趙佳　韓林　黃衛(wèi)平

摘要：提出了一種基于半矢量復(fù)模式匹配方法的類矩形波導(dǎo)模式求解方法，利用一維復(fù)模式求解和復(fù)模式匹配方法，求解包括矩形波導(dǎo)在內(nèi)的任何類矩形波導(dǎo)的電磁場分布和有效折射率。首先在波導(dǎo)一個維度進(jìn)行差分離散，得到一維復(fù)模式分布，在另一個維度利用波導(dǎo)的邊界條件和電磁場在波導(dǎo)內(nèi)的奇偶分布特性得到解析關(guān)系，最后通過求解特征矩陣得到類矩形波導(dǎo)中電磁場的分布。與傳統(tǒng)方法相比，利用復(fù)模式匹配方法求解類矩形波導(dǎo)中的模場具有計算精度高，適用范圍廣等優(yōu)點。

關(guān)鍵詞： 矩形波導(dǎo)；復(fù)模式匹配；半矢量

Abstract： In this paper， a new two dimensional rectangle-like waveguide mode based on semi-vectorial complex mode-matching-method is proposed. Utilizing one-dimensional complex modes and complex mode-matching method， the electromagnetic filed distribution and effective index of waveguide modes can be obtained. The one-dimensional mode distribution can be obtained by using difference discrete in one dimension of the waveguide and the analytic relationship of the other dimension can be solved by using the boundary condition and parity distribution characteristic of the electromagnetic field in the waveguide. The electromagnetic field can be derived by solving the eigenmatrix. Compared with the full vector method， the solution we proposed has the wide application and high accuracy.

Key words： wo-dimensional waveguide； complex mode-matching-method； semi-vector

硅基光電集成技術(shù)將光器件小型化并和微納電子器件集成到同一硅襯底上，形成一個完整的具有新型功能的新型大規(guī)模集成芯片[1-3]，是光通信技術(shù)發(fā)展的趨勢。受工藝條件限制，硅基光波導(dǎo)通常采用類矩形的結(jié)構(gòu)（條型波導(dǎo)、脊型波導(dǎo)等）[4-5]。因此，如何精確求解出波導(dǎo)中的模式，利用模式分析方法來研究硅基光電器件的光傳輸性能，從而指導(dǎo)集成芯片的設(shè)計，就變得尤為重要。常用的求解波導(dǎo)模式的方法包括：有限差分法[6]、有限元法[7]等數(shù)值計算方法，此類方法由于求解精度與網(wǎng)格尺寸有關(guān)，導(dǎo)致在高精度情況下計算量較大。為簡化波導(dǎo)分析過程，我們利用一維平板波導(dǎo)的復(fù)模式分析方法和復(fù)模式匹配的方法[8-9]建立了類矩形波導(dǎo)的半解析模式求解算法。將類矩形波導(dǎo)拆分，如圖1所示，在橫截面沿一個維度將波導(dǎo)拆分成幾個均勻的單元，每個單元作為平面波導(dǎo)來處理，求解每個單元利用完全匹配層（PML）和完美反射邊界（PRB）截斷的復(fù)模式分布[10-12]，在界面處利用電磁場的連續(xù)性進(jìn)行模式匹配，得到另一維度下的解析關(guān)系，從而求解出模場的分布和傳播常數(shù)的大小。由于大尺寸硅基光波導(dǎo)中的橫電波模式（TE）和橫磁波模式（TM）的主要場分量Ey、Hx、Hz和Ex、Hy、Ez比其他場分量大幾個數(shù)量級，以下主要針對兩種模場（TE和TM）的主要場分量進(jìn)行了分析（半矢量分析）。

1 一維平板模式

假設(shè)在一維平板波導(dǎo)中的傳播方向為u，平板波導(dǎo)的折射率只在y方向變化，結(jié)構(gòu)沿v方向是均勻的。基于半矢量分析方法，波導(dǎo)中只需考慮TE或TM分量，下文中以TE的模式為例，TM模式分析方法與TE模式分析方法一致。

