胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在采用國際通用統(tǒng)計軟件（如SAS、SPSS、R等）對列聯(lián)表資料進(jìn)行獨立性檢驗和對多因素資料進(jìn)行回歸分析時，在輸出結(jié)果中常會出現(xiàn)似然比χ2檢驗的結(jié)果。其方法名稱至少有以下4種，即Likelihood Ratio、-2Log L、2Log L 和Deviance；若查閱文獻(xiàn)［1-3］，可知似然比χ2檢驗統(tǒng)計量的定義至少有3種；若深入學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)方面的文獻(xiàn)［4-6］，可知似然比χ2檢驗的變種大約有10種。本文從實際出發(fā)，介紹前述提及內(nèi)容中最常用部分，通過實例并借助SAS軟件實現(xiàn)統(tǒng)計計算。

1 基本概念

1.1 似然

在日常生活中，人們經(jīng)常會提及“機會”，有時還會用到“幾率”，更專業(yè)的名詞是“概率”。通常，“似然”就是“概率”的同義詞。其實，它們都是用來度量隨機事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量。然而，在統(tǒng)計學(xué)上，“似然”具有更多特定的含義，它是在給定產(chǎn)生數(shù)據(jù)的概率模型的前提條件下，觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率（或概率密度）?！八迫弧北挥脕肀容^模型中的參數(shù)取多個不同的可能的候選值時，以確定參數(shù)真值最可能的估計值［1］。換句話說，通過給模型中的參數(shù)設(shè)定多個不同的數(shù)值來計算似然值，選取似然值最大時所對應(yīng)的參數(shù)值為模型中參數(shù)的最佳估計值，在統(tǒng)計學(xué)上稱為參數(shù)的最大似然估計值（簡寫為MLE）。

1.2 似然比與對數(shù)似然比

所謂似然比，就是將模型中的參數(shù)或參數(shù)向量取兩組不同的數(shù)值，分別代入一個似然函數(shù)表達(dá)式中，再將這兩個表達(dá)式以商的形式呈現(xiàn)出來。于是，該商就被稱為似然比。對這個似然比取對數(shù)，就得到對數(shù)似然比。

似然函數(shù)一般都由特定問題中隨機變量的概率密度函數(shù)（對連續(xù)型隨機變量而言）或概率函數(shù)（對離散型隨機變量而言）在各觀測點上取值的乘積構(gòu)造而成。也就是說，似然比的分子與分母都是由N（樣本含量）項似然連乘之積構(gòu)成。對似然比取對數(shù)變換，就可以將分子與分母中的連乘運算轉(zhuǎn)化成連加運算。于是，在求對數(shù)似然函數(shù)最大值的過程中，可以達(dá)到簡化計算的目的。

2 似然比統(tǒng)計量的三種定義

2.1 基于參數(shù)向量的空間大小構(gòu)造似然比統(tǒng)計量

設(shè)觀測數(shù)據(jù)xobs被隨機地抽自一個總體，該總體由一個依賴于未知參數(shù)向量θ的聯(lián)合密度函數(shù)f（x；θ）來描述，我們必須作出一個關(guān)于θ的假設(shè)（見下文中的H0和H1）?？傮w的分布可以是離散的或連續(xù)的或兼有離散和連續(xù)兩種成分，例如，包括可能具有刪失數(shù)據(jù)的情形。

函數(shù)L（θ）=f（xobs；θ）被稱為似然函數(shù)。讓Θ代表可能的參數(shù)向量的集合，讓Θ0代表Θ的一個子集。設(shè)擬檢驗的假設(shè)如下：H0：θ∈ Θ0；H1：θ? Θ0。于是，Neyman和Pearson于1928年提出的似然比統(tǒng)計量［1-2］如式（1）：

由式（1）定義的λ<1。在式（1）中，L（θ?）代表 θ在整個Θ中變化時似然函數(shù)取得的最大值；L（θ?0）代表θ在整個Θ0中變化時似然函數(shù)取得的最大值。使似然比統(tǒng)計量λ取得最大值的參數(shù)向量θ?被稱為θ的最大似然估計量；而θ?0是在無效假設(shè)成立的條件下θ的最大似然估計量。

