姚向明，趙 鵬，喬 珂，張文凱

(1.北京交通大學(xué) 交通運輸學(xué)院， 北京 100044；2.北京交通大學(xué) 北京市城市交通信息智能感知與服務(wù)工程技術(shù)研究中心， 北京 100044；3.北京交通大學(xué) 國家軌道交通技術(shù)教育與服務(wù)中心， 北京 100044)

軌道交通旺盛的客流需求與有限運輸能力間矛盾日益突出，導(dǎo)致客流擁擠嚴(yán)峻、踩踏風(fēng)險高。為保障運營安全，客流控制(限流)已成為當(dāng)前運營企業(yè)廣泛采取的措施?？土骺刂剖侵笧楸Ｕ峡瓦\組織安全而限制乘客進(jìn)站或換乘的客流組織措施，以減少單位時間內(nèi)客流量[1]。根據(jù)擁擠場景可分為高峰常態(tài)控制及偶發(fā)大客流下的臨時控制，本文針對工作日高峰常態(tài)客流控制問題展開。運營實踐中為方便乘客提前制定出行計劃以及部署限流設(shè)施，控制方案需提前告知公眾并在一定時期內(nèi)保持穩(wěn)定，這就要求控制方案具備良好的可靠性，能夠應(yīng)對一定時期內(nèi)客流常態(tài)化波動誘發(fā)的潛在風(fēng)險。客流是方案編制的關(guān)鍵輸入，既有研究普遍認(rèn)為軌道交通高峰客流具有良好穩(wěn)定性。然而，該穩(wěn)定性隨著時空維度的細(xì)化而快速下降[2]?？土鬏斎敕€(wěn)定性下降勢必影響方案的可靠性，該問題在既有研究中往往被忽視。

客流控制方案包含控制車站、控制時段、控制強(qiáng)度3項基本要素。既有方案編制方法主要包含兩大類：①數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，如趙鵬等[3]以乘客延誤時長最小化和客運周轉(zhuǎn)量最大化為目標(biāo)，針對線路層多站協(xié)同客流控制問題建立線性規(guī)劃模型；姚向明等[1]進(jìn)一步結(jié)合路網(wǎng)客流分配模型，從網(wǎng)絡(luò)層面建立了協(xié)同控制數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；魯工圓等[4]建立了客流-運行圖網(wǎng)絡(luò)模型，用以描述旅客在時間和空間上的移動過程，精細(xì)化地刻畫了路網(wǎng)客流分布狀態(tài)，建立線路層客流控制整數(shù)線性規(guī)劃模型；石俊剛等[5]以客流聚集預(yù)警值最小為目標(biāo)，提出了以安全為導(dǎo)向的高峰時段多車站客流協(xié)同控制模型。數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的優(yōu)點在于理論解析性強(qiáng)，但在求解效率及實用性方面存在不足。②啟發(fā)式控制策略，如劉蓮花等[6]提出網(wǎng)絡(luò)-線路-車站三級控制模式，并以關(guān)鍵客流壓力站為依據(jù)設(shè)計規(guī)則來推算限流站及限流強(qiáng)度；劉曉華等[7]根據(jù)流量守恒關(guān)系提出通過運力預(yù)留來緩解關(guān)鍵站點客流壓力，實現(xiàn)多站聯(lián)合控制；為解決超大規(guī)模路網(wǎng)下的限流方案編制復(fù)雜性問題，Zou等[8]提出一種基于區(qū)間能力瓶頸疏解的反饋式構(gòu)造算法，并開發(fā)出實用化的限流方案編制系統(tǒng)。啟發(fā)式控制策略具有物理含義明晰、計算簡便、實用性高的優(yōu)勢，實踐中被廣泛應(yīng)用。此外，部分學(xué)者嘗試新方法來應(yīng)對擁擠問題，如曾璐等[9]從系統(tǒng)可控性視角提出新的客流控制方法；李佳杰等[10]針對換乘站大客流問題提出時刻表調(diào)整與限流的組合應(yīng)對策略；楊陶源等[11]針對列車運行延誤場景下的客流疏解問題，提出列車跳站與客流控制的雙層優(yōu)化模型。然而，既有研究均假定客流需求已知且固定，忽視了客流波動導(dǎo)致的模型輸入?yún)?shù)不確定這一問題。無論是數(shù)學(xué)優(yōu)化模型還是啟發(fā)式控制策略，客流均是方案編制的關(guān)鍵輸入，其不確定性勢必影響方案的可靠性。

