江愛柳

（福建省南平市政和縣南門小學(xué)，福建南平 353600）

引 言

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。” 著名數(shù)學(xué)家華羅庚用上面這首詩準(zhǔn)確地表述了“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)中的重要作用。學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，可以將抽象的問題直觀地展現(xiàn)出來，從而分析數(shù)量關(guān)系，快速解決問題。下面筆者根據(jù)多年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中巧用數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。

一、以形助數(shù)，直觀抽象

（一）有利于把握概念本質(zhì)

對(duì)具體物體的計(jì)量就是“數(shù)”，而從數(shù)的概念到數(shù)的運(yùn)算，整個(gè)過程都蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想。教材運(yùn)用直觀的圖形表達(dá)抽象的知識(shí)，幫助學(xué)生理解抽象的概念，就是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。

例如，在教學(xué)“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師可以利用幾何模型表示計(jì)數(shù)單位及“十進(jìn)制關(guān)系”，即用一個(gè)正方體表示1，那么十個(gè)正方體就是10。運(yùn)用上述方法，學(xué)生可以更快地認(rèn)識(shí)“百”“千”“萬”這些計(jì)數(shù)單位。利用這樣的教學(xué)方式來講授本節(jié)課的知識(shí)，將抽象的問題直觀化、復(fù)雜的問題簡單化，就是數(shù)形結(jié)合的思想。這種思想與小學(xué)生直觀的思維特點(diǎn)相符，可以幫助學(xué)生更好地理解本節(jié)課的知識(shí)，有利于教師突破教學(xué)難點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合的策略能夠幫助小學(xué)生扎實(shí)地記憶數(shù)學(xué)知識(shí)。

（二）有利于化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，還是一種有效的學(xué)習(xí)方法。小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到各種各樣的困難，利用數(shù)形結(jié)合思想，通過轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系與空間關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的深入分析，從而發(fā)現(xiàn)隱含條件，挖掘問題本質(zhì)，繼而解決問題。數(shù)形結(jié)合的過程是化難為易的過程。

例如，在“派對(duì)問題”的教學(xué)中，教師可以通過畫圖的方式，幫助學(xué)生理清思路。教師先提出問題：一年級(jí)學(xué)生在操場上排成10 行、6 列，準(zhǔn)備參加入隊(duì)儀式，小林站在從左邊數(shù)第3 行第4 列，同他一列后面的學(xué)生有幾人？這個(gè)問題對(duì)于一年級(jí)學(xué)生來說是有一定難度的。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平時(shí)站隊(duì)的經(jīng)驗(yàn)，畫出隊(duì)列簡圖。畫圖將問題直觀化，學(xué)生可以一眼看出具體的行列、位置，進(jìn)而快速理解題意并解答問題，即10-4=6（人）。數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生解決問題的效率和準(zhǔn)確性大大提高。

（三）有利于理解數(shù)量關(guān)系

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，使學(xué)生能把復(fù)雜的問題簡單化，把抽象的問題直觀化，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要方法。數(shù)形結(jié)合使抽象化的數(shù)量關(guān)系形象化，為學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系和解決問題架起了一座橋梁。數(shù)形結(jié)合能很好地幫助學(xué)生厘清數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)而明晰解題思路，找到有效的解題方法。

例題：第十屆動(dòng)物車展，第一天汽車成交50 輛，第二天成交量比第一天增加了，第二天的成交量是多少？

在面對(duì)這種復(fù)雜關(guān)系的應(yīng)用題時(shí)，小學(xué)生很難直接列出算式。這時(shí)，教師可以讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法，用直觀圖將題目中的數(shù)學(xué)信息表示出來（如圖1）：可以先畫一條線段表示第一天成交的50 輛，并將這條線段平均分成5 份；然后畫第二條線段表示第二天的成交量，因?yàn)榈诙斐山涣勘鹊谝惶煸黾恿?，所以第二條線段要比第一條線段多畫一份。這樣，學(xué)生就能很直觀地找到數(shù)量關(guān)系：第一天的成交量+第一天的成交量的=第二天的成交量。最后，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出算式：50+50×=60（輛），從而順利解決計(jì)算第二天成交量的問題。

