韓英豪, 傅 雪, 周雪瑩, 李 錚

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

海洋和大氣的大尺度動力學(xué)方程是由Navier-Stokes方程導(dǎo)出的一個偏微分方程組,是熱力學(xué)和鹽度擴(kuò)散輸運(yùn)方程耦合而成的.該方程組考慮了Boussinesq逼近下的浮力和分層效應(yīng).由于海洋和大氣的低矮性,即流體層的深度與地球半徑相比非常小,海洋的垂直方向流動比大氣水平方向的流動小得多,因而通過流體靜力平衡來模擬垂直運(yùn)動可得到如下大尺度海洋和大氣動力學(xué)的原始方程組[1-5]：

(1)

方程組的定義域?yàn)棣?M×(-h,0),其中,M是以?M為光滑邊界的2中的一個有界區(qū)域,h為給定正常數(shù).該方程組以三維速度場(v1,v2,w),v=(v1,v2),溫度T和壓強(qiáng)p作為未知函數(shù).是3中的垂直單位矢量,f=f0+βy為Coriolis常數(shù),R0是與地球自轉(zhuǎn)對海洋動力行為的影響相關(guān)聯(lián)的Rossby常數(shù),Q(x,y,z,t)是給定的熱源函數(shù).在方程組中黏度算子L1和熱擴(kuò)散算子L2的定義分別為

和

1 準(zhǔn)備工作

用Γu,Γb和Γl分別表示Ω的上邊界、下邊界和側(cè)邊界,即:

對方程組(1)施加如下邊界條件:

(2)

并初始條件為

(3)

下面證明上述方程所產(chǎn)生的動力過程{U(t,τ)}t≥τ在函數(shù)空間(H2(Ω))3∩V中的拉回指數(shù)吸引子的存在性.其中,空間V的定義如下.令

(4)

定義在H1上的線性無界算子A1和在L2(Ω)上的線性無界算子A2:

(5)

那么,對任意v1,v2∈V1,T1,T2∈V2,w∈H1,有

對任意u,v∈((H2(Ω))2∩V1),w∈H1, 定義雙線性算子B1(u,v):((H2(Ω))2∩V1)×((H2(Ω))2∩V1)→H1,使得

對任意χ∈((H2(Ω))2∩V1),φ∈(H2(Ω)∩V2),ζ∈L2(Ω),定義雙線性算子

B2(w,φ):((H2(Ω))2∩V1)×(H2(Ω)∩V2)→L2(Ω),

使得,

那么方程組(1)～方程組(3)可以寫成如下簡約形式:

(6)

其邊界條件為

(7)

初始條件為

(8)

因而,在V中可定義連續(xù)過程{U(t,τ):τ≤t}:

U(t,τ)(vτ,Tτ)=(v(t),T(t)):=(v(t;τ,(vτ,Tτ)),T(t;τ,(vτ,Tτ))).

對于?t<τ,滿足

(i)U(τ,τ)=IdV(V上的恒等映射)；

(ii)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ).

定理2[6]對任意T0∈,如果那么,對于t≤T0,非自治動力過程{U(t,τ):t≥τ}在V上擁有一個有界拉回吸收集其直徑僅依賴于方程組的系數(shù)h,δ,α,Rt1,Rt2,Re1和Re2的大小.因而, 當(dāng)時,非自治動力過程{U(t,τ):t≥τ}在V上擁有一致有界拉回吸收集其拉回吸收時間僅依賴于有界集合B的直徑以及t-τ的大小.

2 拉回指數(shù)吸引子的存在性

(i){U(t,τ)}在X中存在一致有界吸收集

U(t,t-τ)B?B(t), ?τ≥τ0.

(ii)存在0<δ<1,0<θ<1-δ,T1>0,有限維子空間X1?X,對于任意u,u1,u2∈D和t∈,有

‖U(t,τ)u1-U(t,τ)u2‖≤l‖u1-u2‖,l>0,?t,τ∈[kT1,(k+1)T1], ?k∈,

(9)

‖(I-Pm)(U(t,t-T1)u1-U(t,t-T1)u2)‖≤δ‖u1-u2‖,

(10)

(11)

其中，δ的值不依賴于t的值,Pm:X→X1是一個有界投影,m是X1的維數(shù).

(12)

對方程(12)的兩端與L1w做內(nèi)積,得到

(13)

把式(13)整理,得到

(14)

(15)

利用Gronwall引理,從式(15)得到

‖w(t)‖2≤‖w(τ)‖2ec(t-τ).

令w=w1+w2,其中，w1是w在PH內(nèi)的投影,將方程式(12)兩側(cè)與L1w2做內(nèi)積,可得

(16)

利用Young不等式,將等式(16)整理得到

通過使用Poincaré不等式:λn‖w2‖2≤‖L1w2‖2,從上式得到

(17)

利用Gronwall引理,從式(17)得到

進(jìn)一步整理上式,得到

當(dāng)λn的值充分大時,即可得式(10).

令Hm=span((w1,η1),(w2,η2),…,(wm,ηm)),Pm:H→Hm是L2(Ω)在Hm上的正交投影.設(shè)

(v(t),T(t))=U(t,τ-s)(vτ,Tτ)=(v1+v2,T1+T2),

其中，有(v1,T1)=Pm(v,T),(v2,T2)=(I-Pm)(v,T).

將方程組(1)中的第一個等式兩端與L1v2做內(nèi)積,得到

利用Young不等式,從上式得到

進(jìn)而得到

(18)

其中,

因此,當(dāng)m充分大時,從式(18)中得到

同理,對任意ε>0,t∈,τ≤τ2-1,當(dāng)m充分大時,有總之,對任意ε>0,t∈,τ≤τ2-2,當(dāng)m充分大時,有‖v2(t)‖2+‖T2(t)‖2≤ε.綜上所述,對任意ε>0,t∈,τ≤τ2-2,當(dāng)m充分大時,即有

這就證明了式(11).證畢.