本文結(jié)合魯棒優(yōu)化思想研究軌道交通高峰常態(tài)客流控制方案編制問題，以期解決客流波動導(dǎo)致方案可靠性下降這一問題。首先，分析進(jìn)站流及路網(wǎng)OD流的波動特征，闡明客流波動對方案編制的影響；其次，以確定型客流控制模型為基礎(chǔ)，分析客流輸入不確定對模型約束的影響，建立考慮客流不確定性的約束“保護(hù)”機(jī)制，構(gòu)建客流控制方案編制魯棒優(yōu)化模型。最后，實例驗證所提出方法的有效性與準(zhǔn)確性。

1 高峰客流常態(tài)波動特征

本文客流波動指乘客出行行為隨機(jī)導(dǎo)致的常態(tài)波動，不考慮行車擾動、突發(fā)大客流等非常態(tài)運營場景。選取北京地鐵連續(xù)2月的售檢票記錄(AFC)為數(shù)據(jù)源，分析工作日高峰客流的波動特征(限流主要在工作日高峰時段實施)。按照5、10、15、30、60 min的時間粒度統(tǒng)計客流，對不同時間粒度下客流波動特征進(jìn)行分析。進(jìn)站量及客流起訖量(OD)是方案編制時的關(guān)鍵輸入，為此重點對這兩類客流分析。

利用相對偏差來度量波動程度，車站進(jìn)站量相對偏差Em(t)為

(1)

天通苑站(隨機(jī)選取)在5 min粒度下的進(jìn)站量波動情況見圖1，該站在不同時間粒度下的進(jìn)站量波動情況見圖2?？梢钥闯觯孩龠M(jìn)站量波動較為明顯，日均波動為13.84%；②相比平峰時段，高峰時段波動明顯降低，這與客流成分密切相關(guān)，高峰平均偏差約為6.81%，平峰平均偏差約為16.26%；③隨著時間粒度增大，進(jìn)站流波動性呈明顯下降趨勢；④當(dāng)時間粒度為15 min時(既有研究中常采用的時段長度)，高峰進(jìn)站流波動約為3.15%。

圖1 5 min粒度下進(jìn)站量相對偏差

圖2 不同時間粒度下進(jìn)站量平均偏差

(2)

車站分流率與OD矩陣內(nèi)涵一致，均刻畫了客流的空間分布結(jié)構(gòu)。同樣采用相對偏差來度量分流率的波動性，采用從該站出發(fā)的全部客流OD的波動加權(quán)之和表示，表達(dá)式與前述近似，不再贅述。

5 min粒度下天通苑站分流率相對偏差見圖3，其在不同時間粒度下的分流率平均偏差見圖4?？梢钥闯觯孩傧啾冗M(jìn)站流，車站分流率波動十分明顯，5 min粒度下日均偏差高達(dá)72.6%，可推測編制精細(xì)化限流方案時(如控制時間粒度細(xì)化至5 min)，此時歷史客流信息已無參考價值，所構(gòu)造方案可信度很低。②隨著時間粒度增大，車站分流率波動逐漸減小，15 min粒度下高峰平均波動達(dá)24.7%。對比進(jìn)站流與OD流的波動特性，認(rèn)為對OD流波動的有效處理是構(gòu)建魯棒性控制方案的關(guān)鍵。

圖3 5 min粒度下天通苑站分流率相對偏差

圖4 不同時間粒度下車站分流率平均偏差

以15 min為典型時間粒度，對1個月內(nèi)連續(xù)22個工作日的路網(wǎng)高峰客流的平均偏差進(jìn)行分析。車站進(jìn)站流及OD流的平均偏差分別見圖5、圖6?？梢钥闯觯孩傧啾冗M(jìn)站流波動，OD流波動始終處于高位，即便在15 min粒度下，波動偏差仍在20%以上，月均為23.7%；②通過與上周歷史同期、前日客流對比，發(fā)現(xiàn)進(jìn)站流、OD流的波動呈現(xiàn)無規(guī)律性。因此，可認(rèn)為軌道交通高峰客流具有日變常態(tài)化波動特征，波動根源在于乘客出行行為的隨機(jī)性，該類波動屬于正?，F(xiàn)象，是不可避免的。

圖6 連續(xù)工作日高峰車站分流率平均偏差(15 min)

軌道交通高峰以通勤流為主體，普遍認(rèn)為其穩(wěn)定性高、規(guī)律性強(qiáng)，制定客流組織方案時常以歷史客流為參考依據(jù)。然而，前述分析顯示高峰客流呈現(xiàn)明顯的常態(tài)化波動特性。不難理解，即便通勤乘客出行起訖站相同，但出發(fā)時間仍具有不確定性，是造成客流波動的主要原因。因此，追求客流控制方案精細(xì)化的同時不得不面臨客流輸入不確定性這一問題，需在方案精細(xì)化與可靠性間尋求平衡。

