胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在構(gòu)建廣義線性回歸模型、Cox比例和非比例風(fēng)險回歸模型的過程中，常涉及參數(shù)的檢驗問題，例如：檢驗部分或全部回歸系數(shù)是否為0；還會涉及前述提及的各種情形下回歸系數(shù)的區(qū)間估計問題；在處理復(fù)雜抽樣設(shè)計定性資料時，可能會涉及一維頻數(shù)分布表資料和二維頻數(shù)分布表資料的獨(dú)立性假設(shè)檢驗問題。本文介紹解決前述提及的三類問題所需要的Wald’s檢驗及其SAS實現(xiàn)。

1 Wald’s檢驗統(tǒng)計量的種類

1.1 一般Wald’s檢驗統(tǒng)計量和穩(wěn)健Wald’s檢驗統(tǒng)計量

設(shè)logistic回歸模型中只有一個自變量，則檢驗回歸系數(shù)β是否為0，可用以下兩個公式［1-3］之一：

設(shè)logistic回歸模型中的回歸系數(shù)向量β具有K個分量，在SAS/STAT的PHREG過程中，給出的5個檢驗統(tǒng)計量（即似然比檢驗統(tǒng)計量、一般評分檢驗統(tǒng)計量、Wald’s檢驗統(tǒng)計量、穩(wěn)健評分檢驗統(tǒng)計量和穩(wěn)健Wald’s檢驗統(tǒng)計量）都服從自由度df=K的χ2分布。這5種檢驗都可以用于檢驗回歸模型中全部回歸系數(shù)是否都等于0，即H0：β=0。其中，一般Wald’s檢驗統(tǒng)計量和穩(wěn)健Wald’s檢驗統(tǒng)計量的定義［4-5］如下：

Binder于1992年將權(quán)重整合到分析之中，推導(dǎo)出β?的穩(wěn)健中間方差估計量：

式（5）中，I（β?）是觀測的信息矩陣，a?2=aa'。

注意：當(dāng)wi≡1，V?S（β?）=D'D，此處，D是DFBETA殘差矩陣（說明：DFBETA變量與回歸分析資料中每一個觀測有關(guān)，它是用來度量每個觀測對回歸系數(shù)影響大小的一個差量 δβ?i= β?- β?（i），其中 β?是全部觀測所對應(yīng)的回歸系數(shù)或回歸系數(shù)向量，而β?（i）是第i個觀測不在回歸模型中所對應(yīng)的回歸系數(shù)或回歸系數(shù)向量）。

【說明】Wald’s檢驗統(tǒng)計量可用于檢驗單個回歸系數(shù)或全部回歸系數(shù)是否為0；可用于檢驗已進(jìn)入回歸模型中的自變量是否可以被刪除；還可用于估計回歸系數(shù)的置信區(qū)間。

1.2 約束Wald’s χ2檢驗

關(guān)于回歸系數(shù)β的線性假設(shè)可以表述如下：

式（6）中，L是線性假設(shè)的系數(shù)矩陣；c是常數(shù)向量；回歸系數(shù)β的向量包含斜率參數(shù)和截距參數(shù)。與檢驗假設(shè)H0對應(yīng)的約束Wald’s χ2檢驗統(tǒng)計量見式（7）：

