彭永剛

(1.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用物理系，江蘇 南京 210003；2.江蘇省新能源技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210003)

當(dāng)今的筆記本電腦、臺(tái)式機(jī)和服務(wù)器所提供的中央處理器稱為經(jīng)典計(jì)算機(jī)，與量子計(jì)算機(jī)進(jìn)行對(duì)比，由晶體管制成的經(jīng)典計(jì)算機(jī)的功能是通過(guò)操作0或1的數(shù)據(jù)位(比特)來(lái)執(zhí)行計(jì)算的，而量子計(jì)算機(jī)是利用量子力學(xué)的性質(zhì)(即量子態(tài)相干疊加性質(zhì)和量子糾纏性質(zhì))以不同的方式執(zhí)行計(jì)算的，從而比經(jīng)典計(jì)算機(jī)更有效地執(zhí)行計(jì)算，量子計(jì)算機(jī)可以在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬，但模擬將花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間和大量?jī)?nèi)存，因此，經(jīng)典計(jì)算機(jī)只能模擬小量子比特?cái)?shù)的量子算法.經(jīng)典計(jì)算機(jī)的邏輯運(yùn)算與算法運(yùn)算不依賴于它們的硬件實(shí)現(xiàn)，在理想量子計(jì)算機(jī)中，量子比特被認(rèn)為是理想的雙態(tài)量子系統(tǒng)，量子算法是由一序列基本操作(幺正變換) 的乘積構(gòu)成，量子算法的運(yùn)行結(jié)果不依賴于量子計(jì)算機(jī)的具體物理實(shí)現(xiàn)，一臺(tái)物理上實(shí)現(xiàn)的量子計(jì)算機(jī)是一個(gè)多體量子系統(tǒng)，其量子比特的內(nèi)在量子動(dòng)力學(xué)性質(zhì)對(duì)其運(yùn)算的結(jié)果是很重要的，考慮兩個(gè)邏輯上獨(dú)立的操作O1和O2，在理想量子計(jì)算機(jī)上，執(zhí)行這兩個(gè)相互獨(dú)立邏輯操作的順序并不重要，因?yàn)镺1O2=O2O1，然而在物理實(shí)現(xiàn)的量子計(jì)算機(jī)上有時(shí)相互獨(dú)立邏輯操作順序是至關(guān)重要的，在有些情況下，O1O2≠O2O1，改變量子算法的邏輯操作序列的順序物理實(shí)現(xiàn)的量子計(jì)算機(jī)就會(huì)給出錯(cuò)誤結(jié)果，這個(gè)問(wèn)題是不能通過(guò)量子糾錯(cuò)和量子容錯(cuò)解決的，我們把這個(gè)問(wèn)題稱為量子程序問(wèn)題[1-3].

已經(jīng)提出實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的物理方案有超導(dǎo)量子計(jì)算方案[4]、離子阱方案[5]、腔量子電動(dòng)力學(xué)方案[6]、核磁共振方案[7]以及量子點(diǎn)方案[8]等，這些量子計(jì)算機(jī)物理實(shí)現(xiàn)方案，各有各的優(yōu)勢(shì)，都存在需要攻克的技術(shù)難題，目前量子計(jì)算研究的核心內(nèi)容主要是量子計(jì)算機(jī)的物理實(shí)現(xiàn)和可用量子算法的研究.

在量子計(jì)算機(jī)的物理實(shí)現(xiàn)上出現(xiàn)的量子程序問(wèn)題是由于我們處理的是有相互作用的量子客體，對(duì)量子計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)量子比特之間會(huì)交換信息，我們以核磁共振量子計(jì)算機(jī)為例來(lái)說(shuō)明量子程序問(wèn)題，用射頻脈沖磁場(chǎng)調(diào)控一個(gè)核自旋狀態(tài)而不影響其它核自旋的狀態(tài)是很困難的，在調(diào)控某一核自旋時(shí)，其它核自旋的狀態(tài)也發(fā)生改變，沒(méi)有一般規(guī)則預(yù)先知道量子算法中哪個(gè)基本操作、何種操作順序會(huì)產(chǎn)生量子程序問(wèn)題，導(dǎo)致不正確的結(jié)果，目前在理論上研究量子程序問(wèn)題的唯一方法就是執(zhí)行量子算法的數(shù)值計(jì)算來(lái)研究量子程序問(wèn)題.

