李木子，許榮今，岳立娟

(東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024)

自從洛倫茲發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象以來[1]，非線性理論已成為現(xiàn)代物理學和數(shù)學的重要分支，并在多個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2].目前，吸引子主要分成兩類：自激吸引子和隱藏吸引子[3].在無平衡點、具有一個或多個穩(wěn)定平衡點、線性平衡點或曲線平衡點的系統(tǒng)中均具有隱藏吸引子[4].2013年，文獻[5]首次提出了對隱藏吸引子的嚴格數(shù)學定義，之后在一些動力學系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)隱藏吸引子和共存吸引子之間存在明顯的相關(guān)性[6-8]，因此，這樣的系統(tǒng)具有多穩(wěn)定性[9-11]，這種特性可以有效地提高系統(tǒng)的靈活性和復雜性，使得系統(tǒng)吸引子在相同參數(shù)不同初值下切換，隱藏吸引子既不具有同宿軌道也不具有異宿軌道，不能使用Shilnikov方法來驗證混沌[12-13].此外，在混沌系統(tǒng)中對僅出現(xiàn)一次的變量中引入常數(shù)使系統(tǒng)產(chǎn)生偏置，偏置可以在不影響其動態(tài)行為的情況下改變吸引子在相空間中的位置，使吸引子沿某一方向移動，在移動過程中，產(chǎn)生不同類型吸引子[14]，但目前對兩個及以上方向同時平移的研究很少.迄今為止，人們已經(jīng)在很多動力學系統(tǒng)中觀察到無平衡點的共存隱吸引子以及偏置產(chǎn)生的共存吸引子.文獻[15]基于Lorenz系統(tǒng)提出了一個沒有平衡點的超混沌系統(tǒng)，改變初值產(chǎn)生超混沌、混沌、準周期及周期的共存吸引子；文獻[16]在2015年提出了一種無平衡點的具有指數(shù)非線性項的混沌系統(tǒng)，不同于一般具有隱藏吸引子的系統(tǒng)，并通過自適應(yīng)同步實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制；文獻[17]在2019年提出了一種無平衡點四維超混沌系統(tǒng)，通過分岔圖、復雜度等討論了系統(tǒng)多穩(wěn)定性的特性；2019年文獻[18]發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)偏置產(chǎn)生共存吸引子，即通過改變引入的常數(shù)，系統(tǒng)吸引子在初始值不變的情況下就會突然改變，這與改變初始值產(chǎn)生的共存吸引子完全不同；文獻[19]在2019年提出一個具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)，同時具有多個吸引子共存、偏置和逆周期分岔的特點.共存吸引子會導致機械系統(tǒng)發(fā)生意外的災(zāi)難性行為，并出現(xiàn)在鎖相環(huán)、鉆探系統(tǒng)或電子電路中，除此之外，不同類型的共存吸引子可以適當應(yīng)用于安全通信等工程中，因此對共存吸引子的研究具有重要意義.

本文提出了一個新五維無平衡點超混沌系統(tǒng)，首先通過Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、Poincaré截面、參數(shù)盤等對系統(tǒng)進行動力學分析；其次通過相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、參數(shù)盤對初值產(chǎn)生共存吸引子和偏置產(chǎn)生共存吸引子進行分析，其中通過引入常數(shù)的偏置方法可以使吸引子同時在兩個方向上平移，在平移的過程中產(chǎn)生共存吸引子，最后通過電路仿真驗證了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性.

1 系統(tǒng)描述

1.1 新超混沌系統(tǒng)模型

本文提出的系統(tǒng)模型如下：

(1)

其中x，y，z，u，v為狀態(tài)變量，b和c為系統(tǒng)參數(shù).系統(tǒng)(1)的平衡點方程為：

y-cv=0，-bx-y-1.3yz-1.32u=0，2y2-xu-28.45=0，x+y=0，35x=0.

(2)

由35x=0，x+y=0得到x=0，y=0，代入2y2-xu-28.45=0，無法滿足等式條件，方程(2)無解，因此系統(tǒng)(1)沒有平衡點.

