崔小斌， 季文杰

（1.南京工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)學(xué)院，南京211816；2.南京大學(xué)物理學(xué)院，南京210093）

0 引 言

“電磁場(chǎng)與電磁波”課程是大學(xué)物理類、電氣電子類和通信類專業(yè)的重要必修基礎(chǔ)課［1-6］。在此課程中，主要教學(xué)內(nèi)容都與以偏微分方程組形式描述的麥克斯韋方程組有關(guān)［7-8］。對(duì)于學(xué)生來說麥克斯韋方程組過于抽象，學(xué)生很難準(zhǔn)確理解公式背后的物理內(nèi)涵和圖形。在此課程的教學(xué)中，如能將抽象的數(shù)學(xué)公式，以清晰、直觀的圖形或動(dòng)畫形式呈現(xiàn)出來，則會(huì)極大地幫助學(xué)生理解相關(guān)的物理原理和內(nèi)涵。

COMSOL Multiphysics軟件是基于有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）開發(fā)的一種求解偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值軟件，該軟件帶有的電磁波模塊可以很好地用來計(jì)算和研究電磁波的傳播。COMSOL軟件具有圖形界面直觀、參數(shù)設(shè)置簡(jiǎn)單、仿真能力強(qiáng)大等特點(diǎn)，同時(shí)帶有豐富的后處理功能，可將抽象的數(shù)學(xué)公式以各種曲線、圖片及動(dòng)畫的形式輸出與分析。目前，該軟件已被廣泛地應(yīng)用于電磁場(chǎng)與電磁波領(lǐng)域的前沿研究，例如：等離激元學(xué)［9-10］、光學(xué)超材料［11-12］等。

針對(duì)當(dāng)前“電磁場(chǎng)與電磁波”課程教學(xué)的現(xiàn)狀［13-15］，以服務(wù)課程教學(xué)為目的，探索將有限元仿真引入到課程教學(xué)。利用COMSOL軟件自帶的APP開發(fā)工具，以金屬矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁波物理性質(zhì)仿真為例，設(shè)計(jì)一個(gè)帶有圖形用戶界面（Graphical User Interface，GUI）的有限元仿真實(shí)驗(yàn)，該仿真實(shí)驗(yàn)可以清晰、真實(shí)地模擬電磁波在金屬矩形波導(dǎo)中傳播的過程，有助于學(xué)生對(duì)矩形波導(dǎo)部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。這種有限元仿真的方法也可推廣到該課程內(nèi)其余內(nèi)容的教學(xué)，對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有一定的促進(jìn)作用。

1 仿真系統(tǒng)開發(fā)

金屬矩形波導(dǎo)電磁性質(zhì)仿真系統(tǒng)主要由矩形波導(dǎo)仿真計(jì)算模塊和仿真GUI界面兩部分組成。矩形波導(dǎo)仿真計(jì)算模塊依托COMSOL軟件的有限元處理能力，保證了仿真的可靠性和運(yùn)算效率。仿真GUI界面基于COMSOL軟件APP的開發(fā)環(huán)境開發(fā)，主要包括仿真系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置和仿真結(jié)果的顯示。GUI界面提供了仿真時(shí)的圖形交互式界面，降低學(xué)生使用COMSOL軟件的要求，對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有一定的幫助。

1.1 仿真計(jì)算模型開發(fā)

利用COMSOL軟件開發(fā)矩形波導(dǎo)仿真模塊，在模型開發(fā)向?qū)е幸来芜x擇三維模型→電磁波物理場(chǎng)→頻域分析。在幾何模塊建立如圖1所示矩形波導(dǎo)模型，設(shè)置波導(dǎo)管尺寸；設(shè)置波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)材料參數(shù)；在物理場(chǎng)部分設(shè)置波導(dǎo)的邊界條件和激勵(lì)源。將波導(dǎo)壁設(shè)為理想導(dǎo)體。在波導(dǎo)沿z軸方向的兩個(gè)開口端設(shè)置兩個(gè)波導(dǎo)的端口，即：電磁波發(fā)射和接收端口。在發(fā)射端口將端口類型設(shè)為“矩形”，端口波激勵(lì)設(shè)為“開”，接收端口設(shè)置保持不變。

圖1 金屬矩形波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 仿真GUI界面開發(fā)

