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        從解題到研究
        ——“計算物理”案例式在線教學(xué)舉例

        2021-12-29 02:00:44陸愛江
        大學(xué)物理 2021年1期
        關(guān)鍵詞:學(xué)生

        陸愛江

        (東華大學(xué)理學(xué)院 應(yīng)用物理系,上海 201620)

        “計算物理”課程長期以來缺乏統(tǒng)一的授課標(biāo)準(zhǔn),而且針對不同學(xué)校的生源和學(xué)校的特色、學(xué)科發(fā)展規(guī)劃,需要講授的內(nèi)容也不盡相同,這一點從查閱到的教材情況可見一斑[1-7]. 但是筆者認(rèn)為,這門課程開設(shè)的主要目的之一,也是普遍達(dá)成共識的教學(xué)目標(biāo)之一,就是把學(xué)生從之前理論課程的學(xué)習(xí)過程中較為單一的解題、計算訓(xùn)練逐漸引導(dǎo)到對物理問題的研究討論中來,通過系統(tǒng)的訓(xùn)練初步掌握計算物理的一些典型方法. 而這門課的成功開設(shè),對學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)值分析能力都頗有裨益,在大學(xué)生學(xué)術(shù)競賽(CUPT)等賽事中也非常實用.

        隨著在線教育的不斷推廣,“計算物理”課程因其特殊性,完全適應(yīng)在線教育,老師只要在線提出問題,讓同學(xué)們針對問題展開討論和調(diào)研研究,就可以很好地開展教學(xué)活動. 同時,經(jīng)過三輪的授課摸索,筆者發(fā)現(xiàn)該課程非常適合進(jìn)行案例式授課. 在數(shù)值計算方法和算法的內(nèi)容講授完成之后,需要鍛煉同學(xué)們思考、解決一些較為實際的問題. 這些問題不要過于高深、抽象,而是要貼近生活,讓大家覺得有趣,同時又值得挖掘. 所以本學(xué)期筆者就嘗試了案例式在線教學(xué),在這里舉一個運動學(xué)的例子加以說明.

        首先通過在線展示一些圖片或者播放視頻片段介紹公路自行車運動,然后提出開放性問題:研究自行車運動員的速度和時間的關(guān)系,接下來的工作分為四個階段進(jìn)行.

        1 學(xué)習(xí)調(diào)研查證,找到動力學(xué)條件

        同學(xué)們可能會覺得不可思議,這里沒有任何數(shù)據(jù)或其他量化條件,好像無從下手. 那么可以給出一些條件,比如出發(fā)時運動員速率為4 m/s,運動員體重70 kg[7]. 那么是不是有了這些條件就可以了呢?常識告訴我們,運動員會在一定時間段內(nèi)加速,達(dá)到一個較高的速度來完成比賽,那么加速度是多大呢?

        讓學(xué)生在線做出討論——是什么決定自行車運動員的速度變化呢?以下是課堂的部分記錄:學(xué)生A說是運動員蹬踏,驅(qū)動自行車前進(jìn),所以這里應(yīng)該考慮運動員作用在自行車上的力,而這個力就是產(chǎn)生加速度的原因;學(xué)生B說自行車前進(jìn)是因為地面的摩擦力,這和我們走路是一個原理;學(xué)生C說是因為運動員蹬踏,讓輪軸轉(zhuǎn)動,輪胎有向后運動的趨勢,摩擦力向前提供動力……大家運用了學(xué)習(xí)“力學(xué)”時的知識,最終達(dá)成了一致:是運動員的行為導(dǎo)致了地面的摩擦力,而對于運動員和自行車這個整體而言,摩擦力就是合外力,是產(chǎn)生加速度的原因. 這一過程讓同學(xué)們回顧了之前學(xué)習(xí)的力學(xué)知識,并積極做出思辨和表達(dá).

        接下來,發(fā)動學(xué)生在線調(diào)研. 在運動過程中應(yīng)該如何對運動員運動素質(zhì)/能力進(jìn)行評價?通過網(wǎng)絡(luò)搜索或查閱體育類文獻(xiàn)學(xué)生們發(fā)現(xiàn),運動員的輸出功率是運動員運動能力的重要指標(biāo),好的運動員能夠具有穩(wěn)定、高效的輸出功率. 從資料中找到,一個國際比賽運動員的輸出功率可以達(dá)到400 W[7]. 而這一條件將成為量化分析的一個依據(jù).

