鄧 艾 張海深

（湖北省武漢市吳家山中學(xué)，湖北 武漢 430040）

1 引言

高中階段在學(xué)習(xí)靜電場章節(jié)時(shí)，經(jīng)常會遇到已知特殊幾個(gè)位置的電勢求勻強(qiáng)電場的大小與方向的題.求解勻強(qiáng)電場的過程滲透學(xué)生對U=E d公式的理解與應(yīng)用，式中d是指沿電場線方向的距離，U是指電勢差.由此可見計(jì)算距離d過程往往伴隨位置關(guān)系的幾何分析.電勢差的分析蘊(yùn)含對電場基本性質(zhì)的認(rèn)識，在有些情況下電勢差的計(jì)算往往還伴隨電勢能與其他能量轉(zhuǎn)化.這類問題一方面考查學(xué)生對電場本質(zhì)的認(rèn)識，需建構(gòu)準(zhǔn)確的完整的自然圖景；另一方面考查學(xué)生在處理場類問題時(shí)應(yīng)建構(gòu)正確的能量觀與相互作用觀，同時(shí)應(yīng)具備一定的模型建構(gòu)能力，科學(xué)推理能力.下面我們以一些典型例題詳細(xì)說明具體的解題思路與技巧.

2 電勢與電場強(qiáng)度

2.1 二維平面內(nèi)電場強(qiáng)度求解

例1.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢為0V，點(diǎn)A處的電勢為6V，點(diǎn)B處的電勢為3V，求勻強(qiáng)電場大小和方向.

圖1

方法1：等勢點(diǎn)法.取O A中點(diǎn)C，則C點(diǎn)電勢為3V，則B C作為等勢線，電場線垂直于B C線段，根據(jù)公式可求出場強(qiáng)E=200V/m；方向與x軸正方向成120°斜向左下方.

方法2：矢量分解法.x方向電場Ex=100V/m，y方向電場合成的勻強(qiáng)電場滿足方向同上.

2.2 三維平面內(nèi)電場強(qiáng)度求解

例2.如圖2所示，空間中存在著勻強(qiáng)電場，長方體ABCD-A1B1C1D1中ADD1A1是邊長為1m的正方形，棱AB長2m，E、F為棱AB、CD的中點(diǎn)，E1、F1為棱A1B1、C1D1的中點(diǎn).已知電勢φA1=0，φA=2 V，φE=4V，φB=6V，φC=8V.求勻強(qiáng)電場大小和方向.

圖2

通過以上2個(gè)例題介紹了求解勻強(qiáng)電場的基本方法.可以發(fā)現(xiàn)：在二維平面模型中，利用等勢點(diǎn)法與矢量分解的方法都可以很好地解決電場強(qiáng)度的求解.相比之下等勢點(diǎn)法更快，這種方法也更容易被學(xué)生理解.但是三維立體空間中，等勢點(diǎn)法在計(jì)算距離d時(shí)對學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力提出較高的要求.因此當(dāng)勻強(qiáng)電場在三維空間內(nèi)分布但是方向不明的情況下，利用矢量分解的思想可以將三維空間問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相互正交方向上的一維問題的處理，有效降低思維的難度，因而這種情況下矢量分解的思想比等勢點(diǎn)法更有效.

2.3 二維圓平面內(nèi)電場強(qiáng)度求解

例3.如圖3所示，a、b、c、d是圓O上的4點(diǎn)，AB=5c m，c d=8c m，∠b a c=60°，勻強(qiáng)電場的方向與圓所在平面平行，已知a、b、d3點(diǎn)電勢分別為φa=46 V、φb=21V、φd=10V，求該勻強(qiáng)電場.

圖3

方法1：求解勻強(qiáng)電場常見的基本思路是尋找等電勢點(diǎn)，再利用公式U=Ed進(jìn)行計(jì)算.本題也可以充分利用圓平面內(nèi)利用現(xiàn)有邊長關(guān)系與電勢數(shù)值，構(gòu)建出等電勢點(diǎn).

線段a d上總的電勢差為36V，按照比例進(jìn)行六等份，每等份的電勢差為6V，因此圖4中φe=16V；線段AB上總的電勢差為25V，按照比例進(jìn)行5等份，每等份的電勢差為5 V，因此圖2中φf=16V；可以發(fā)現(xiàn)e，f兩點(diǎn)電勢相等.線段a e=5c m，線段a f=6c m，∠d a c=53°，∠c a b=60°，可以發(fā)現(xiàn)a e×cos 53°=a f×cos 60°，因此e f⊥a e；電場的方向沿a c方向；電場強(qiáng)度大小滿足E=代入數(shù)據(jù)得E=10V/c m.