1.2 系統(tǒng)非線性描述

通過數(shù)值仿真，對系統(tǒng)(1)進行分析.圖1是系統(tǒng)(1)在參數(shù)取b=c=1，初值取(0.1，0.1，-5，2.5，2)時的部分三維和二維相軌跡圖，不同于已知的卷狀或翼狀吸引子，屬于新的吸引子.根據(jù)隱藏吸引子的定義，該系統(tǒng)(1)無平衡點，且存在吸引子，所以具有隱藏吸引子.其Lyapunov指數(shù)為L1=0.280 1，L2=0.029 7，L3=0.000 1，L4=-0.121 4，L5=-0.770 9.

Kaplan-Yorke維數(shù)為

(3)

計算可得分數(shù)維，且5個Lyapunov指數(shù)中L3可看作0，L1和L2是正值，L4和L5是負值，且Lyapunov指數(shù)和為負值.因此系統(tǒng)(1)是一個具有隱藏吸引子的超混沌系統(tǒng).

(a)y-z-u空間

(b)y-v平面

隨參數(shù)b和c變化的最大Lyapunov指數(shù)，如圖2所示，表明系統(tǒng)(1)在很大范圍內(nèi)存在混沌區(qū).為了進一步觀察倍周期和超混沌狀態(tài)，固定參數(shù)b=1，初值選取(0.1，0.1，-5，2.5，2).系統(tǒng)(1)隨c變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖3所示，表明系統(tǒng)(1)從倍周期過渡到混沌態(tài)和超混沌態(tài).當c取不同值時，對應(yīng)Lyapunov指數(shù)和吸引子類型如表1所示，所對應(yīng)吸引子相圖如圖4所示，表明系統(tǒng)(1)存在周期、準周期、混沌和超混沌的動力學行為.

圖2 系統(tǒng)(1)在b∈[0.1，2]，c∈[0.1，2.5]的最大Lyapunov指數(shù)

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

(a)c=0.25時x-y相軌跡圖

(b)c=0.15時x-y相軌跡圖

(c)c=0.17時x-y相軌跡圖

(d)c=0.30時x-y相軌跡圖

(e)c=0.50時x-y相軌跡圖

表1 c取不同值時的Lyapunov指數(shù)和吸引子類型

系統(tǒng)(1)的體積收縮率為

(4)

圖5 系統(tǒng)(1)的Poincaré截面

z>-0.77滿足耗散條件，包含該動力學系統(tǒng)(1)軌跡的每個體積都以t→∞的指數(shù)速率收縮至零，因此，所有軌跡最終到達吸引子.

圖5是系統(tǒng)(1)在u=0的Poincaré截面，由圖5可以看出，由于沒有平衡點的限制，Poincaré截面不同于具有一個或多個平衡點的混沌系統(tǒng)，沒有規(guī)則的分支，并且有成片的密集點，這表明系統(tǒng)(1)具有極其豐富的動力學行為.

系統(tǒng)(1)在(x，y，z，u，v)→(-x，-y，z，-u，-v)的坐標變換下，吸引子繞z軸旋轉(zhuǎn)180°.圖6為參數(shù)選取b=1，c=2時的吸引子相軌跡圖，藍色軌跡表示初始條件為(15，15，-5，-2.5，-2)的吸引子相圖，紅色軌跡表示初始條件為(-15，-15，-5，2.5，2)的吸引子相圖，表明了系統(tǒng)(1)具有對稱不變性.

(a)x-z平面

(b)y-z平面

2 共存特性

2.1 初值變化產(chǎn)生共存吸引子

系統(tǒng)(1)參數(shù)取b=c=1，初值為(m，0，0，0，0)，其中m∈[14，15]，對應(yīng)Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖7所示，在m∈[14，14.25]∪[14.52，15]系統(tǒng)處于周期態(tài)，m∈[14.25，14.52]系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).其相軌跡圖見圖8.圖8中藍色軌跡為m=14.2時吸引子軌跡，紅色軌跡為m=14.3時吸引子軌跡，系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出周期與超混沌吸引子共存.