        2 運用基礎(chǔ)知識列方程,數(shù)值計算得結(jié)果

        (1)

        (2)

        時間步長取為1 s,即可得到數(shù)值解v(t).

        請同學(xué)們把數(shù)值解和解析解作圖比較. 學(xué)生在線分享的結(jié)果如圖1所示,圓點為解析解,三角點為數(shù)值解,二者吻合很好. 此時老師指出:這一結(jié)果說明差分-歐拉方法數(shù)值求解完全適用于此類問題.

        圖1 根據(jù)式(1)解析求解(圓點標(biāo)記)和根據(jù)式(2)數(shù)值求解(三角點標(biāo)記)的速率-時間曲線

        3 啟發(fā)思考,在線討論模型的合理性

        此時老師提問:這個結(jié)果合理么?給出在線討論時間. 很多學(xué)生發(fā)現(xiàn),隨著時間的推移,這里的速率單調(diào)增,到50 s時速率接近25 m/s. 而大家調(diào)研到環(huán)法公路賽運動員的最快時速為40~50 km/h,即11~14 m/s. 圖1中的速率顯然大大超過了實際的數(shù)據(jù),而且還在隨時間遞增,顯然是不合理的.

        老師接著提問:那么造成這個不合理的原因何在呢?一定是建立的模型考慮不夠全面,比如在受力分析中是否存在遺漏?同學(xué)們的回答多種多樣. 同學(xué)A說:應(yīng)該有一個阻力,只有起到阻礙的作用才會抑制圖1中速率曲線的持續(xù)上揚. 同學(xué)B說:沒有考慮摩擦力吧!同學(xué)C說:在空氣中運動的物體必然受到空氣阻力的影響,所以會不會是因為沒有考慮空氣阻力的原因呢?

        老師第三次提出問題:應(yīng)該考慮摩擦力還是空氣阻力呢?同學(xué)們紛紛上網(wǎng)搜索,發(fā)現(xiàn)車輪滾動摩擦力很小,而空氣阻力是公認(rèn)的重要因素,甚至在阻力影響中占到85%(網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)).

        因為在線授課大都依托平臺,在線討論方便及時,這樣既增加了網(wǎng)課的互動性,又有效利用了網(wǎng)絡(luò)搜索的優(yōu)勢,學(xué)生參與度很高.

        4 修正模型進(jìn)行計算

        (3)

        數(shù)值求解留給學(xué)生完成,并在線分享. 之后教師給出解題參考:求解方程(3). 借助數(shù)值計算的方法. 用差分方法得到遞推關(guān)系

        (4)

        計算中有效橫截面積取為0.33 m2,空氣密度取為1,P由之前條件已知為400 W,系數(shù)C暫時取為1. 時間步長仍取為1 s,數(shù)值求解得到圖2中實線. 作為比較,把未考慮空氣阻力的結(jié)果也呈現(xiàn)在圖2中(虛線). 可以很清晰地看到,考慮了空氣阻力后,運動員的速率不再快速上升了,而是收斂于13.4 m/s的速率并保持穩(wěn)定. 對這一結(jié)果大部分同學(xué)們都表示認(rèn)可,因為這和實際比賽的情況接近,最終的速率和報道中的選手車速吻合度非常好.

        圖2 未考慮空氣阻力(虛線)和考慮空氣阻力(實線)時速率-時間曲線

        5 基于實驗數(shù)據(jù),調(diào)整計算參數(shù)

        謹(jǐn)慎起見,目前這個結(jié)果比較適用于短程賽,也就是運動員體力沒有明顯下降的情況. 此時老師給出文獻(xiàn)調(diào)研的結(jié)果——我國男子1 km自行車賽的數(shù)據(jù)[8],所列數(shù)據(jù)都是運動員完成比賽所花的時間.

        同學(xué)們計算出結(jié)果約為80 s,稍大于文獻(xiàn)中的運動員成績[8]. 于是有同學(xué)提出可能需要調(diào)整參數(shù)來改進(jìn)計算結(jié)果,比如中國運動員體重普遍較輕,橫截面積略小,等等因素.