2 模型構(gòu)建

2.1 模型構(gòu)建框架

客流控制方案編制是以網(wǎng)絡(luò)客流分布特征、運力運量匹配關(guān)系、車站基礎(chǔ)設(shè)施條件等為基礎(chǔ)，利用一定的方法來確定控制車站、控制時段及控流強(qiáng)度的過程。本文主要以區(qū)間運輸能力為關(guān)鍵約束，利用數(shù)學(xué)優(yōu)化模型來確定各站最佳進(jìn)站量，通過與實際進(jìn)站需求對比來判定是否需要進(jìn)行控制，采用控流率來表征控制強(qiáng)度。以控制方案為指導(dǎo)，車站客運組織人員即可提前部署限流設(shè)施設(shè)備、執(zhí)行限流措施，從而起到調(diào)節(jié)進(jìn)站流速度、減緩客流擁擠的目的。模型以既有確定型控制模型為基礎(chǔ)，通過考慮客流輸入?yún)?shù)的不確定性來建立魯棒型客流控制模型，以期提高控制方案的可靠性與實用性，總體框架見圖7。

圖7 客流控制模型構(gòu)建框架

2.2 符號定義及假設(shè)

便于模型構(gòu)建，做如下合理性假設(shè)：

①研究時段內(nèi)客流需求(進(jìn)站量、OD量)已知，取前月同期客流的均值，客流波動幅度已知。

②區(qū)間運輸能力已知 (根據(jù)計劃運行圖確定)，不考慮列車運行秩序紊亂等場景。

③單位控制時間粒度內(nèi)客流到達(dá)穩(wěn)定，視為均勻分布。

④高峰客流控制以站外限流為主(符合實際需求)，不考慮站臺、站廳等站內(nèi)限流組織。

⑤限流僅影響乘客的出行行程時間，不改變乘客的出行選擇方式。

2.3 確定型控制模型

(3)

(4)

s.t.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

運營實踐中發(fā)現(xiàn)站外廣場是否具備限流空間是制定方案考慮的重要因素，為此添加站外最大滯留人數(shù)約束式(7)；式(3)為乘客總延誤時長最小化目標(biāo)，式(4)為客運周轉(zhuǎn)量最大化目標(biāo)；式(5)為區(qū)間輸送能力約束；式(6)為決策變量上下限約束，即滿足最低進(jìn)站客流需求，不超過實際進(jìn)站客流需求；式(7)為站外滯留人數(shù)小于站外廣場容納能力Wm(容納人數(shù))；式(8)、式(9)為相鄰時段間流量的基本轉(zhuǎn)移關(guān)系。

2.4 魯棒型控制模型

魯棒優(yōu)化是解決含參數(shù)不確定問題的有效方法。純粹從模型角度來看，參數(shù)不確定可能導(dǎo)致約束條件“突破”，影響解的可行性。魯棒優(yōu)化的核心是通過建立“保護(hù)”機(jī)制以防止約束條件突破，但同時定會導(dǎo)致一定的目標(biāo)損失。因此，魯棒優(yōu)化是以一定目標(biāo)損失為代價來換取解的可靠性。

針對以運營安全保障為核心的客流控制問題，約束條件突破則意味著客流淤積(如區(qū)間運輸能力約束突破則意味著客流在站臺聚集)，誘發(fā)潛在擁擠踩踏風(fēng)險。前述可知，客流存在日變常態(tài)化波動特征(即客流不確定性)，客流控制方案編制時有必要對客流的波動性予以考慮。本文目標(biāo)則是在容許一定目標(biāo)損失的條件下構(gòu)造能夠應(yīng)對客流常態(tài)波動的“可靠性”控制方案。

(1)客流不確定性刻畫

(2)約束條件“保護(hù)”機(jī)制

(10)

(11)

Γm為不確定預(yù)算，用于刻畫車站m分流率的總體波動情況，Γm越大則容許的客流波動越大，其也能夠反映運營管理的保守程度。Γm的取值可根據(jù)歷史AFC數(shù)據(jù)對不同車站進(jìn)行統(tǒng)計確定，亦可結(jié)合人為經(jīng)驗確定，需滿足約束

(12)

實際中車站出發(fā)的客流并不會出現(xiàn)“普漲”現(xiàn)象，更多是部分OD增加而另一部分減少。不同屬性的車站客流波動也存在差異性(如市區(qū)站、市郊站)，因此，不確定預(yù)算能夠很好地刻畫車站OD流的總體波動及車站屬性的差異性。

?m∈Ns∈Ak∈Tt∈T且k≤t

(13)

將式(13)代入，并對原約束添加保護(hù)機(jī)制，那么式(5)可轉(zhuǎn)化為

(14)

式(14)為非線性約束，將對模型求解帶來較大影響。為此將該嵌套約束提出，得到子問題

(15)

s.t.