如果無效假設(shè)為真，即真實的參數(shù)向量在Θ0中，那么，也就意味著θ?和θ?0都接近于真實的參數(shù)向量。因此，λ就接近于1。

2.2 基于兩個嵌套統(tǒng)計模型來構(gòu)造似然比統(tǒng)計量

假定模型P嵌套于模型K內(nèi)，并設(shè)模型P與模型K的似然函數(shù)分別為L（P，Y）與L（K，Y）。按下式構(gòu)造似然比λ統(tǒng)計量［4-6］：

由式（2）定義的λ<1。

2.3 基于全模型與部分模型來構(gòu)造似然比統(tǒng)計量

假定全模型（即含全部自變量的模型）中的參數(shù)向量為bfull（參數(shù)個數(shù)為k），部分模型（即含部分自變量的模型）中的參數(shù)向量為bpartial（參數(shù)個數(shù)為r），并設(shè)全模型與部分模型的似然函數(shù)分別為L（bfull，Y）與L（bpartial，Y）。按下式構(gòu)造似然比λ統(tǒng)計量：

由式（3）定義的λ>1。

2.4 三種定義之間的區(qū)別

從本質(zhì)上來看，上述三種定義是完全相同的。其區(qū)別僅在于：對似然比統(tǒng)計量取對數(shù)后，計算結(jié)果的絕對值相同，但相差一個符號。這就是為什么國際通用統(tǒng)計軟件（例如SAS）和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)教科書中給出的對數(shù)似然函數(shù)值有時以正值（表示為2lnλ或2logλ）形式表達(dá)，有時以負(fù)值（表示為-2lnλ或-2logλ）形式表達(dá)的原因。其中，當(dāng)λ>1與λ<1時，系數(shù)分別為“2”與“-2”都是基于數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)所需要的常數(shù)。也就是說，對于同一個資料，采用式（1）和式（2）得到的“-2lnλ”與采用式（3）得到的“2lnλ”是相等的，且都為正數(shù)。

3 似然比與對數(shù)似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

3.1 名稱的約定

人們不能直接依據(jù)前面的式（1）、式（2）和式（3）中的任何一個進(jìn)行假設(shè)檢驗，因為它們都只是一般統(tǒng)計量，它們并不服從某種已知的概率分布。因此，無法直接進(jìn)行統(tǒng)計推斷。然而，對似然比統(tǒng)計量取對數(shù)變換，并乘以必要的系數(shù)就可構(gòu)造出新統(tǒng)計量，若能證明其服從某種已知的概率分布，就可利用它和收集到的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)檢驗了。

2倍（或-2倍）對數(shù)似然比檢驗統(tǒng)計量如下［說明：分別由式（1）、式（2）和式（3）得到］：

文獻(xiàn)［2］明確告知，對數(shù)似然比檢驗統(tǒng)計量近似地服從自由度df=k-r的χ2分布（即極限分布），記為χ2k-r，其中，k與r分別為全模型與部分模型中的參數(shù)個數(shù)。在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)教科書中，常把對數(shù)似然比χ2檢驗簡稱為似然比χ2檢驗，還被稱為廣義似然比χ2檢驗和最大似然比χ2檢驗［1］。

【說明】為了與文獻(xiàn)和統(tǒng)計軟件中的名稱一致，本文也沿用簡稱，即采用“似然比χ2檢驗”取代“對數(shù)似然比χ2檢驗”。

3.2 似然比χ2檢驗的種類及應(yīng)用場合

3.2.1 概述

依據(jù)不同的條件或假設(shè)，似然函數(shù)及似然比χ2檢驗統(tǒng)計量有很多變種。若把最原始的似然比χ2檢驗稱為一般似然比χ2檢驗，在文獻(xiàn)中還會看到以下變種的似然比χ2檢驗，即校正似然比χ2檢驗、剖面（或輪廓）似然比χ2檢驗、擬似然比χ2檢驗、偽似然比χ2檢驗和Rao-Scott似然比χ2檢驗等。