在仿真模型開發(fā)和測(cè)試無誤之后，利用COMSOL Multiphysics軟件的APP開發(fā)器功能，將上述模型編制成“金屬矩形波導(dǎo)電磁性質(zhì)仿真軟件”程序，并設(shè)計(jì)程序GUI界面。GUI界面主要包括參數(shù)輸入、功能按鈕和結(jié)果顯示區(qū)3部分。

參數(shù)輸入?yún)^(qū)用于輸入矩形波導(dǎo)仿真必需的參數(shù)，包括波導(dǎo)的幾何尺寸、波導(dǎo)中介質(zhì)的物理參數(shù)（相對(duì)介電常數(shù)，相對(duì)磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率）、傳播模式選擇和工作頻率。在參數(shù)輸入?yún)^(qū)下方設(shè)置了一個(gè)“計(jì)算截止頻率”按鈕，根據(jù)輸入的幾何尺寸和選定的傳播模式，點(diǎn)擊按鈕，就會(huì)顯示相應(yīng)波導(dǎo)模式的截止頻率，便于學(xué)生仿真時(shí)選擇波導(dǎo)工作頻率。

功能按鈕區(qū)包括“計(jì)算”“報(bào)告生成”和7個(gè)結(jié)果顯示按鈕。參數(shù)輸入完成后，點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，程序會(huì)按照輸入?yún)?shù)進(jìn)行計(jì)算，并將“結(jié)果”在結(jié)果顯示區(qū)顯示。7個(gè)結(jié)果顯示按鈕包括6個(gè)查看所需重要結(jié)果的按鈕和1個(gè)“動(dòng)畫”按鈕，通過點(diǎn)擊這個(gè)7個(gè)按鈕可以在設(shè)定的多個(gè)重要視角觀察波導(dǎo)內(nèi)電磁波的各種性質(zhì)。也可在結(jié)果顯示區(qū)內(nèi)用鼠標(biāo)對(duì)模型拖動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和縮放，從不同角度觀察結(jié)果。當(dāng)仿真結(jié)束時(shí)，點(diǎn)擊“報(bào)告生成”按鈕，可將仿真結(jié)果以PDF格式文件提交。

2 仿真軟件計(jì)算案例

在金屬矩形波導(dǎo)中，允許傳播的導(dǎo)行電磁波有橫電波（TE波）和橫磁波（TM波）兩種模式。由于主模在波導(dǎo)管研究中最具意義，本文基于編制的仿真軟件詳細(xì)討論TE10模式橫電波在矩形波導(dǎo)中的傳播特性，并對(duì)TM11模式橫磁波在波導(dǎo)中的傳播特性做簡(jiǎn)單介紹。為與仿真結(jié)果對(duì)照，給出金屬矩形波導(dǎo)TE10模式和TM11模式電磁波的主要理論公式。

2.1 金屬矩形波導(dǎo)電磁性質(zhì)的理論公式

如圖1所示的金屬矩形波導(dǎo)，其腔體內(nèi)為真空、波導(dǎo)壁為金屬導(dǎo)體，波導(dǎo)管矩形截面的長(zhǎng)邊尺寸為a，沿x軸方向；短邊尺寸為b，沿y軸方向。假設(shè)波導(dǎo)中導(dǎo)波的傳播方向沿z軸方向，對(duì)于角頻率為ω的時(shí)諧場(chǎng)，波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)可表示為：式為傳播常數(shù)，表征導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁場(chǎng)的傳播特性；kc為截止波數(shù)；k為傳播波波數(shù)。E（x，y）、H（x，y）為導(dǎo)波系統(tǒng)中垂直于z軸平面內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布。將式（1）代入到麥克斯韋方程組，再結(jié)合金屬矩形波導(dǎo)邊界條件，即可求解出矩形波導(dǎo)中電磁波的電磁場(chǎng)瞬時(shí)場(chǎng)分布［1］。

（1）TE10模式。利用波動(dòng)方程和邊界條件，可解析推導(dǎo)出金屬矩形波導(dǎo)中TE10波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)的理論公式［1-3］。電磁場(chǎng)各分量如下：