(16)

(17)

s.t.

(18)

根據(jù)弱對偶定理可知，對偶問題(當(dāng)原問題為最大化)的目標(biāo)函數(shù)值始終為原問題上界。那么，式(14)松弛后可轉(zhuǎn)化為

(19)

從而實現(xiàn)非線性約束的線性化處理。

(3)魯棒型客流控制模型

通過對相應(yīng)約束添加“保護(hù)”機(jī)制，即得到完整的魯棒型客流控制模型

(20)

(21)

s.t.

(22)

3 實證分析

3.1 基本信息

以北京地鐵5號線為對象進(jìn)行實證分析。5號線是北京地鐵最為擁擠的線路之一，共23座車站，車站分布見圖8。早高峰天通苑等社區(qū)有大量居民出行，客流呈單向性特征，導(dǎo)致下行方向十分擁擠。為簡化計算過程，本案例僅以下行方向為研究對象(天通苑北—宋家莊)。

圖8 5號線車站分布示意圖

選取2017年5月AFC記錄為數(shù)據(jù)源，統(tǒng)計得到模型所需客流信息，主要包括分時進(jìn)站量、客流OD表、客流波動幅度等。以此為依據(jù)確定6月的客流控制方案。需要注意的是，AFC記錄覆蓋全網(wǎng)信息，為得到5號線的全量客流信息，需將跨線客流(本線進(jìn)—他線出、他線進(jìn)—本線出、途經(jīng)本線)轉(zhuǎn)化為本線客流。區(qū)間運輸能力、車站通過率等參數(shù)通過計劃運行圖來確定，計算方法參見文獻(xiàn)[3]。研究時段為早高峰(07:00—09:00)，單位控制時間粒度為15 min，對其離散化后依次編號。

進(jìn)站量信息(僅下行)見圖9，可以看出進(jìn)站量呈現(xiàn)極度不均衡特點，天通苑北、天通苑、立水橋站的進(jìn)站量遠(yuǎn)超其他車站，該特點導(dǎo)致5號線北側(cè)擁擠問題十分突出，唯有通過強(qiáng)力的客流控制才能保障運營安全?；诳土鞣峙淠Ｐ蛯⒖土鞣峙渲羺^(qū)間，得到各區(qū)間的斷面客流量，見圖10。可看出高峰斷面位于北側(cè)的立水橋—惠新西街北口之間，斷面客流量達(dá)14 000人/15 min，區(qū)間滿載率高達(dá)136%，大幅超出運力供給。該客流特征屬于市郊線的典型特征，高峰客流量大、方向性單一，是造成擁擠嚴(yán)峻的關(guān)鍵原因。

圖9 車站分時進(jìn)站量

圖10 分時區(qū)間斷面量分布

針對模型中新增的站外最大限流人數(shù)約束(式(7))，最大限流人數(shù)采用站外廣場面積與單位客流密度(3人/m2)之積得到。車站站外面積及客流的波動幅度(宋家莊為終點站，不包含其信息)見表1，其中立水橋南、北苑路北、大屯路東站為地面高架站，站外面積較小。考慮基礎(chǔ)數(shù)據(jù)龐大，在此不對其他參數(shù)詳盡羅列。

表1 車站基本信息

3.2 結(jié)果分析

(1)客流控制方案

采用Lingo軟件進(jìn)行模型求解?？亓鞣桨竿ㄟ^控流率刻畫，當(dāng)控流率大于0則表示需進(jìn)行控制。不確定預(yù)算反映了運營管理者的保守程度，不同的取值將得到不同的控制方案。在此給出中等保守程度下(Γ=5)的魯棒性控制方案，不確定預(yù)算對模型性能的影響將在后文分析。確定性(僅列出需控流車站)和魯棒性控制方案控流率見表2。對比確定性與魯棒性控制方案，可看出魯棒方案的平均控流率略高于確定性方案。不難理解，高強(qiáng)度客流控制增加了乘客的站外延誤時長，即降低單位時間內(nèi)進(jìn)站客流量，以此換取運輸系統(tǒng)抗風(fēng)險能力的提升。