3.2.2 一般似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

為了進(jìn)行列聯(lián)表資料的獨立性檢驗，可以采用多種方法，包括 Pearson’s χ2檢驗、一般似然比 χ2檢驗（簡稱似然比χ2檢驗）和Fisher’s精確檢驗等。其中，似然比χ2檢驗的計算見下式：

在式（7）中，eij為第（i，j）網(wǎng)格上的理論頻數(shù)，其計算見下式：

在式（8）中，ni·與n·j分別代表第i行與第j列上的合計頻數(shù)。

3.2.3 校正似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

在SAS/STAT的SURVEYPHREG過程中，校正似然比檢驗統(tǒng)計量見下式：

式（10）中，L（·）代表偏偽似然函數(shù)，β?代表估計的K個回歸參數(shù)組成的向量。

【說明】此檢驗可用來檢驗整個回歸模型中全部回歸系數(shù)是否為0。

3.2.4 剖面（或輪廓）似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

剖面（或輪廓）似然函數(shù)不是一個一般的似然函數(shù)，而是在給定感興趣的參數(shù)值的條件下，讓所有多余參數(shù)取遍其參數(shù)空間中的一切值，從而能被最大化的一個似然函數(shù)。

對于數(shù)據(jù)y，讓θ和φ分別代表統(tǒng)計模型f（y|θ，φ）中感興趣的參數(shù)與多余參數(shù)。一旦y被觀測到，似然函數(shù)就是L（θ，φ）=Pr（y|θ，φ）。那么，剖面似然函數(shù)P（θ）被定義成如下形式：P（θ）=L[θ，φ?（θ）]，此處φ?（θ）是給定θ的條件下φ的最大似然估計。因此，剖面似然函數(shù)是隨著多余參數(shù)φ延著路徑φ=φ?（θ）移動通過其參數(shù)空間過程中產(chǎn)生的似然函數(shù)的值。由此可知，剖面似然比檢驗統(tǒng)計量的定義如下：

在式（11）中，PL服從自由度df=k的χ2分布，其中k是θ的維數(shù)。

【說明】可用此方法檢驗全回歸模型是否可簡化。

3.2.5 擬似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

在獨立同分布（iid）假設(shè)下，Koenker和Machado于1999年提出了兩種類型的擬似然比檢驗，其檢驗統(tǒng)計量分別記為LR1和LR2，分別見式（12）和式（13）：

在式（12）和式（13）中，df1和df2分別是簡化模型與擴展模型的自由度；τ為分位水平［即分位數(shù)，τ∈ （0，1）］；D1（τ）和D2（τ）分別為簡化模型和擴展模型的檢查損失之和，其計算分別見下式：

在式（14）和式（15）中，s?（τ）是估計的稀疏函數(shù)，在獨立同分布（iid）假設(shè)下，其計算見下式：

式（16）中的誤差F的分布具有靈活性，但不局限于非對稱的拉普拉斯分布。估計s?（τ）的算法比較復(fù)雜，可參閱文獻(xiàn)［4］，此處從略。

【說明】此方法可用于分位數(shù)回歸分析，檢驗擴展回歸模型與簡化回歸模型之間的差別是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。

3.2.6 偽似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

在SAS/ETS的ENTROPY過程中，有如下表述：Mittelhammer和Cardell于2000年使用條件最大化熵函數(shù)F作為偽似然函數(shù)，構(gòu)造出偽似然比檢驗統(tǒng)計量見下式：

當(dāng)對回歸模型中參數(shù)施加線性限制進(jìn)行檢驗時，上式與下面的Wald檢驗統(tǒng)計量具有相同的極限分布。

讓H0：Lβ=m，此處L是β的元素的獨立線性組合的一個集合。那么，在這個無效假設(shè)成立的前提條件下，下面的Wald檢驗統(tǒng)計量TW服從中心χ2極限分布，其自由度為L的秩。