TE模的3個場分量可以表示成：

2 二維平面模式

在平板波導(dǎo)的坐標(biāo)系下，電磁場的傳播方向為u，結(jié)構(gòu)沿v向均勻，折射率變化的方向為y方向。將幾個平板波導(dǎo)在xyz坐標(biāo)系下組合，如圖2所示，電磁場可沿xz平面內(nèi)的任意方向傳播，因此可將傳播常數(shù)分解到x和z方向，場分量分解到xyz坐標(biāo)系中。

對于平板波導(dǎo)TE模來說，Hy分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時保持不變，Hu和Hv分解成Hx、Hz、Ex、Ez，這5個分量稱為縱電（LSE）模。二維模式可以由許多LSE模式來組成，這些LSE模式有同樣的z向傳播常數(shù)β。

沿x方向的LSE模為：沿x正方向的傳播常數(shù)為[kTEx=（kTEu）2-β2]，其中β有正的實部和負(fù)的虛部，定義[sinθTE=βkTEu]，[cosθTE=kTExkTEu]。場分量可以表示成：

3 二維半矢量模式分解

在x方向上任意位置的半矢量模可以分解為LSE模。只考慮TE模式，二維場分布可以表示為：

4 傳輸矩陣

在單元波導(dǎo)的邊界處，電場的切向分量和磁場的法向分量是連續(xù)的，假設(shè)波導(dǎo)的邊界在x=0處，如圖3所示。界面處表達(dá)式如式（7）：

5 邊界條件和傳輸諧振條件

5.1 x =L處的邊界條件

在PML和PRB作為邊界條件的模型中，邊界為x=L。材料是均勻的，坐標(biāo)拉伸后L變成一個復(fù)數(shù)。利用邊界條件得到：

6 脊波導(dǎo)模式計算endprint

為進(jìn)一步驗證半矢量模式匹配方法解模的精確性，這里以硅光子平臺常用的脊型波導(dǎo)為例進(jìn)行對比計算。如圖4所示，脊型波導(dǎo)的上包層材料為空氣，中間芯層的材料為硅（折射率為3.47），下襯底為二氧化硅（折射率為1.44）。脊型波導(dǎo)中間高度H為0.6 μm，兩邊平板的高度h為0.4 μm，脊的寬度W為0.8 μm。進(jìn)行計算的窗口大小為3.6 μm×2.8 μm，PML的厚度為500～10i nm。計算波長為1.55 μm。計算得到的各個場分量如圖5所示。

將半矢量結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行了比較。定義折射率的相對誤差為：

[（neff，semi_vector-neff）neff ] （12）

如圖6所示，隨著脊的寬度增加，脊波導(dǎo)中的傳輸模式更接近純TE或TM模式，計算誤差會降低。隨著脊的高度增加，波導(dǎo)中的傳播模式不再是純TE或TM模，計算誤差將會增大。

7 結(jié)束語

文章中，我們提出了一種新的精確求解大截面波導(dǎo)模式的方法，相比波脊波導(dǎo)解模的經(jīng)驗公式，精度大大提高；相比數(shù)值計算方法不需要進(jìn)行網(wǎng)格剖分和迭代計算，僅需要進(jìn)行傳輸矩陣運算，內(nèi)存占用少，計算量??；相比全矢量模式解模算法復(fù)雜度降低，在波導(dǎo)截面相對較大（純TE或TM模）情況下，精度和全矢量相當(dāng)。因此在大截面波導(dǎo)器件設(shè)計過程中，用半矢量的解模算法替代傳統(tǒng)模式求解算法，在相同精度下可得到更快的計算速度。

致謝

本研究得到McMaster大學(xué)梁海波博士和山東大學(xué)孫崇磊博士的幫助，在些表示感謝。

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