從理論上講量子算法是由一序列基本操作(幺正變換)的乘積構(gòu)成，從量子計(jì)算機(jī)核磁共振物理實(shí)現(xiàn)上說(shuō)實(shí)現(xiàn)量子算法就是把一序列基本幺正變換編譯成現(xiàn)代超導(dǎo)核磁共振譜儀上能夠直接執(zhí)行的核磁共振脈沖序列.我們討論量子處理器是零溫度且與環(huán)境沒(méi)有耦合的量子系統(tǒng)，即模擬零溫度封閉量子系統(tǒng)的量子算法核磁共振實(shí)現(xiàn).本文從兩量子位的核磁共振量子處理器的物理模型出發(fā)，利用Raedt[9]小組提出的自旋-1/2代數(shù)理論，根據(jù)量子控制非門(mén)的定義，介紹核磁共振實(shí)現(xiàn)量子控制非門(mén)邏輯上等價(jià)的4種不同核磁共振脈沖序列的設(shè)計(jì)過(guò)程，根據(jù)Grover量子算法原理，介紹了核磁共振實(shí)現(xiàn)兩量子位Grover量子算法邏輯上等價(jià)的兩種不同核磁共振脈沖序列設(shè)計(jì)過(guò)程，通過(guò)數(shù)值求解含時(shí)薛定諤方程等價(jià)于執(zhí)行量子控制非門(mén)和兩量子位Grover量子算法的物理實(shí)現(xiàn)過(guò)程，演示量子控制非門(mén)和兩量子位Grover量子算法呈現(xiàn)的量子程序問(wèn)題，分析與討論了產(chǎn)生量子程序問(wèn)題的原因.

1 量子算法核磁共振脈沖序列的設(shè)計(jì)

1.1 兩量子位核磁共振量子處理器的物理模型

一個(gè)三氯甲烷(CHCl3)分子中，氫1H和碳13C原子的核自旋均為1/2，可作為一臺(tái)兩量子位的核磁共振量子處理器，在均勻磁場(chǎng)(靜磁場(chǎng))和外加射頻磁場(chǎng)(振蕩磁場(chǎng))中，這個(gè)核自旋1/2兩量子位系統(tǒng)的哈密頓量[7,9,10]表示為

(1)

1.2 單量子位邏輯門(mén)核磁共振實(shí)現(xiàn)

(2)

單個(gè)核自旋受到沿著z軸的均勻磁場(chǎng)和沿x軸的射頻脈沖磁場(chǎng)作用，其狀態(tài)隨時(shí)間的演化，遵守含時(shí)薛定諤方程：

(3)

(4)

自旋繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，需要在y軸上施加射頻脈沖磁場(chǎng). 核自旋繞x和y軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)π/2的操作可表示為：

(5)

(6)

1.3 量子控制非門(mén)核磁共振實(shí)現(xiàn)不同脈沖序列的設(shè)計(jì)

量子計(jì)算中兩核自旋之間通過(guò)核自旋與核自旋的相互作用交換量子信息，核自旋1和核自旋2之間的相互作用受控相移門(mén)[11]為

(7)

用直積方法定義兩量子位邏輯門(mén)：

X1=X?I

(8)

Y2=I?Y

(9)

設(shè)兩核自旋系統(tǒng)的初始波函數(shù)為

|ψ〉=a0|00〉+a1|01〉+a2|10〉+a3|11〉

(10)

(eiφ00c0+eiφ01c1)|01〉+

(eiφ10c2-eiφ11c3)|10〉+

(eiφ10c2+eiφ11c3)|11〉]

(11)

其中：c0=a0+a1，c1=a1-a0，c2=a2+a3，c3=a3-a2，由于量子控制非門(mén)的要求是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝缓俗孕幱趹B(tài)|1〉時(shí)，才翻轉(zhuǎn)第二核自旋狀態(tài)，這要求：φ00=φ01，式(11)改為

eiβ(a2cosα+ia3sinα)|10〉+

eiβ(a3cosα+ia2sinα)|11〉]

(12)

式中β=α+φ11-φ00，α=(φ10-φ11)/2,eiφ00是無(wú)關(guān)緊要的整體相位因子，根據(jù)伊辛模型：

(13)

執(zhí)行受控相移門(mén)I12=e-iτH,則:φ00=τ(J/4+h),φ01=φ10=-τJ/4,φ11=τ(J/4-h)，考慮到φ00=φ01，式(12)改寫(xiě)為

e-iα(a2cosα+ia3sinα)|10〉+

e-iα(a3cosα+ia2sinα)|11〉]

(14)

(15)

(16)

τJ=-π

(17)

τ表示量子處理器在沒(méi)有外界射頻磁場(chǎng)作用時(shí)，兩量子位系統(tǒng)的狀態(tài)在哈密頓量式(13)的支配下，隨時(shí)間演化的時(shí)間間隔.