Mittelhammer和Cardell于2000年還提出了一個與前面兩個檢驗統(tǒng)計量等價的拉格朗日乘數(shù)檢驗統(tǒng)計量，見下式：

在式（19）中，G是F的梯度（說明：一個函數(shù)對于其自變量分別求偏導(dǎo)數(shù)，這些偏導(dǎo)數(shù)所組成的向量就是函數(shù)的梯度），其值可在限制參數(shù)的優(yōu)化點上被估計。

【說明】此方法可用于需要對模型中某些參數(shù)施加限制或約束的場合。

3.2.7 Rao-Scott似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

3.2.7.1 概述

Rao-Scott似然比χ2檢驗是一個似然比檢驗的校正設(shè)計版本，它涉及觀察和期望頻數(shù)之比。該檢驗具有兩種形式，分別被稱為一階Rao-Scott似然比檢驗和二階Rao-Scott似然比檢驗。這個檢驗的計算通過將設(shè)計校正應(yīng)用于基于估計的總樣本量的加權(quán)似然比檢驗統(tǒng)計量，主要用途是列聯(lián)表資料的擬合優(yōu)度檢驗。

3.2.7.2 一維表資料的Rao-Scott似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

設(shè)一維表資料的水平數(shù)為C，則一維表資料的Rao-Scott似然比χ2檢驗統(tǒng)計量如下式：

在式（20）中，G2服從自由度df=C-1的χ2分布；n是樣本含量，N?是估計的總體樣本含量，N?i是估計的第i水平組的總體樣本含量，Ei是在無效假設(shè)下估計的第i水平組的期望總體樣本含量。對于等比例的無效假設(shè)而言，每個水平組的期望總體樣本含量可按下式計算：

對于用戶指定的第i水平組的無效比例P0i，則第i水平組的期望總體樣本含量可按下式計算：

3.2.7.3 二維表資料的Rao-Scott似然比χ2檢驗統(tǒng)計量

設(shè)二維表資料的行、列水平數(shù)分別為R、C，則二維表資料的Rao-Scott似然比χ2檢驗統(tǒng)計量如下式：

在式（23）中，G2服從自由度df=（R-1）（C-1）的χ2分布；n是樣本含量，N?是估計的總體樣本含量，N?ij是估計的第（i，j）網(wǎng)格上的總體樣本含量，Eij是在無效假設(shè)下估計的第（i，j）網(wǎng)格上的期望總體樣本含量，其計算見式（24）：

4 實例與SAS實現(xiàn)

4.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】設(shè)某研究者對10例某疾病患者進(jìn)行了5年隨訪觀察，并記錄他們的結(jié)局情況［1］，最終的結(jié)果為：4例死亡、6例存活。假設(shè)該疾病患者的死亡概率為π，試基于已經(jīng)得到的試驗數(shù)據(jù)估計π最可能的取值。

【例2】有一個新藥的毒理試驗：受試對象為大鼠，設(shè)各批次試驗藥物的劑量為x，死亡大鼠數(shù)為r，試驗大鼠數(shù)為n。4批試驗的條件和結(jié)果［1］見表1?；谠囼灲Y(jié)果構(gòu)建死亡率關(guān)于藥物劑量的回歸模型，檢驗藥物劑量對死亡率是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。

表1 新藥毒理試驗條件及大鼠相關(guān)數(shù)據(jù)

4.2 分析與解答

4.2.1 對例1的分析與解答

對每一位患者來說，觀察結(jié)果y都是一個二值隨機變量的一種取值，即y=1（死亡）或y=0（存活）。在統(tǒng)計學(xué)上，稱y是一個服從兩點分布的隨機變量。一般假定，10例患者的結(jié)果之間是互相獨立的，對他們進(jìn)行觀察，相當(dāng)于進(jìn)行了10次獨立重復(fù)試驗，同時進(jìn)行10次兩點分布為具有試驗次數(shù)n的二項分布。根據(jù)問題中給定的觀察結(jié)果：死亡數(shù)k=4、死亡概率為π（未知），則依據(jù)二項分布概率計算原理可知，對應(yīng)的概率（似然函數(shù)）計算如下：

