由圖10還可見(jiàn)：50 條白噪聲信號(hào)加速度時(shí)程的Renyi熵遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程的Renyi熵。

圖10 三分量地震動(dòng)的Renyi熵Fig.10 Renyi entropies of tri-directional earthquake ground motions

3.2.4 分形維數(shù)

Northridge 地震中Newhall 臺(tái)站實(shí)測(cè)的垂直(z)和2 個(gè)水平(x，y)方向的地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄的分形維數(shù)圖、基于Hilbert 時(shí)變功率譜、正交Hilbert時(shí)變功率譜模擬生成的100條三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程的分形維數(shù)圖如圖11所示。表1所示為實(shí)測(cè)和基于Hilbert 時(shí)變功率譜、正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬得到的Northridge-Newhall 地震垂直(z)和2個(gè)水平(x，y)方向加速度時(shí)程的分形維數(shù)。

從圖11和表1可以看出：基于Hilbert 時(shí)變功率譜和正交Hilbert時(shí)變功率譜這2種模擬方法得到的多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程的分形維數(shù)與實(shí)測(cè)地震動(dòng)時(shí)程的分形維數(shù)之間相差都比較小，這表明基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的多分量地震動(dòng)時(shí)程和基于Hilbert 時(shí)變功率譜模擬生成的多分量地震動(dòng)時(shí)程都能準(zhǔn)確地描述了實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄的信號(hào)特征。

表1 實(shí)測(cè)和模擬的Northridge-Newhall地震三分量加速度時(shí)程的分形維數(shù)Table 1 Fractal dimensions of measured and simulated Northridge-Newhall tri-directional earthquake acceleration time history

圖11 三分量地震動(dòng)的分形維數(shù)Fig.11 Fractal dimensions of tri-directional earthquake ground motions

4 結(jié)論

1)基于多分量隨機(jī)過(guò)程中各分量過(guò)程的模擬可采用一組相同隨機(jī)相位偏差的假定，確定了描述多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)各分量間相關(guān)性的互協(xié)方差函數(shù)。將基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜模擬單分量完全非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法進(jìn)一步拓展，提出了基于正交Hilbert 功率譜的多分量完全非平穩(wěn)地震動(dòng)模擬方法。

2)分別以EL Centro 地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄南北分量和Northridge 地震Newhall 臺(tái)站實(shí)測(cè)三分量地震動(dòng)加速度時(shí)程記錄為單、多分量地震動(dòng)時(shí)程模擬對(duì)象，模擬生成了具有完全非平穩(wěn)特征的單、多分量地震動(dòng)時(shí)程。采用Hilbert 時(shí)頻譜、累積歸一化Arias強(qiáng)度指標(biāo)、加速度反應(yīng)譜、Renyi熵和分形維數(shù)等指標(biāo)驗(yàn)證了模擬生成的地震動(dòng)時(shí)程的有效性。

3)與基于Hilbert 時(shí)變功率譜生成的單、多分量地震動(dòng)時(shí)程相比，基于正交Hilbert 時(shí)變功率譜生成的單、多分量非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程能更真實(shí)地描述實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄的強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性。