王仲鋒

(長(zhǎng)春工程學(xué)院 勘查與測(cè)繪工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130021)

本研究將導(dǎo)出用檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型殘差計(jì)算單位權(quán)方差的無(wú)偏估計(jì)公式，并將其計(jì)算的單位權(quán)方差的無(wú)偏估值與建模時(shí)獲得的單位權(quán)方差無(wú)偏估值分別作為模型的外、內(nèi)符合精度指標(biāo)值。

1 內(nèi)符合精度公式

設(shè)以L為觀測(cè)值的線性回歸的高斯-馬爾柯夫模型為：

(1)

(2)

現(xiàn)將L分為n1×1和n2×1的兩組向量L1和L2(對(duì)應(yīng)的權(quán)矩陣分別為P1和P2，協(xié)因數(shù)陣分別為Q1和Q2，互協(xié)因數(shù)陣Q12=0，且Pi和Qi互為逆陣)，第一組用作建模，第二組用于外符合檢驗(yàn)。相應(yīng)地式(1)亦可分為兩組。

(3)

(4)

可見(jiàn)，對(duì)式(3)、式(4)兩邊求數(shù)學(xué)期望有：

(5)

(6)

將式(3)寫成誤差方程形式，即有：

(7)

(8)

對(duì)式(8)兩邊求數(shù)學(xué)期望，顧及式(5)可得：

(9)

顧及式(5)和(9)，可得：

(10)

另外由：

(11)

和協(xié)因數(shù)傳播率，可得：

(12)

考慮到P1和Q1互為逆陣，整理式(12)得：

(13)

其中，E1為n1×n1的單位矩陣。

(14)

其中r1稱為多余觀測(cè)數(shù)，且：

r1=n1-t.

(14a)

文獻(xiàn)[17]是根據(jù)概括平差模型導(dǎo)出單位權(quán)方差估計(jì)公式的，為了使讀者更加清晰地理解式(14)，以下按照論文的體系對(duì)式(14a)進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。

(15)

去掉期望值符號(hào)即可得到式(14)。其中，Et為t×t的單位矩陣，t為參數(shù)的個(gè)數(shù)。

2 外符合精度公式

(16)

記基于L2(外符合檢驗(yàn)數(shù)據(jù))的回歸模型殘差向量為e2，即：

(17)

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播率，可得e2的協(xié)因數(shù)矩陣：

(18)

考慮到Q1和P1互為逆陣以及轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)，整理后有：

(19)

對(duì)照式(13)和式(19)，式QV1V1和Qe2e2差異顯著，原因在于L1參加了建模平差計(jì)算，L2未參加平差計(jì)算。

(20)

同樣，考慮到式(6)和式(9)，對(duì)式(17)兩端求數(shù)學(xué)期望得：

(21)

可見(jiàn)，式(20)又可寫為：

(22)

將式(19)帶入式(22)，同樣考慮到P2和Q2互為逆陣以及矩陣跡的性質(zhì)tr(AB)=tr(BA)得：

(23)

記：

(24)

(25)

需要說(shuō)明的是，像坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、大地水準(zhǔn)面擬合一類的問(wèn)題，觀測(cè)值均視為等精度的獨(dú)立觀測(cè)值，上述有關(guān)公式中的權(quán)陣均取單位陣。

3 與經(jīng)典公式的比較

根據(jù)經(jīng)典方法，內(nèi)符合精度的公式可以寫作：

(26)

外符合精度的公式可以寫作：

(27)

根據(jù)以上討論，并考慮到r1n2，可將式(14)與式(26)、式(25)與式(27)進(jìn)行比較，結(jié)果列入表1。

由表1及誤差理論等相關(guān)知識(shí)可做如下分析：

表1 與經(jīng)典公式的比較

4 實(shí)例分析

香港特別行政區(qū)共74個(gè)GNSS/水準(zhǔn)控制點(diǎn)，其HK80和WGS84空間直角坐標(biāo)見(jiàn)表2，點(diǎn)位分布見(jiàn)圖1。取表2中60-74號(hào)點(diǎn)作為建模點(diǎn)(如圖1中“口”形符號(hào)所示，共計(jì)15個(gè))，1-59號(hào)點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)(如圖1中“◇”形符號(hào)所示，共計(jì)59個(gè))，現(xiàn)利用布爾沙模型進(jìn)行HK80至WGS84的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

圖1 香港GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)位分布圖

表2 HK80及WGS84空間直角坐標(biāo)(橢球上的投影點(diǎn)坐標(biāo))

續(xù)表2

續(xù)表2

可按照下列方式列立第i點(diǎn)的誤差方程。

(28)

其中，

圖2 建模數(shù)據(jù)在XYZ 3個(gè)方向的離差分布圖

圖3 檢驗(yàn)數(shù)據(jù)在XYZ 3個(gè)方向的離差分布圖

表3 內(nèi)外符合精度計(jì)算結(jié)果表

4 結(jié) 論