為了比較π=0.1與π=0.5中哪一個更接近本問題中真實的死亡率，可計算兩個似然值：L（π）=L（0.1）=210×0.14×0.96=0.011160，L（π）=L（0.5）=210×0.54×0.56=0.205078。所以，π=0.5比π=0.1更可能作為本問題中的死亡概率。當(dāng)然，如果借助計算程序來計算，可得到最大概率約為0.250823所對應(yīng)的死亡率π=0.4。

【結(jié)論】本問題中死亡率的真值π=0.4。

4.2.2 例2的分析與解答

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【說明】這是一個結(jié)果變量為二值變量的多重logistic回歸模型分析問題［7-9］。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上是“檢驗全局原假設(shè)：BETA=0”的輸出結(jié)果，其中，Wald χ2檢驗得到 P=0.1186>0.05，認(rèn)為劑量x對死亡率的影響無統(tǒng)計學(xué)意義；而似然比χ2檢驗和評分χ2檢驗都得到P<0.001的結(jié)果，認(rèn)為劑量x對死亡率的影響有統(tǒng)計學(xué)意義。特別是似然比χ2檢驗，χ2=15.7447，P<0.0001。

以上是參數(shù)估計和輪廓似然置信區(qū)間輸出結(jié)果。

【說明】為節(jié)省篇幅，以上僅保留了與似然比檢驗有關(guān)的結(jié)果。

【結(jié)論】由似然比χ2檢驗結(jié)果可知，藥物劑量對死亡率的影響具有統(tǒng)計學(xué)意義；劑量越大，死亡率越高。

5 討論與小結(jié)

5.1 討論

似然比檢驗的用途比較廣、變種比較多，掌握起來具有一定的難度。準(zhǔn)確把握該方法的關(guān)鍵在于以下兩點：其一，構(gòu)建似然函數(shù)的方法；其二，掌握常見似然函數(shù)的種類。構(gòu)建似然函數(shù)方法的要領(lǐng)是概率乘法原理，即將各觀測點上離散型隨機變量概率函數(shù)連乘或?qū)⒏饔^測點上連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)連乘；而掌握常見似然函數(shù)的種類，涉及較復(fù)雜的數(shù)理統(tǒng)計知識［2-5］，因篇幅所限，此處從略。

由前文對例2的分析結(jié)果可知，Wald χ2檢驗法的靈敏度較低，而似然比χ2檢驗法的靈敏度非常高。隨著定量自變量的離散度逐漸減小，前述兩種檢驗方法的檢驗結(jié)果之間的偏差也逐漸縮小。例如：若將例2中的藥物劑量修改為“10、24、36、48”，其他數(shù)據(jù)保持不變，則有關(guān)“檢驗全局原假設(shè)：BETA=0”的輸出結(jié)果如下：

若將例2中的藥物劑量修改為“2、4、6、8”，其他數(shù)據(jù)保持不變，則有關(guān)“檢驗全局原假設(shè)：BETA=0”的輸出結(jié)果如下：

文獻(xiàn)［1］深入分析了“Wald χ2檢驗法和似然比χ2檢驗法”這兩種檢驗方法的異同點，并揭示出“剖面似然比χ2檢驗法”的優(yōu)缺點。

5.2 小結(jié)

本文呈現(xiàn)了似然比檢驗統(tǒng)計量的3種定義，分析了它們之間的異同點；總結(jié)了6種常用的似然比檢驗方法及其應(yīng)用場合。通過兩個實例并借助SAS軟件實現(xiàn)了統(tǒng)計計算，對SAS輸出結(jié)果中與似然比檢驗有關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)解讀。