式中：ω為電磁波的角頻率；μ0為真空磁導(dǎo)率；H0為磁場(chǎng)強(qiáng)度分量Hz的振幅；β為相位常數(shù)。

基于式（2）并由理想導(dǎo)體表面邊界條件：

式中：n為波導(dǎo)腔壁表面的外法向單位矢量；H為內(nèi)壁表面磁場(chǎng)矢量?？梢缘玫浇饘倬匦尾▽?dǎo)的4個(gè)內(nèi)腔壁上的電流密度瞬時(shí)值：

式中，ex、ey、ez分別為沿x、y、z軸的單位矢量。

（2）TM11模式。對(duì)于TM11模式，由于Hz=0，根據(jù)波動(dòng)方程和邊界條件可得該模式下電磁場(chǎng)各分量分別為：

式中：ε0為真空介電常數(shù)；E0為電場(chǎng)強(qiáng)度分量Ez的振幅。

在矩形波導(dǎo)中，TE波和TM波電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的關(guān)系分別為：

式中，ZTE、ZTM分別為兩種模式下波阻抗。

2.2 TE10模式仿真

在參數(shù)輸入?yún)^(qū)內(nèi)，將波導(dǎo)幾何尺寸設(shè)置為：a=60 mm；b=20 mm；L=200 mm；μr=εr=1；G=0（電導(dǎo)率）。選擇計(jì)算TE10模式，點(diǎn)擊截止頻率按鈕，界面上會(huì)顯示該模式在此條件下的截止頻率為2.49 GHz。根據(jù)截止頻率，設(shè)置導(dǎo)波工作頻率為3 GHz，點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，即可計(jì)算出此頻率下TE10模式電磁波在矩形金屬波導(dǎo)管中的傳播特性。

（1）TE10模式電磁波立體圖形。點(diǎn)擊功能按鈕區(qū)中的“立體電磁場(chǎng)”按鈕，界面顯示結(jié)果如圖2所示，圖中紅色有向箭頭為波導(dǎo)管中的電場(chǎng)分布，藍(lán)色有向箭頭為磁場(chǎng)分布。箭頭方向?yàn)樵擖c(diǎn)處場(chǎng)的方向，箭頭的密度分布為場(chǎng)強(qiáng)的相對(duì)大小。

圖2 TE10模式下電磁波立體圖

由式（2）可知，TE10模式下電場(chǎng)在僅存在y方向分量，且沿z方向?yàn)橐徽也ǎc圖2中紅色箭頭顯示結(jié)果相同。由于電磁感應(yīng)，磁場(chǎng)H與電場(chǎng)E的關(guān)系滿足式（6），所以當(dāng)電場(chǎng)沿y軸方向時(shí)，磁場(chǎng)H在xz平面內(nèi)呈渦旋狀，且無y方向分量。

點(diǎn)擊“動(dòng)畫”按鈕，即可觀察TE10模式下電磁波在波導(dǎo)管沿z軸正向傳播的動(dòng)態(tài)圖像，如圖3所示。圖3（a）中，黃色箭頭處為波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)分量位于波導(dǎo)入口處的一相位，隨著波導(dǎo)內(nèi)電磁波的傳播，該相位沿著z軸方向運(yùn)動(dòng)。圖3（b）～（d）分別為該相位傳播到不同位置時(shí)的動(dòng)畫截圖。圖3（a）～（d）演示了TE10模式下電磁波在波導(dǎo)中的傳播過程。由圖3還可見，波導(dǎo)內(nèi)TE10模式電場(chǎng)分量沿z軸方向以一行波方式傳播，同時(shí)磁場(chǎng)分量伴隨著電場(chǎng)按式（6）呈渦旋狀運(yùn)動(dòng)。

圖3 TE10模式下電磁波沿波導(dǎo)管傳播的動(dòng)態(tài)圖像

（2）電場(chǎng)分布情況。為更清楚地看出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布特點(diǎn)，仿真軟件還給出了電場(chǎng)強(qiáng)度E的3個(gè)分量Ex、Ey、Ez在z=L/2處矩形波導(dǎo)橫截面上的分布圖和電場(chǎng)強(qiáng)度E在垂直于x、y、z軸的截面上的分布圖，如圖4、5所示。