        老師提出:分組進(jìn)行研究,通過控制因素法對各參數(shù)影響進(jìn)行研究. 第一組,計算運動員體重變化的影響;第二組,計算運動員橫截面積的影響;第三組,計算阻力系數(shù)的影響;第四組,計算輸出功率的影響.

        同學(xué)們的研究結(jié)果匯總展示如圖3. 圖3(a)是比較運動員體重為65 kg、70 kg、75 kg時(A=0.33 m2,C=1.0,P=400 W)的速率曲線. 可以看出,運動員的體重越大,穩(wěn)定速率越小,而體重介于65 kg~70 kg速率的變化趨勢幾乎沒有差別.

        圖3(b)比較了橫截面積為0.30 m2、0.33 m2、0.36 m2的結(jié)果(m=70 kg,C=1.0,P=400 W). 可以看出,橫截面積越小,穩(wěn)定速率越大,所以在自行車設(shè)計、騎行姿勢等方面都可以對運動員成績加以提高.

        圖3(c)比較了阻力系數(shù)為0.8、1.0、和1.2的結(jié)果(m=70 kg,A=0.33 m2,P=400 W). 可以看出,C值越大穩(wěn)定速率越小,而且這一系數(shù)比較敏感,會顯著影響成績. 而C過小,速率上升很快,偏離實際情況.

        圖3(d)比較了運動員輸出功率為350 W、400 W和450 W的結(jié)果(m=70 kg,A=0.33 m2,C=1). 可以看出,運動員的體能(輸出功率)對其成績起決定性的作用. 輸出功率大,其加速快,速率大.

        圖3 比較觀察不同參數(shù)對模型的影響

        通過對上述結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)研究,最終調(diào)整運動員體重為65 kg,橫截面積0.30 m2,輸出功率500 W,阻力系數(shù)1.0,1 km騎行時間72 s,與文獻(xiàn)吻合.

        采用上述模型,又計算了男子4 km追逐賽成績. 同學(xué)們通過計算預(yù)測的騎行時間為273 s,文獻(xiàn)給出的國際最好水平是267±4 s[9],所以該模型基本滿足計算精度要求.

        6 適當(dāng)提高,讓學(xué)生體會鉆研的樂趣

        至此題目似乎已經(jīng)完成,但老師可以再給出一篇文獻(xiàn),針對環(huán)青海湖國際公路賽的結(jié)果[10]提出新的問題:研究人員發(fā)現(xiàn),在不同階段速率有規(guī)則起伏,也就是說,在道路狀況不同的情況下運動員的騎行速度會受到明顯影響. 而且因為此類賽事騎行距離長,平均速率一般只能在11~12 m/s. 所以這個模型還需要修改才能用于研究該類型比賽,或者說還有一些因素可以加進(jìn)去以適應(yīng)問題的多樣性.

        同學(xué)們再次進(jìn)行了熱烈的討論,結(jié)論有幾個比較有代表性:

        1) 有明顯的上下坡時還應(yīng)考慮重力加速度的分量,所以力學(xué)方程應(yīng)改寫為

        (5)

        2) 輸出功率應(yīng)該不是一個常量,要根據(jù)自行車的損耗、運動員體能的下降寫成一個時間的函數(shù),即

        (6)

        3) 場地條件的不同帶來輪胎與地面的摩擦不同.

        (7)

        4) 空氣密度隨海拔、氣候情況發(fā)生變化[11].

        (8)

        隨著方程的復(fù)雜度逐漸提高,解析求解顯然無法完成,所以數(shù)值求解的重要性不言而喻.

        經(jīng)過這樣一個案例的分析解決,同學(xué)們通過查閱文獻(xiàn)、編程計算、作圖、分析歸納等,初步體驗了如何將物理問題深入化,對于“計算物理”內(nèi)容的掌握具有積極的作用. 而在線教育方便同學(xué)們做出討論和查找資料. 趁此機會,老師可以教會學(xué)生對電子資源,如知網(wǎng)等平臺的搜索使用. 而為了方便討論,同學(xué)們也體會到用圖表而不是羅列數(shù)據(jù)來說明問題,無形中也強化了大家作圖的技巧. 如果在課程中反復(fù)地訓(xùn)練和強化這些技能,無疑對學(xué)生們分析問題、解決問題的能力會有所提高. 所以筆者推薦在“計算物理”類專業(yè)課程的在線授課中,開展案例式教學(xué)的探索.

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