陳衍訸 張 旭

（1.柳州高級中學(xué)，廣西 柳州 545001；2.柳州市第二中學(xué)，廣西 柳州 545616）

例題.（2019年湖北武漢高三調(diào)研）如圖1所示，將完全相同的兩個小球1、2分別從同一高度由靜止釋放，其中圖1（甲）是一傾角為45°的光滑斜面，圖1（乙）為光滑圓弧，不計空氣阻力，則下列對四種情況下相關(guān)物理量的比較，正確的是

圖1

（A）落地時間t1=t2.

（B）全程重力做功W1＞W(wǎng)2.

（C）落地瞬間重力的功率P1=P2.

1 試題引起的討論

該題是2019年湖北武漢高三調(diào)研的試題，答案毋庸置疑為（D）選項，但是學(xué)生答題后普遍對（A）選項中兩球下滑時間長短的比較產(chǎn)生濃厚興趣.

學(xué)生在分析該問題時給出如下的解答：“由動能定理可知，兩小球從初始位置到水平面上同一高度處速度大小總相等，但沿圓弧運動的小球路程更長，因此t1＜t2.”

這是一種常見的誤解，實質(zhì)上運用了微元法，如圖2所示，認為在同一個Δh內(nèi)速率v相等，而每一個Δh都有對應(yīng)的斜面下滑的直線距離小于對應(yīng)的圓弧下滑的弧長距離.但是，通過作圖分析，顯然在下滑距離較短時AB＞A′B′，而在下滑距離較長時有C D＜C′D′，并不是每一段直線長都小于對應(yīng)弧長的.導(dǎo)致這一誤解的主要原因是部分學(xué)生在看到直線路程小于圓弧路程這個信息時，沒能深入分析該物理過程中細致的對應(yīng)關(guān)系，而是僅憑直覺就認為“路程大的運動時間一定長”，從而步入了誤區(qū).

圖2

因此，以上的解答是存在明顯瑕疵并不嚴謹?shù)?，現(xiàn)假設(shè)圖甲中下滑時間為t1，圖乙中下滑時間為t2，筆者在此給出相關(guān)問題的嚴格證明.

2 用初等數(shù)學(xué)知識求解

圖3

情形1：沿直線A B′下滑的小球，

在如圖3所示的Rt△CDF由∠ECD接近于直角，則在△ECD中有代入得Δθ.則對應(yīng)時間為

情形2：對沿弧面AB下滑的小球，mgRsinθ=解得則對應(yīng)時間為

該方法雖然不涉及高等數(shù)學(xué)知識，但是巧作等時圓，將不易計算的沿斜面下滑時間轉(zhuǎn)為求解沿豎直方向自由落體的時間，化繁為簡.

3 用微積分求解

情形1：對沿直線AB下滑的小球：，解得

情形2：對沿圓弧AB下滑的小球，下滑到任意位置P時，有

圖4

機械能守恒：m g Rsinθ=

左邊是一個橢圓積分，沒有解析解，可以查表也可以用計算機數(shù)值計算.這里用MAT L A B軟件計算數(shù)值解.解得

通過計算機模擬出數(shù)值解解出t1、t2的具體值，從而比較兩種情況下的時間長短，結(jié)果顯示t1＞t2，結(jié)果同上.