圖4 電場(chǎng)強(qiáng)度分量在垂直于z軸的截面上的分布圖

由圖4（a）、（c）可見，電場(chǎng)強(qiáng)度的x和z分量Ex和Ez都為0，y分量Ey不為0，因?yàn)閷?duì)于TE10模，電場(chǎng)強(qiáng)度只有y分量，沒有x和z分量。由式（2）可知，Ey的振幅大小是的函數(shù)，這可由圖4（b）、5（a）可以看出，Ey的振幅大小沿x軸方向呈現(xiàn)出兩端弱、中間強(qiáng)的特點(diǎn)，這是因?yàn)殡妶?chǎng)在x方向會(huì)形成一駐波，在x=0、a兩個(gè)波導(dǎo)壁處為波節(jié)，中間x=a/2處為波腹。

由式（2）可知，在z軸方向上，電場(chǎng)以簡(jiǎn)諧波的行波形式傳播。圖5（b）、（c）繪制了x=a/2、y=b/2截面上沿z軸方向一個(gè)完整周期內(nèi)的電場(chǎng)分布，可見，電場(chǎng)分布與式（2）相吻合。

圖5 電場(chǎng)強(qiáng)度在垂直于z、x、y軸的截面上的分布圖

（3）磁場(chǎng)分布情況。與電場(chǎng)分量的討論類似，繪制出磁場(chǎng)強(qiáng)度H的3個(gè)分量在z=L/2處矩形波導(dǎo)橫截面上的分布和磁場(chǎng)強(qiáng)度H在y=b/2截面上的分布，如圖6、7所示。

由式（2）可知，當(dāng)電場(chǎng)E沿y軸方向時(shí)，磁場(chǎng)H在xz平面內(nèi)呈渦旋狀，且無y軸分量，結(jié)果與圖6（b）、7（b）吻合。

磁場(chǎng)分量Hx和Hz均為駐波。其中，Hx為sin（πx/a）的函數(shù)，即x=0、a處為波節(jié)，x=a/2處為波腹，由圖6（a）、7（a）可見，繪制出的Hx強(qiáng)度與式（2）吻合。而Hz為cos（πx/a）的函數(shù)，如圖6（c）、7（b）所示，x=0、a處為波腹，x=a/2處為波節(jié)，其結(jié)果也與式（2）吻合。

圖6 磁場(chǎng)強(qiáng)度分量在垂直于z=L/2平面上的分布圖

（4）管壁電流分布情況。當(dāng)電磁波在金屬波導(dǎo)管內(nèi)壁傳播時(shí)，由于磁場(chǎng)的感應(yīng)，在波導(dǎo)內(nèi)壁上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)面電流，即管壁電流。由式（3）可知，管壁電流由磁場(chǎng)產(chǎn)生，其分布取決于傳播波形的磁場(chǎng)分布。點(diǎn)擊“管壁電流”，即可繪制出如圖8所示的矩形波導(dǎo)腔壁的電流分布圖。如圖7所示，對(duì)于x=0處內(nèi)壁，在z=50 mm附近處磁場(chǎng)方向沿z軸正向，根據(jù)式（4），感應(yīng)面電流方向應(yīng)為y軸負(fù)向，與圖8所示結(jié)果相同。類似的還可討論x=0、a管壁上其他位置的電流分布。

圖7 磁場(chǎng)分量在y=b/2的平面上的分布圖

圖8 矩形波導(dǎo)內(nèi)壁電流分布圖

對(duì)于y=0、b兩個(gè)面上的電流，由于這兩個(gè)面上磁場(chǎng)呈渦旋狀分布，由式（3）可知，這兩個(gè)面上的面電流應(yīng)與磁場(chǎng)垂直，其分布應(yīng)呈從渦旋中心向外發(fā)散或向渦旋中心會(huì)聚狀，如圖8所示，其中面電流發(fā)散或會(huì)聚的狀態(tài)由磁場(chǎng)分布的旋轉(zhuǎn)方向決定。

研究管壁電流的實(shí)際意義在于：實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常在波導(dǎo)上開槽，根據(jù)需要有時(shí)盡量避免切斷管壁電流，有時(shí)又要最大限度的切斷管壁電流。通過仿真軟件，可以從圖8中清楚地看出，開槽位置在P1處沿z軸時(shí)，可以盡量避免切斷管壁電流；開槽位置在P2處沿z軸時(shí)，可以最大限度的切斷管壁電流。這些結(jié)論在仿真軟件上可以很直觀的看出來。