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

(a)x-y-z平面

(b)y-z平面

系統(tǒng)參數(shù)取b=0.05，c=1，初值為(m，0，0，0，0)，其中m∈[13，15]，對應(yīng)Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖9所示.在m∈[13.68，13.87]∪[14.82，14.86]系統(tǒng)處于周期態(tài)，m∈[13.09，13.68]∪[13.87，14.82]系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其相軌跡圖見圖10.圖10中藍色軌跡為m=13.8時吸引子軌跡，紅色軌跡為m=15時吸引子軌跡，系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出周期與混沌吸引子共存.

基于以上分析研究表明，系統(tǒng)(1)可以產(chǎn)生周期與超混沌、周期與混沌吸引子共存，表現(xiàn)出復雜的動力學行為.

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

(a)x-y-z平面

(b)x-y平面

2.2 偏置產(chǎn)生共存

偏置首次是由Li提出，它是指一種在不改變系統(tǒng)解的情況下可以在動力學系統(tǒng)的解空間中移動任何吸引子的方法.將常數(shù)引入該方程式中僅出現(xiàn)一次的變量，則產(chǎn)生該變量的偏移量[20]，對應(yīng)吸引子將發(fā)生偏移.標量為負，吸引子將沿正方向移動，反之向負方向移動[21].

系統(tǒng)(1)中，變量z和v只出現(xiàn)一次，通過引入常數(shù)k和p，將產(chǎn)生變量z和v的偏移.將z替換為z+k，v替換為v+p，參數(shù)取b=c=1，系統(tǒng)(1)改寫為：

(5)

隨k和p變化的最大Lyapunov指數(shù)和第2個Lyapunov指數(shù)如圖11所示，圖11(a)表示隨著k和p變化，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)在部分區(qū)域接近0，說明該區(qū)域吸引子處于周期狀態(tài)，圖11(b)中第二大Lyapunov指數(shù)大于0的部分在與圖11(a)對應(yīng)Lyapunov指數(shù)大于0的部分相對應(yīng)，說明該區(qū)域吸引子處于超混沌狀態(tài)，并且在很大范圍內(nèi)均處于超混沌狀態(tài).圖12(a)表示k和p取不同值時對應(yīng)相軌跡圖，可以看出，隨著k和p的變化，吸引子在z和v方向上發(fā)生移動并且吸引子類型發(fā)生改變，圖12(b)中z的時域圖也表示在平移過程中，吸引子沿著吸引域交叉的邊界會成為另一種吸引子，因此偏置使系統(tǒng)產(chǎn)生周期與超混沌吸引子共存.相比于單一方向平移的系統(tǒng)，該系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出更加復雜的動力學行為.

(a)最大Lyapunov指數(shù)譜

(b)第二大Lyapunov指數(shù)譜

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

3 系統(tǒng)(1)的電路實現(xiàn)

圖13 系統(tǒng)(1)的電路圖

其中：乘法器選擇AD534，運算放大器選擇TL082CD，電源電壓為±16 V，對應(yīng)的電路狀態(tài)方程為：

(10)

其中：R3=R8=R9=R10=R11=R12=R14=R15=R16=R17=R20=R21=10 kΩ；R5=3.125 kΩ；R4=4.808 kΩ；R1=5 kΩ；R2=20 kΩ；R6=25 kΩ；R7=562.39 Ω；R13=5 kΩ；R18=1.429 kΩ；R19=15.15 kΩ；V1=1 V；C1=C2=C3=C4=C5=74 nF.

電路仿真結(jié)果如圖14所示，與數(shù)值仿真得到的相軌跡圖1相一致，證明了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性.

(a)y-z相圖

(b)y-v相圖

4 結(jié)論

本文提出的具有隱藏特性的新超混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)隨參數(shù)改變存在周期、準周期向混沌、超混沌的過渡.通過Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖的分析，表明系統(tǒng)具有豐富的動力學行為.參數(shù)不變，初值改變可以產(chǎn)生周期、混沌、超混沌吸引子共存，更為重要的是，該系統(tǒng)通過引入常數(shù)，吸引子可以同時在兩個方向上平移，參數(shù)盤顯示出在平移過程中存在周期與超混沌吸引子共存，相較于單一方向上的平移，系統(tǒng)表現(xiàn)出更加復雜的動力學特性.