【說明】當(dāng)取常數(shù)向量c=0時，此檢驗方法可用于檢驗回歸模型中參數(shù)是否為0。

1.3 廣義Wald’s檢驗統(tǒng)計量與廣義Wald’s對數(shù)線性檢驗統(tǒng)計量

1.3.1 概述

在SAS/STAT的SURVEYFREQ過程中，針對復(fù)雜抽樣設(shè)計（包括整群抽樣和分層抽樣）頻數(shù)資料，有兩種檢驗二維列聯(lián)表資料中行、列兩變量之間獨(dú)立性假設(shè)的新方法，即廣義Wald’s χ2檢驗與廣義Wald’s對數(shù)線性χ2檢驗。其中，廣義Wald’s χ2檢驗法是基于加權(quán)觀察頻數(shù)與加權(quán)期望頻數(shù)之差量構(gòu)造出來的；而廣義Wald’s對數(shù)線性χ2檢驗法是基于對數(shù)優(yōu)勢比構(gòu)造出來的。在構(gòu)造這兩種檢驗方法的過程中，都將復(fù)雜抽樣設(shè)計考慮在內(nèi)。在大樣本條件下，前述提及的兩種檢驗統(tǒng)計量均服從自由度df=（R-1）（C-1）的χ2分布。然而，依據(jù)實際的顯著性水平和檢驗效能來考量，前述提及的兩種檢驗方法已顯示出較差的表現(xiàn)，特別是對于具有大的格頻數(shù)或相對較小群數(shù)的二維列聯(lián)表資料更是如此。為此，有多位統(tǒng)計學(xué)家提出了改進(jìn)的建議，即采用F檢驗（用于2×2列聯(lián)表資料）和校正F檢驗（用于非2×2列聯(lián)表資料）。F檢驗和校正F檢驗比前述提及的兩種χ2檢驗更穩(wěn)定［4］。

1.3.2 廣義Wald’s χ2檢驗統(tǒng)計量

在二維列聯(lián)表資料中行、列兩變量之間獨(dú)立性假設(shè)成立的條件下，期望格頻數(shù)的計算方法如下：

式（8）中，N?r.與N?.c分別代表第r行與第c列上估計的頻數(shù)，N?代表估計的總頻數(shù)?？傮w加權(quán)頻數(shù)等于期望頻數(shù)的無效假設(shè)，可以采用下式表達(dá)：

式（9）中，r=1，2，…，（R-1），c=1，2，…，（C-1）。于是，廣義Wald’s檢驗統(tǒng)計量的定義見下式：

式（10）中，Y?是由（R-1）（C-1）個觀察加權(quán)頻數(shù)與期望加權(quán)頻數(shù)之差量（N?rc-Erc）組成的數(shù)組，HV?（N?）H'是Y?的方差的估計值，V?（N?）是N?rc估計值的協(xié)方差矩陣。在SAS/STAT的SURVEYFREQ過程中，方差估計方法共有6種，即臺勞級數(shù)方差估計量、復(fù)制方差估計量、自助法、平衡重復(fù)復(fù)制（BBR）法、Fay’s BBR法和刀切法［4］，因篇幅所限，此處從略。H是一個Q×P階矩陣，其中，Q=（R-1）（C-1），P=R×C。H矩陣的元素為Y?的元素關(guān)于N?的元素的偏導(dǎo)數(shù)。

1.3.3 廣義Wald’s對數(shù)線性χ2檢驗統(tǒng)計量

對于R行C列的二維列聯(lián)表資料，廣義Wald’s對數(shù)線性檢驗基于一個（R-1）（C-1）維的數(shù)組導(dǎo)出，其元素Y?rc定義如下：

式（11）中，N?rc是二維表中第（r，c）格上被估計的總頻數(shù)。行與列變量之間的獨(dú)立性假設(shè)可采用下式來表達(dá)：

式（12）中，r=1，2，…，（R-1），c=1，2，…，（C-1）。于是，廣義Wald’s對數(shù)線性檢驗統(tǒng)計量的定義見下式：

式（13）中，Y?是 Y?rc的（R-1）（C-1）維的數(shù)組，V?（Y?）是Y?的方差估計值，其計算見下式：

式（14）中，V?（N?）是估計量 N?rc的協(xié)方差矩陣；D是一個對角矩陣，其對角線上的元素為估計的總數(shù)N?rc；A是一個Q×P階矩陣，其中，Q=（R-1）（C-1），P=RC×RC。

1.3.4 Wald’s F檢驗統(tǒng)計量與Wald’s校正F檢驗統(tǒng)計量

基于公式（10）得到Wald’s F檢驗統(tǒng)計量見式（15）：

式（15）中，F(xiàn)W服從分子自由度df1=（R-1）（C-1）、分母自由度為df2的F分布。

對于大于2×2表的二維列聯(lián)表資料，需要計算校正的F檢驗統(tǒng)計量?；诠剑?0）得到Wald’s校正F檢驗統(tǒng)計量見式（16）：

式（16）中，k=df1=（R-1）（C-1），s=df2。

上面提及的df2的取值與抽樣設(shè)計和方差估計方法有關(guān)。如果采用臺勞級數(shù)法估計方差，df2=群數(shù)-層數(shù)；如果沒有群數(shù)，df2=觀測數(shù)-層數(shù)；若不是分層設(shè)計，df2=群數(shù)-1。如果采用復(fù)制法估計方差，df2=復(fù)制數(shù)。如果采用BBR法估計方差，df2=層數(shù)。如果采用自助法和刀切法估計方差，df2=群數(shù)-層數(shù)；如果沒有群數(shù)，df2=觀測數(shù)-層數(shù)；若不是分層設(shè)計，df2=群數(shù)-1。