表2 確定性和魯棒性控制方案控流率 %

(2)方案魯棒性分析

不確定預(yù)算對方案有較大影響，當(dāng)不確定預(yù)算為0時模型退化為確定型控制模型。不確定預(yù)算對模型目標(biāo)損失的影響見圖11，可以看出：①對比確定性方案(Γ=0)，魯棒方案必然造成目標(biāo)損失，目標(biāo)損失隨不確定預(yù)算增大而增加，符合魯棒優(yōu)化的基本規(guī)律；②當(dāng)Γ=5時(中等保守程度)，魯棒方案的滯留延誤時間增加25.8%，旅客周轉(zhuǎn)量降低2.1%。

圖11 不確定預(yù)算對優(yōu)化目標(biāo)的影響

進(jìn)一步從約束突破數(shù)、突破程度來評估方案的魯棒性。從模型角度而言，約束突破則意味著解不可行。約束突破數(shù)及突破程度越低，方案魯棒性越高。結(jié)合限流組織特點，采用超出區(qū)間運力的客流量大小來表征突破程度(所有區(qū)間及時段超出客流的累積)。客流存在日變波動特性，因此不同日期內(nèi)方案的約束突破數(shù)及程度將存在差異。在此，先以2017年6月14日(隨機(jī)選取)客流為輸入，利用所構(gòu)建的方案進(jìn)行約束推算，辨識出突破約束條件的數(shù)量及突破程度。約束條件的突破情況見圖12，可以看出：①隨著Γ增大，約束突破數(shù)及突破程度下降明顯，表明方案的魯棒性逐步增強(qiáng)；②相比突破約束數(shù)，突破程度的下降較為平緩，從運營安全風(fēng)險考慮，突破程度越底、抗風(fēng)險能力越強(qiáng)，采用突破程度來體現(xiàn)方案的魯棒性更為合適；③當(dāng)不確定預(yù)算Γ=9時，突破約束的數(shù)量及程度趨于0，表明此時的方案能夠完全應(yīng)對客流的波動影響，但帶來的目標(biāo)損失過大，延誤時間增加66.1%，周轉(zhuǎn)量降低4.5%。需要補(bǔ)充說明的是，本文“中等保守程度”對應(yīng)的不確定預(yù)算即通過約束突破情況來確定，運營實踐中亦可通過該方法來輔助決策。

圖12 不確定預(yù)算對方案魯棒性的影響

運營管理者希望方案能夠在執(zhí)行周期內(nèi)(如北京為一月)均具有良好的性能，以適應(yīng)不同的客流波動場景。在此，假設(shè)運營管理者為中等保守者(Γ=5)，分析限流方案在較長時期內(nèi)的性能。2017年6月連續(xù)22個工作日內(nèi)方案的實施效果見圖13、圖14，可以看出：①確定性方案的約束突破數(shù)及突破程度均較大，表明潛在運營安全風(fēng)險較大；②相比魯棒性方案約束突破數(shù)的平均降幅達(dá)51.3%，突破程度平均降幅達(dá)78.0%，表明方案具有良好的可靠性，能夠有效降低客流常態(tài)波動誘發(fā)的潛在風(fēng)險。

圖13 連續(xù)工作日約束條件突破數(shù)

圖14 連續(xù)工作日約束突破程度

綜上，驗證了本文所構(gòu)建魯棒型控制模型的準(zhǔn)確性與有效性。案例結(jié)果顯示所構(gòu)建魯棒控制方案具有良好的可靠性。雖然魯棒方案必然帶來一定的目標(biāo)損失，但通過較少的目標(biāo)損失換取更為可靠的方案，無疑是有意義的，尤其針對以運營安全保障為核心的客流控制問題。

4 結(jié)論

本文針對軌道交通線路層高峰客流控制方案編制問題，提出考慮客流波動影響的魯棒型控制方案編制模型。該方法以較小的目標(biāo)損失換取方案的高可靠性，降低客流常態(tài)波動誘發(fā)的潛在安全風(fēng)險，能夠為限流組織提供方法支撐，具有良好的實用價值。

為降低模型復(fù)雜度、保障求解效率，本文處理流量關(guān)系時未精細(xì)化考慮客流-車流間復(fù)雜的時空交互耦合關(guān)系，后續(xù)可進(jìn)一步考慮模型的精細(xì)化及大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的適用性；另外，偶發(fā)大客流下的動態(tài)控制研究尚十分匱乏，可根據(jù)偶發(fā)大客流的時空演變規(guī)律，建立適于偶發(fā)大客流場景的動態(tài)客流控制策略。