（5）傳播常數(shù)γ對(duì)傳播特性的影響。傳播常數(shù)γ對(duì)研究電磁波傳播非常重要，當(dāng)傳播常數(shù)γ＞0時(shí)，根據(jù)式（1），電磁波幅度隨傳播過程逐步衰減。為模擬該過程，在軟件參數(shù)輸入位置將工作頻率設(shè)為2 GHz，此時(shí)導(dǎo)波頻率小于截止頻率2.49 GHz，使得傳播波波數(shù)k大于截止波數(shù)kc，因此傳播常數(shù)γ＞0。點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，即可計(jì)算出此頻率下TE10模式電磁波在矩形金屬波導(dǎo)管中的傳播特性。如圖9（a）所示為該模式下電磁場(chǎng)立體圖，圖中電磁波進(jìn)入矩形波導(dǎo)管后，電磁波強(qiáng)度逐步衰減，不能在管中傳播。圖9（b）所示為電場(chǎng)強(qiáng)度分量Ey在x=a/2平面上沿z軸的分布，可以看出Ey幅度不再是一余弦波變化形式，而是沿z軸方向幅度逐步衰減。

圖9 傳播常數(shù)的影響

2.3 TM11模式仿真

類似的方法，可以對(duì)橫磁模主模TM11模式進(jìn)行仿真。在參數(shù)輸入?yún)^(qū)內(nèi)，選擇計(jì)算TM11模式，其他參數(shù)不變，再點(diǎn)擊“計(jì)算截止頻率”按鈕，界面上顯示該模式在此條件下的截止頻率為7.90 GHz。根據(jù)計(jì)算得到的截止頻率，設(shè)置導(dǎo)波工作頻率為9 GHz，點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，即可計(jì)算出此頻率下TM11模式電磁波在矩形金屬波導(dǎo)管中的傳播特性。

如圖10 TM11電磁波立體圖所示，磁場(chǎng)H沒有Hz分量，在xy平面內(nèi)呈渦旋狀分布。通過點(diǎn)擊“動(dòng)畫”可以觀察到，隨著電磁波在波導(dǎo)內(nèi)傳播，磁場(chǎng)在xy平內(nèi)按順、逆時(shí)針方向來回振蕩，電場(chǎng)按式（3）隨磁場(chǎng)而變化。

圖10 TM11模式電磁波立體圖

圖11為腔內(nèi)電磁場(chǎng)在x=a/2和z=L/2平面上的投影圖。由圖11（a）可見，電場(chǎng)分量Ez在y方向?yàn)轳v波，由式（5）可知Ez為sin（πx/a）的函數(shù)，即x=0、a處為駐波的波節(jié)，x=a/2處為波腹。結(jié)合圖11（a）、（b）可見，磁場(chǎng)分量在x和y方向均為駐波。其中：Hx為sin（πx/a）的函數(shù)，即x=0、a處為駐波的波節(jié)，x=a/2處為波腹；Hy為cos（πx/a）的函數(shù)，x=0、a處為駐波的波腹，x=a/2處為波節(jié)。上述結(jié)果與式（5）吻合。進(jìn)一步按照上節(jié)中的TE10仿真實(shí)驗(yàn)過程中在重要投影面對(duì)TM11模式進(jìn)行研究，可以驗(yàn)證其電場(chǎng)和磁場(chǎng)特性與式（5）理論結(jié)果吻合。

圖11 電磁場(chǎng)在x=a/2和z=L/2平面上的分布圖

3 結(jié) 語

以“電磁場(chǎng)與電磁波”課程中的金屬矩形波導(dǎo)內(nèi)容為例，設(shè)計(jì)和編制了金屬矩形波導(dǎo)有限元仿真軟件，利用該軟件可以用圖像和動(dòng)畫的方式展示波導(dǎo)內(nèi)TE10模式和TM11模式電磁波的主要物理特性。這些清晰、直觀的圖像和動(dòng)畫有助于學(xué)生理解電磁波在金屬矩形波導(dǎo)中的傳播規(guī)律、掌握金屬矩形波導(dǎo)的相關(guān)理論。這種有限元仿真的方法也可用于該課程內(nèi)其他內(nèi)容的教學(xué)，有助于加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。