1.3.5 Wald’s對數(shù)線性F檢驗統(tǒng)計量與校正Wald’s對數(shù)線性F檢驗統(tǒng)計量

基于公式（13）得到Wald’s對數(shù)線性F檢驗統(tǒng)計量見式（17）：

基于公式（13）得到校正Wald’s對數(shù)線性F檢驗統(tǒng)計量見式（18）：

在式（17）和式（18）中，有關(guān)變量或符號的含義與式（15）和式（16）后面的解釋完全相同，此處從略。

2 實例與SAS實現(xiàn)

2.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】為研究2型糖尿病患病的危險因素，某研究者隨機(jī)選取某市社區(qū)常見慢性非傳染性疾病的篩查中檢出的2型糖尿病患者113例，同時在社區(qū)隨機(jī)選取120名正常人，收集他們的相關(guān)資料，包括年齡（歲），性別（0=男性，1=女性），吸煙情況（0=不吸煙，1=吸煙），飲酒情況（0=不飲酒，1=飲酒），2型糖尿?。∕D）家族史（0=無，1=有），動脈粥樣硬化血栓形成（AT）家族史（0=無，1=有），收縮壓（mmHg）、舒張壓（mmHg）。用1和0分別表示患與未患2型糖尿病。表1列出了部分研究對象的資料［6］。試采用合適的方法分析哪些因素易導(dǎo)致受試對象患2型糖尿病。

表1 2型糖尿病相關(guān)危險因素的調(diào)查資料

【例2】文獻(xiàn)［4］提供了一個關(guān)于學(xué)生信息系統(tǒng)（SIS）的顧客滿意度調(diào)查資料。這次抽樣調(diào)查的抽樣設(shè)計是兩階段分層隨機(jī)抽樣設(shè)計。在第1階段的各層中，根據(jù)學(xué)校的規(guī)模，采用按比例和無放回的概率抽樣方式抽取學(xué)校。從每一個被抽取的學(xué)校中，隨機(jī)抽取5名工作人員（包括3名教師以及2名管理者或指導(dǎo)者）完成SIS滿意度問卷調(diào)查。SAS數(shù)據(jù)集SIS_Survey包含抽樣結(jié)果和數(shù)據(jù)分析所需要的抽樣設(shè)計信息。主要變量及含義如下：

Response（結(jié)果變量，即對SIS的滿意程度）：很不滿意、不滿意、中立、滿意、很滿意；State（州）：喬治亞州、美國南卡羅來納州、美國北卡羅來納州；Newuser（用戶類型）：新用戶、續(xù)用用戶；School（學(xué)校）：第1階段的抽樣單位；SamplingWeight（抽樣權(quán)重）：基于每個抽樣階段來計算并根據(jù)是否缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整；SchoolType（學(xué)校類型）：高中、初中；Department（部門）：教師、管理者或指導(dǎo)者。其中，State（州）和Newuser（用戶類型）是兩個分層因素，共形成6層；School（學(xué)校）是群，共抽取了370個群?？倶颖竞繛?70×5=1850人。

基于此資料進(jìn)行以下兩種分析：①試分析Response（結(jié)果變量，即對SIS的滿意程度）的頻數(shù)分布；②試分析SchoolType（學(xué)校類型）與Response（結(jié)果變量，即對SIS的滿意程度）兩變量之間是否互相獨(dú)立。

2.2 SAS實現(xiàn)

2.2.1 分析例1資料所需的SAS程序

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【程序說明】因本例中的數(shù)據(jù)很多，以文本格式存儲在D盤文件夾MXWTTJXS中，數(shù)據(jù)文件名為prg35_3.dat；model語句中的選項“sle=0.5 sls=0.02”是為了演示SAS軟件在逐步回歸分析過程中的具體表現(xiàn)，即選變量進(jìn)入回歸方程采用的是評分檢驗；而從回歸模型中刪除自變量采用的是Wald’s檢驗。同時，還可以看到：檢驗回歸模型中全部自變量的回歸系數(shù)同時為0時，采用了3種檢驗方法，包括似然比檢驗、評分檢驗和Wald’s檢驗；估計回歸系數(shù)的置信區(qū)間采用的是Wald’s檢驗。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上輸出的是采用3種檢驗方法檢驗回歸模型中3個回歸系數(shù)同時為0的檢驗結(jié)果，因P值都小于0.05，說明3個自變量對因變量的影響都具有統(tǒng)計學(xué)意義，應(yīng)該保留在回歸模型中。