圖4

方法2：假設(shè)c點(diǎn)的電勢為φ，以da，dc為基底表示出的電場強(qiáng)度滿足以ba，bc為基底表示出的電場強(qiáng)度滿足E=-5m+兩種情況下場強(qiáng)E的大小相等，故62+解得φ=-54V，E=10V/c m，方向沿a c方向.

方法3：根據(jù)勻強(qiáng)電場在圓平面內(nèi)的特點(diǎn)，b的等勢點(diǎn)一定在a為圓心，以AB長度為半徑的圓上.據(jù)此我們畫出這個(gè)圓，與題設(shè)給定圓的交點(diǎn)為e，如圖5所示.同時(shí)結(jié)合φa=46V、φd=10V，可判斷圓弧AB上一定存在電勢為21V的點(diǎn)，即兩圓的交點(diǎn)e.進(jìn)一步分析可知：場強(qiáng)沿ac方向.

圖5

總結(jié)：例3運(yùn)用3種方法求解電場強(qiáng)度.其中方法1解題的策略是突破圓的限制，整合邊長和電勢的數(shù)量關(guān)系，創(chuàng)設(shè)等勢點(diǎn)尋找電場強(qiáng)度；方法2是利用電場矢量沿不同方向進(jìn)行分解的思想，直接建立關(guān)于c點(diǎn)電勢的方程；方法3基于平面內(nèi)的勻強(qiáng)電場中，任意兩個(gè)等勢點(diǎn)應(yīng)滿足的特點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析.

以上3道例題中，基于線，面，體3種模型和具體實(shí)例詳細(xì)闡述了求解勻強(qiáng)電場的基本方法與特殊技巧.這類題目解題的關(guān)鍵在于：分析問題情境，充分挖掘題目中幾何位置關(guān)系和特殊點(diǎn)的電勢值，需要學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題.以例3中創(chuàng)設(shè)的圓邊界為例，電場強(qiáng)度的求解既可以突破圓邊界的限制，構(gòu)建等勢點(diǎn)；也可以靈活利用圓形邊界上以直徑兩端為頂點(diǎn)的三角形的特殊性，充分利用隱含的直角坐標(biāo)軸建立相關(guān)方程；也可以從平面內(nèi)勻強(qiáng)電場的特殊性進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析與處理.

在上述例題中，主要基本電勢差與電場強(qiáng)度的基本概念與公式的運(yùn)用進(jìn)行詳細(xì)的探討與分析.這些問題主要考查利用公式與具體的問題情境進(jìn)行科學(xué)推理能力與模型建構(gòu)能力.下文我們進(jìn)一步以圓形邊界為依托，分析粒子在電場力作用下根據(jù)能量轉(zhuǎn)化信息求電場強(qiáng)度的基本思想與方法.

3 電勢能與電場強(qiáng)度

3.1 復(fù)合場與等勢線

例4.如圖6所示，勻強(qiáng)電場中有一半徑為R的圓形區(qū)域，勻強(qiáng)電場方向平行于圓所在平面（圖中未畫出），圓形區(qū)域處在豎直平面內(nèi)，圓周上有8個(gè)點(diǎn)等間距排列.一重力不可忽略的帶正電小球從A點(diǎn)以相同的初動(dòng)能在該平面內(nèi)拋出，拋出方向不同時(shí)，小球會經(jīng)過圓周上不同的點(diǎn)，在這些所有的點(diǎn)中，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大.已知小球質(zhì)量為m，電荷量為q，重力加速度為g，求電場強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件.

圖6

在勻強(qiáng)電場中，如圖7所示，若勻強(qiáng)電場的方向水平向右，則與電場垂直的線a、b、c稱為等勢線.若帶電粒子在僅受電場力作用下運(yùn)動(dòng)，則粒子能量在相互轉(zhuǎn)化過程中保持動(dòng)能與電勢能之和不變，意即粒子運(yùn)動(dòng)至同一等勢線上的動(dòng)能均相同.

圖7

本題基本思想是將恒定的重力場與恒定的電場等效為一個(gè)復(fù)合場，復(fù)合場具有一個(gè)確定的方向，與復(fù)合場垂直的方向我們?nèi)匀豢梢远x為等勢線.粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能與勢能相互轉(zhuǎn)化.小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)動(dòng)能最大，說明D點(diǎn)是圓平面上唯一一個(gè)勢能最小的位置，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可知：等勢線與圓在D點(diǎn)的切線重合，復(fù)合場中等效場強(qiáng)的方向：沿過D點(diǎn)的半徑O D方向.如圖8所示，作出與O D垂直一系列等勢線，等勢線L2與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，說明粒子從圓上這兩個(gè)點(diǎn)出射時(shí)勢能相同，動(dòng)能相同；從功能關(guān)系的角度分析，沿場強(qiáng)方向的位移一樣，合力做功一樣，動(dòng)能一樣.

