許 岷

（北京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，北京市 100191）

一、引言

隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，數(shù)據(jù)量級爆發(fā)式增長，數(shù)據(jù)維度不斷增高，數(shù)據(jù)類型越來越復(fù)雜、多樣。許多基于傳統(tǒng)點數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法不再適用，亟待進一步更新與擴展。1987年，分類學(xué)家Diday[1]提出了符號數(shù)據(jù)的概念，即通過“數(shù)據(jù)打包”思想，將海量、高維數(shù)據(jù)按類打包成一個“符號”。區(qū)間數(shù)據(jù)是一類典型的符號數(shù)據(jù)。

近年來，基于區(qū)間數(shù)據(jù)的經(jīng)典統(tǒng)計分析方法被廣泛研究，區(qū)間數(shù)據(jù)的線性回歸模型已發(fā)展的相當(dāng)成熟。Billard和Diday[2]利用區(qū)間的中心表示區(qū)間數(shù)據(jù)，并建立了區(qū)間中心的線性回歸模型。為了進一步挖掘區(qū)間內(nèi)部信息，Lima Neto和Carvalho[3]提出了中心半長法，即使用區(qū)間的中心和半長表示區(qū)間，并分別建立區(qū)間中心和半長的線性回歸模型。該方法的提出打開了區(qū)間數(shù)據(jù)分析的新局面，一系列基于中心半長法的模型相繼被提出，如Lasso回歸模型[4]、非參數(shù)模型[5]和考慮內(nèi)部散點的回歸模型[6]等。

從統(tǒng)計決策理論角度看，現(xiàn)有的區(qū)間數(shù)據(jù)回歸模型的參數(shù)求解過程是通過最小化平方損失函數(shù)得到參數(shù)的估計。例如，在基于中心半長法的區(qū)間回歸模型中，通過最小化平方損失得到回歸系數(shù)的最小二乘估計[3]。平方損失是一種常用的對稱損失函數(shù)，已經(jīng)廣泛使用在統(tǒng)計建模的各個領(lǐng)域。

對稱的損失函數(shù)對高估或者低估某個參數(shù)賦予相同的風(fēng)險測度，但在醫(yī)學(xué)分析、可靠性分析、金融數(shù)據(jù)分析研究中，高估或者低估某一特定值常常會產(chǎn)生更大的風(fēng)險。例如，股票投資中股民對股票價格的波動非常敏感，過高或過低的預(yù)測估計都會影響股民的投資決策和投資利益[7]。在可靠性分析領(lǐng)域，高估某件器材的平均壽命要比低估該器材的平均壽命帶來的風(fēng)險更大[8]等。此時，需要引入新的非對稱損失函數(shù)解決參數(shù)高估或者低估問題。

Varian[9]提出的線性指數(shù)（linearexponential，LINEX）函數(shù)是一種典型的非對稱損失函數(shù)。Zellner[10]將其拓展到貝葉斯數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域。如今，各類基于LINEX損失函數(shù)的貝葉斯估計已被廣泛研究。王茹和周菊玲[11]提出了復(fù)合LINEX對稱損失下Kumaraswamy分布參數(shù)的貝葉斯估計。王理峰[12]研究了在LINEX損失下，多元正態(tài)分布熵的Stein型和Brester-Zidek型貝葉斯估計等。

利用區(qū)間數(shù)據(jù)刻畫醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)數(shù)據(jù)時也會遇到刻畫參數(shù)高估或低估風(fēng)險的問題。因此提出基于LINEX損失的區(qū)間線性回歸模型有重要的理論與現(xiàn)實意義。

二、LINEX損失及性質(zhì)

三、模型建立

本節(jié)闡述基于LINEX損失函數(shù)的回歸系數(shù)貝葉斯估計值的求法。首先介紹模型的矩陣表示及貝葉斯框架；其次求解回歸系數(shù)的后驗邊緣分布，并在LINEX損失條件下求解貝葉斯估計值。