【說明】因篇幅所限，上面僅呈現(xiàn)了部分與Wald’s檢驗有關(guān)的輸出結(jié)果，故不適合給出統(tǒng)計結(jié)論和專業(yè)結(jié)論。

2.2.2 分析例2資料中第1個問題所需的SAS程序

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【程序說明】tables語句中指定結(jié)果變量；strata語句中指定分層變量；cluster語句中指定群變量；weight語句中指定權(quán)重變量。第1個過程步產(chǎn)生單因素（這里實際上是定性的結(jié)果變量Response）頻數(shù)分布表；第2個過程步是采用 Rao-Scott’s χ2檢驗進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上輸出的是擬合優(yōu)度檢驗的結(jié)果。

【統(tǒng)計結(jié)論與專業(yè)結(jié)論】擬合優(yōu)度檢驗的結(jié)果為P<0.0001，說明評價結(jié)果（Response）5個檔次中的頻數(shù)不等，“中立”的頻數(shù)最高，“很滿意”的頻數(shù)最低。

2.2.3 分析例2資料中第2個問題所需的SAS程序

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上輸出的是采用 Rao-Scott’s χ2檢驗法對SchoolType（學(xué)校類型）與Response（結(jié)果變量，即對SIS的滿意程度）兩變量之間互相獨(dú)立假設(shè)的檢驗結(jié)果。因P>0.05，說明兩變量之間的獨(dú)立性假設(shè)成立，即兩種學(xué)校類型下評價結(jié)果的頻數(shù)分布基本相同。

【說明】Rao-Scott’s χ2檢驗法是校正設(shè)計后的Pearson’s χ2檢驗法，因篇幅所限，該方法的計算公式從略，可參閱文獻(xiàn)［4］。

【統(tǒng)計結(jié)論與專業(yè)結(jié)論】對學(xué)生信息系統(tǒng)（SIS）的評價結(jié)果不會隨著學(xué)校類型的改變而改變，也就是說，各類學(xué)校給出的評價結(jié)果5種檔次的頻數(shù)分布與前面所呈現(xiàn)的“單變量頻數(shù)分布”的結(jié)果（即全部被調(diào)查對象給出的評價結(jié)果）基本一致。

3 討論與小結(jié)

3.1 討論

Wald’s檢驗的應(yīng)用場合比較多，不僅在廣義線性回歸模型的構(gòu)建過程中的多個環(huán)節(jié)（例如：在檢驗全部回歸系數(shù)是否為0、從回歸模型中是否需要剔除某些自變量、求回歸系數(shù)和優(yōu)勢比的置信區(qū)間等）上發(fā)揮了重要作用，而且在分析復(fù)雜抽樣調(diào)查所得到的定性資料［7-10］方面，也起著不可或缺的作用。然而，在以下兩種場合下，Wald’s檢驗不如似然比檢驗的效果好［1］：情形一，樣本含量較??；情形二，回歸系數(shù)的絕對值很大。

3.2 小結(jié)

本文介紹了廣泛應(yīng)用于定性資料統(tǒng)計分析的一類假設(shè)檢驗方法，即Wald’s檢驗。在定性資料和生存資料的回歸分析中，常用的Wald’s檢驗有：一般Wald’s檢驗、穩(wěn)健Wald’s檢驗和Wald’s約束χ2檢驗；而在復(fù)雜抽樣調(diào)查定性資料的獨(dú)立性檢驗中，常用的Wald’s檢驗有：廣義Wald’s檢驗、廣義Wald’s對數(shù)線性檢驗、Wald’s F檢驗、Wald’s校正F檢驗、Wald’s對數(shù)線性F檢驗和校正Wald’s對數(shù)線性F檢驗。本文結(jié)合兩個實例并借助SAS軟件，實現(xiàn)了前述提及的大多數(shù)檢驗。