在伊辛模型式(13)中兩個(gè)核自旋感受到相同的靜態(tài)磁場(chǎng)，但實(shí)際上兩個(gè)核自旋感受到的是不同的靜態(tài)磁場(chǎng)，這個(gè)靜態(tài)磁場(chǎng)為

(18)

(19)

(20)

(21)

1.4 兩量子位Grover算法核磁共振實(shí)現(xiàn)不同脈沖序列的設(shè)計(jì)

首先制備初始態(tài)|00〉為均勻疊加態(tài)|s〉核磁共振脈沖序列為

(22)

其中，Wj是作用在第j個(gè)量子位上的WH變換.

兩量子位搜索量子算法的查詢算符[12,13]為

Ua=I-2|10〉〈10|

(23)

分兩步來(lái)實(shí)現(xiàn)，首先讓系統(tǒng)核自旋之間的相互作用(式(1)的第一項(xiàng))隨時(shí)間自由演化(不加射頻脈沖磁場(chǎng))一段時(shí)間t，兩量子位之間相互作用隨時(shí)間演化算符[12]為

(24)

eiπ/4|10〉+e-iπ/4|11〉)

(25)

(26)

所以，

(27)

構(gòu)造出查詢算符Ua核磁共振脈沖序列為

(28)

因?yàn)椋?/p>

(29)

同理可構(gòu)造出查詢算符另一個(gè)核磁共振脈沖序列：

(30)

在量子搜索算法中的平均值反轉(zhuǎn)算符[12,13]為Us=2|s〉〈s|-I，對(duì)于兩量子位量子搜索算法平均值反轉(zhuǎn)算符為

(〈00|+〈01|+〈10|+〈11|)]-I

(31)

Us可表示為WH變換、條件相移變換P和另一個(gè)WH變換的乘積：

Us=W1W2PW1W2

(32)

用于構(gòu)造Ua的脈沖序列方法也適用于條件相移門(mén)P，構(gòu)造條件相移門(mén)P的脈沖序列為

(33)

Grover量子算法迭代算符[10,11]為U=UsUa，在|s〉態(tài)中搜索|10〉態(tài)的迭代算符U2的完整脈沖序列為

U2=W1W2PW1W2Ua

(34)

(35)

(36)

考慮到兩個(gè)核自旋感受到不同的靜態(tài)磁場(chǎng)的事實(shí)，需要對(duì)G(π)算符進(jìn)行修改：

(37)

應(yīng)該改寫(xiě)為

(38)

其中參數(shù)：

τ=-π/J

(39)

(40)

(41)

邏輯上等價(jià)的迭代算符的另一個(gè)核磁共振脈沖序列：

(42)

1.5 量子算法核磁共振脈沖序列參量設(shè)定

在理論研究工作中，采用文獻(xiàn)[7]中參數(shù)取值：

(43)

(44)

(45)

采用自然單位,令?=1,這時(shí)兩個(gè)核自旋處于一個(gè)靜態(tài)磁場(chǎng)和一個(gè)射頻正旋磁場(chǎng)中，在旋轉(zhuǎn)參考系[14]中計(jì)算，當(dāng)射頻磁場(chǎng)與核自旋1發(fā)生共振，即

(46)

這時(shí)式(45)的解為

(47)

(48)

式(48)表明：要使核自旋1繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，但又不會(huì)影響核自旋2的狀態(tài)，要求射頻脈沖作用時(shí)間t1滿足：

(49)

(50)

式(47)中第一個(gè)因子會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相移，要消除這個(gè)相移對(duì)核自旋狀態(tài)的影響，要求：

(51)

k1是正整數(shù). 對(duì)脈沖參數(shù)的最后一個(gè)限制來(lái)自事實(shí)：

(52)

且0<γ<1，要使核自旋1繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，但又不會(huì)影響核自旋2的狀態(tài)的條件式(49)—式(52)，可得

(53)

同理，要使自旋2繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，而又不會(huì)影響自旋1的狀態(tài)，可得

(54)

其中k2、n2是正整數(shù)，式(53)和(54)無(wú)精確解，但在k1和k2很大，γ為有理數(shù)時(shí),令γ=N/M，0>1，那么k1=kMN2和k2=kNM2將使方程式(53)和式(54)產(chǎn)生足夠精確解，相關(guān)物理量由下式給出：

(55)

