白占武，閻占元

(華北電力大學 數(shù)理系，河北 保定 071003)

氦原子能級結構是多電子原子能級結構的基礎, 因而一直是人們感興趣的研究對象.計算主要采用變分法和微擾法.變分法求解的關鍵是選取合適的試探波函數(shù).因此大量研究通過設計試探波函數(shù)并增加變分參數(shù)的個數(shù)來提高計算精度.例如,文獻[1]結合物理圖像提出二參數(shù)變分法并計算出類氦原子的基態(tài)能量.計算得到的基態(tài)能量與實驗值的相對誤差為0.95 %.文獻[2]基于Hylleraas 變分波函數(shù)得到氦原子的基態(tài)能量.利用 Mathematica 軟件的符號計算功能求積分和解行列式方程,采用11項展開的Hylleraas波函數(shù)進行計算,得到的基態(tài)能量的理論值和實驗數(shù)據(jù)誤差小于0.04 ‰.文獻[3]通過顯式考慮電子間關聯(lián)效應,用變分法計算了氦原子和類氦離子的基態(tài)能量,氦原子基態(tài)能量的理論值和實驗數(shù)據(jù)誤差為0.42 %.文獻[4]用九個類氫原子波函數(shù)組合成試探波函數(shù),用變分法近似計算了氮原子基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能級;1S2S兩個能級與實驗數(shù)據(jù)誤差分別為2.4 %和4.8 %.文獻[5]基于拉卡方法,用兩參數(shù)變分法計算了氦原子低激發(fā)態(tài)(電子組態(tài)為 1s2s, 1s2p 等)的能量;1S2S兩個能級與實驗數(shù)據(jù)的誤差分別為0.52 %和1.04 %.

與變分法不同,微擾法求解的關鍵是微擾項要足夠小.在處理類氦原子問題時,通常將電子間的相互作用能看作微擾項,但是實際上該相互作用能并非很小.在實際應用中,變分法用得比微擾法廣泛得多，主要是因為微擾法計算上的困難.在進行能量的二級或更高級的微擾修正的計算中,必須計算遍及無窮個不連續(xù)態(tài)的求和以及遍及所有連續(xù)態(tài)的積分, 而這些計算是非常困難甚至是不可能的.但是,微擾法規(guī)范的計算可以系統(tǒng)地改進計算結果.文獻[6]用微擾法計算的基態(tài)能量與實驗數(shù)據(jù)誤差為5.3 %.文獻[7]將變分法與微擾法相結合,利用低級微擾的能量和波函數(shù),用變分方法得到了下一級微擾的能量和波函數(shù).

本文將變分法與微擾法相結合.首先用變分法計算氦原子第一激發(fā)態(tài)1S2S的兩個能級,再進行微擾計算.由于變分法是用帶參數(shù)的可解哈密頓量本征函數(shù)去逼近原哈密頓量的本征函數(shù),再將剩余哈密頓量的矩陣元看做微擾將是一個好的近似.我們給出了微擾矩陣元的解析表達式,輔助以matlab數(shù)值計算,得到了二級微擾近似下的能量.

1 變分法計算

考慮到氦原子中另外一個電子的屏蔽作用，將核電荷數(shù)λ作為一個變分參數(shù).哈密頓量的可解部分取為(原子單位)

(1)

總哈密頓量：

(2)

其中

(3)

考慮到1S2S態(tài)自旋波函數(shù)有對稱(正氦)、反對稱(仲氦)兩種形式,相應的空間波函數(shù)有反對稱、對稱兩種形式.

(4)

(5)

λ1=1.8497，λ2=1.8145

及

(6)

上述變分法的結果已包含了能量的一級微擾修正.

2 變分微擾計算

下面計算能量的二級微擾修正.將徑向波函數(shù)寫成如下形式

(7)

其中

ξ1=2λr1/m,ξ2=2λr2/n

C(ml,i)是合流超幾何函數(shù)F(-m,2l+2,ξ1)的展開系數(shù)【8】,C(nl,j)類似.這樣

R10(r1)=N10e-mξ1/2,

(8)

對于未對稱化的波函數(shù),微擾矩陣元的解析表達式為

(9)

(10)

(11)

其中dk(a,k)=a(a-1)...(a-k).

考慮波函數(shù)的對稱性,當m≠n時,有

(12)

(13)

(14)

當m=n時,

(15)

能量的二級微擾修正為

(16)

(17)

3 總結