圖8

解析：電場與重力場的合場強(qiáng)方向沿O D方向，因重力與電場的大小不確定，因此勻強(qiáng)電場的大小和方向不確定.但是根據(jù)矢量合成遵從的平行四邊形法則，可以找出最小的勻強(qiáng)電場的大小與方向.

針對部分學(xué)生可能出現(xiàn)的思維誤區(qū)：既然從A點(diǎn)出發(fā)，到D點(diǎn)動(dòng)能最大，為什么復(fù)合場中合力方向不能沿AD方向？我們據(jù)此作出相關(guān)的幾何圖.假設(shè)復(fù)合場沿AD方向，則與AD垂直的D E方向?yàn)榈葎菥€，如圖中標(biāo)出的L1，可以看到等勢線L1順著圓往右下側(cè)移動(dòng)，如圖9中L2，顯然L2勢能更小，出射出去的動(dòng)能更大.從等勢線的變化趨勢來看，最低的等勢線應(yīng)與圓相切.出現(xiàn)上述思維誤區(qū)的原因是：對有一定初始速度的粒子在復(fù)合場中做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)力學(xué)過程和功能關(guān)系認(rèn)識不全面.但是本題中如果改變初始條件即粒子從A點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，則可以認(rèn)為合力沿AD方向.

圖9

實(shí)際上將粒子運(yùn)動(dòng)與電場力、能量問題、圓邊界聯(lián)系的問題早在2020年全國Ⅰ卷的壓軸題中就曾經(jīng)出現(xiàn).我們以此為例再來體會一下在圓邊界中，創(chuàng)設(shè)不同的初始條件，從不同角度設(shè)置問題情境導(dǎo)致解決問題的差異性與相似性.

3.2 回顧高考題與改編高考題

例5.在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場，柱的橫截面積是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖10所示.質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場，速度方向與電場的方向垂直.已知?jiǎng)傔M(jìn)入電場時(shí)速度為0的粒子，自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場，A C與AB的夾角θ=60°.運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場力作用.

圖10

（1）求電場強(qiáng)度的大??；

（2）為使粒子穿過電場后的動(dòng)能增量最大，該粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度應(yīng)為多大？

第（2）問解析：根據(jù)第（1）問勻強(qiáng)電場沿A C方向，與A C垂直的方向即B C方向等勢線，作出一系列平行的線段即為等勢線，可以發(fā)現(xiàn)最低等勢線處于與圓相切的D點(diǎn).根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒，粒子到達(dá)D點(diǎn)的速度最大.

圖11

總結(jié)：在上述例4與例5中我們著重從等勢線的角度，快速分析如何尋找粒子從圓邊界中射出時(shí)最大動(dòng)能點(diǎn)位置.這類問題往往涉及大量粒子源，給定初始動(dòng)能，但是具體速度方向不確定，或者大量粒子源的速度方向確定，但是速度大小不確定的情況下，分析動(dòng)能與電勢能轉(zhuǎn)化過程中的最值問題.

整合以上問題，我們可以對上述高考題進(jìn)行改編，從不同角度與層面強(qiáng)化對問題的理解與認(rèn)識.

試題改編：假設(shè)粒子進(jìn)入電場時(shí)速度方向在圓平面內(nèi)沿各個(gè)方向，但是粒子速度大小確定.

（1）若所有粒子能射出圓邊界，求入射粒子速度應(yīng)滿足條件.

（2）若粒子射出圓邊界時(shí)與初動(dòng)能相同，求滿足條件的入射粒子最小動(dòng)能多大？

根據(jù)上述作出的等勢線，可知粒子出圓邊界的速度不變，則粒子運(yùn)動(dòng)的合位移一定沿過A點(diǎn)的等勢線，如圖12.根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解粒子速度平方滿足根據(jù)數(shù)學(xué)中不等式知識：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)具有最小動(dòng)能

圖12

3 結(jié)束語

圍繞靜電場中勻強(qiáng)電場的求解，我們從基本方法的梳理到特殊技巧與方法的運(yùn)用.結(jié)合具體問題的探討，以圓邊界為例，從基本公式的運(yùn)用到與電場有關(guān)能量問題的分析，較為系統(tǒng)地總結(jié)相關(guān)的解題技巧.這些例題能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生形成電場的物質(zhì)觀、運(yùn)動(dòng)觀、相互作用觀和能量觀.不同問題情境的創(chuàng)設(shè)能有效提升學(xué)生模型建構(gòu)、科學(xué)推理、綜合分析、質(zhì)疑創(chuàng)新的科學(xué)思維.［1］