表1 k=1核磁共振脈沖序列參數(shù)執(zhí)行時(shí)間τ取值 /4πns

表2 k=1量子控制非門(mén)脈沖序列參數(shù)J和h取值 /π×109 Hz

表3 k=1 Grover量子算法脈沖序列參數(shù)J和h取值 /π×109 Hz

2 量子算法的脈沖序列設(shè)計(jì)程序問(wèn)題演示與分析

2.1 含時(shí)薛定諤方程的數(shù)值求解方法

量子算法核磁共振物理實(shí)現(xiàn)脈沖序列設(shè)計(jì)程序問(wèn)題可用含時(shí)薛定諤方程進(jìn)行數(shù)值求解來(lái)演示，等價(jià)于執(zhí)行量子算法. 核自旋系統(tǒng)隨時(shí)間的演化遵守含時(shí)薛定諤方程[15]：

(56)

采用自然單位，令?=1，|Φ(t)〉描述整個(gè)量子計(jì)算機(jī)在時(shí)刻t的狀態(tài)，H(t)為哈密頓量，利用第j量子位z方向分量的期望值,定義：

(57)

Qj是自旋1和自旋2的z分量期望值有關(guān)的量，Qj=1表示|1〉，Qj=0表示|0〉.

下面用Suzuki對(duì)稱乘積[16,17]公式取代每個(gè)

U(t(n+1)δ,t+nδ)：

e-iδHz/2e-iδHy/2e-iδHxe-iδHy/2e-iδHz/2

(58)

e-iδHy(t+(n+1/2)δ)/2e-iδHx(t+1/2)δ·

e-iδHy(t+(n+1/2)δ/2e-iδHz(t+(n+1/2)δ/2

(59)

其中

(60)

2.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果和量子程序問(wèn)題演示與分析

圖1 k=1, 執(zhí)行CNOT1|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖2 k=1，執(zhí)行CNOT2|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖3 k=1時(shí),執(zhí)行CNOT3|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖4 k=1時(shí),執(zhí)行CNOT4|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖5 k=32, 執(zhí)行CNOT1|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖6 k=32時(shí),執(zhí)行CNOT2|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖7 k=32，執(zhí)行CNOT3|11〉運(yùn)算時(shí)，Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖8 k=32，執(zhí)行CNOT4|11〉運(yùn)算時(shí),Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖9 k=4時(shí), U2搜索|10〉時(shí)，Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖10 k=4時(shí)，搜索|10〉時(shí)，Q1和Q2隨時(shí)間演化

圖11 k=32時(shí)，U2搜索|10〉時(shí)，Q1和Q2 隨時(shí)間演化

圖12 k=32時(shí)，搜索|10〉時(shí)Q1和Q2隨時(shí)間演化

表4 k=1核磁共振脈沖序列執(zhí)行時(shí)間τ、時(shí)間步長(zhǎng)δ和執(zhí)行步數(shù)m/4πns

表5 k= 1、4、8、32時(shí)，控制非門(mén)四種不同脈沖序列作用于|11〉后Q1和Q2的期望值

表6 k= 1、2、8、32時(shí)，Grover算法的兩種不同脈沖序列搜索|s〉態(tài)中后|10〉 Q1和Q2的期望值

3 結(jié)論

在理論上量子處理器的相互獨(dú)立基本操作(幺正變換)是可對(duì)易的，在物理上實(shí)際執(zhí)行這些基本操作時(shí)，在有些情況下相互獨(dú)立基本操作(幺正變換)并不對(duì)易，從而造成量子計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)，我們稱之為量子程序問(wèn)題，量子程序問(wèn)題產(chǎn)生的原因是：1) 理論上一個(gè)和兩個(gè)量子比特完美的量子邏輯門(mén)操作與其物理實(shí)現(xiàn)的操作之間是有差異的；2) 使核自旋1發(fā)生共振射頻脈沖磁場(chǎng)不僅會(huì)改變核自旋1的狀態(tài)，也會(huì)改變核自旋2的狀態(tài)；3) 射頻脈沖作用時(shí)間遠(yuǎn)小于核自旋之間相互作用時(shí)間，在理論工作中核自旋之間相互作用對(duì)核自旋在射頻脈沖作用下隨著時(shí)間演化的影響可以忽略，但實(shí)際上會(huì)對(duì)兩個(gè)核自旋之間產(chǎn)生相對(duì)相移. 據(jù)我們所知，目前理論上研究量子程序問(wèn)題的唯一方法，是利用含時(shí)薛定諤方程數(shù)值求解，通過(guò)執(zhí)行數(shù)值計(jì)算來(lái)模擬量子算法來(lái)研究量子程序問(wèn)題.