（一）模型描述

（二）基于LINEX損失的后驗推斷

四、數(shù)值試驗

本節(jié)利用模擬數(shù)據(jù)，比較基于LINEX損失函數(shù)的貝葉斯估計值和最小二乘估計值的風(fēng)險。依次介紹模擬數(shù)據(jù)的生成方法和不同預(yù)測指標(biāo)，最后對試驗結(jié)果進行比較和討論。

（一）數(shù)據(jù)生成方法

本節(jié)參照已有文獻生成模擬數(shù)據(jù)，中心和半長數(shù)據(jù)可以按均勻分布生成，回歸系數(shù)可以看成固定的常數(shù)。具體步驟如下：對第 i（i=1，2，…，n）個樣本，

（二）評價指標(biāo)

對每種樣本量 n=20，50，100的模擬數(shù)據(jù)重復(fù)M=1000次，計算平均風(fēng)險比較基于LINEX損失的貝葉斯估計值和最小二乘估計。本文選取在LINEX損失函數(shù)研究領(lǐng)域常用的LINEX風(fēng)險及比率作為評價指標(biāo)，設(shè)θ為真實參數(shù)值，則風(fēng)險值R定義為：

風(fēng)險值R越低表示估計值越有效。分別利用RLINEX和RLS表示基于LINEX損失的貝葉斯估計值和基于LINEX損失的貝葉斯估計值和最小二乘估計值。定義二者的比率RE：

其中，RE<1表示貝葉斯估計值的風(fēng)險比最小二乘估計值小，即貝葉斯估計值更有效。反之，最小二乘估計值更有效，當(dāng)RE接近于1時，表示兩個估計值的有效性相近。

（三）試驗結(jié)果與討論

表1和表2展示了基于LINEX風(fēng)險的比較結(jié)果。

表1 基于LINEX損失的風(fēng)險比較（a=-2，-1）

表2 基于LINEX損失的風(fēng)險比較（a=1，2）

由表1和表2可知，無論樣本量n和參數(shù)a取何值，在LINEX損失下，基于LINEX損失的貝葉斯估計值的風(fēng)險均小于最小二乘估計的風(fēng)險。例如，當(dāng)a=-2，n=100時，RLINEX和RLS值分別為2.405和4.457，二者的比值RE=0.54；當(dāng)a=1，n=20時，RLINEX和RLS值分別為3.898和11.336，二者的比值RE=0.344。圖1展示了不同參數(shù)a和樣本量n條件下RE的變化，進而比較不同參數(shù)a和樣本量n條件下風(fēng)險的變化。

圖1 基于LINEX損失的風(fēng)險比較

圖1中，隨著參數(shù)a絕對值的增加，RE的值在降低，即當(dāng)|a|較小時，基于LINEX的貝葉斯估計值與最小二乘估計相對比較接近，這與LINEX損失函數(shù)的性質(zhì)保持一致。例如，當(dāng)n=20時，a=-2時，比率RE=0.0123；但當(dāng)n=20，a=-1時，比率RE增加到0.3968。

隨著樣本量n的增加，無論a取何值，比率RE都呈上升趨勢，即在樣本量較大時，基于LINEX的貝葉斯估計值與最小二乘估計相對比較接近。例如，當(dāng)a=1，n=20 時，比率 RE=0.344，但當(dāng) a=1，n=50、100 時，比率RE逐步增加，分別為0.701和0.891。綜上，在LINEX損失下，本文提出的貝葉斯估計相對優(yōu)于已有的最小二乘估計。

五、結(jié)語

本文提出了基于LINEX損失函數(shù)的區(qū)間回歸系數(shù)的貝葉斯估計。主要研究包括：（1）推導(dǎo)區(qū)間數(shù)據(jù)回歸系數(shù)的后驗邊緣分布；（2）利用蒙特卡洛方法求解基于LINEX損失的回歸系數(shù)估計值；（3）比較該估計與現(xiàn)有最小二乘估計的風(fēng)險測度。模擬研究表明，本文提出的貝葉斯估計在LINEX風(fēng)險測度下明顯優(yōu)于最小二乘估計。