（四）有利于探索數(shù)學(xué)規(guī)律

學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，不僅要接受知識(shí)、累積知識(shí)，還要探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。作為一種基本思維方法，數(shù)形結(jié)合可以幫助小學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用直觀的數(shù)學(xué)模型來描述問題，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生的形象思維和抽象思維的目的。

例如，在教學(xué)計(jì)算題“1+3+5+7+…+99=（ ）”時(shí)，教師可以從兩個(gè)教學(xué)梯度進(jìn)行設(shè)計(jì)。第一梯度，讓學(xué)生嘗試獨(dú)立解答。大部分學(xué)生會(huì)依據(jù)等差數(shù)列求和的計(jì)算方法進(jìn)行解題。第二梯度，引導(dǎo)學(xué)生畫正方形點(diǎn)陣圖表示題意（如圖2），看圖尋找點(diǎn)陣圖與算式之間的聯(lián)系。這樣，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)“按照數(shù)字排列的點(diǎn)陣剛好圍成正方形，加法算式的和就是正方形的面積”這一規(guī)律，因而得出1+3+5+7+…+99=50×50=2500。以此類推，等差數(shù)列計(jì)算方法：1+3+5+7+…+n=[(1+n)÷2]2。

圖2

二、以數(shù)解形，拓展思維

“形”的特點(diǎn)是直觀化、形象化，其與小學(xué)生直觀的思維方式相符，可以幫助小學(xué)生解決很多數(shù)學(xué)難題[1]。但是，“形”也存在并不便于表達(dá)的劣勢。簡潔的數(shù)字描述、形象化的模型可以有效表達(dá)“形”的特點(diǎn)，因而教師可以借助以數(shù)解形的方法，加深學(xué)生對(duì)內(nèi)在規(guī)律的探究，幫助學(xué)生找到解決問題的最佳方法。這種方法在幾何圖形性質(zhì)的判斷方面非常適用。

例如，用一根長為20cm 的鐵絲分別圍成不同形狀的長方形，什么時(shí)候面積最大？（長和寬都是整數(shù)）

要解決這道題，單憑直觀畫圖是很難判斷的，需要通過具體計(jì)算進(jìn)行比較。首先計(jì)算長方形的長與寬的和：20÷2=10（cm），接下來列表呈現(xiàn)所有長和寬都是整數(shù)的情況（見表1）。

表1

在周長相等的情況下，面積最大時(shí)的長方形是長和寬都是5cm 的長方形，也就是邊長為5cm 的正方形，其面積是25cm2；其次是長6cm、寬4cm 的長方形，面積為24cm2；面積最小的是長9cm、寬1cm 的長方形，面積為9cm2。通過計(jì)算列表比較，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：周長相同的鐵絲，圍出不同形狀的長方形，長和寬越接近面積越大，其中正方形面積最大。學(xué)生通過“數(shù)”的研究，對(duì)周長和面積之間“形”的聯(lián)系有了更加理性和深入的認(rèn)識(shí)，拓展了思維。

三、數(shù)形結(jié)合，加深理解

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)生很好地分析問題，把復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題直觀化，大大地節(jié)省了學(xué)生的審題時(shí)間。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”一課時(shí)，教師發(fā)現(xiàn)有一部分學(xué)生在應(yīng)用乘法分配律解題時(shí)總是出錯(cuò)，其原因主要是學(xué)生對(duì)乘法分配律的算理理解不到位。乘法分配律這一部分的知識(shí)對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求較高,因而學(xué)生學(xué)起來有困難。如何突破這個(gè)難點(diǎn)呢？傳統(tǒng)的教學(xué)方法是讓學(xué)生做大量的練習(xí)，用“題海戰(zhàn)術(shù)”彌補(bǔ)理解的不足。可是這治標(biāo)不治本，學(xué)生還是不理解。筆者嘗試在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，借助長方形組合圖形的面積計(jì)算，幫助學(xué)生理解乘法分配律的算理。

結(jié) 語

總之，教師要做教學(xué)的有心人，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，把數(shù)形結(jié)合思想落到實(shí)處。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，把抽象的解題思路形象化，讓學(xué)生由怕數(shù)學(xué)變成愛數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂變得更加靈動(dòng)。