文｜金群英

小學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系的過程中，從“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)換到“代數(shù)思維”是一個(gè)質(zhì)的飛躍。用代數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問題，往往簡(jiǎn)單便捷，不但能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，還可使數(shù)學(xué)更貼近生活實(shí)際，體現(xiàn)其實(shí)用的特點(diǎn)，同時(shí)有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。在小學(xué)階段，教師應(yīng)盡早有意識(shí)地根據(jù)教材內(nèi)容讓學(xué)生接觸一些簡(jiǎn)單的代數(shù)知識(shí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時(shí)多運(yùn)用代數(shù)的思維方式。這樣不但對(duì)算術(shù)方法能夠起到一定的鞏固和加深作用，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，而且還對(duì)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力起到一定的促進(jìn)作用。人教版五年級(jí)上冊(cè)的簡(jiǎn)易方程單元，是學(xué)生在小學(xué)階段正式學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的單元，根據(jù)多年一線教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為在實(shí)際教學(xué)中，可以從以下四個(gè)方面滲透代數(shù)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維能力。

一、領(lǐng)會(huì)數(shù)與式的相等關(guān)系，為代數(shù)思維做鋪墊

學(xué)生在還沒有形成代數(shù)思維時(shí)一直認(rèn)為：算式就是算式，數(shù)字就是數(shù)字，凡是列出的算式就是要算出結(jié)果的，一定是有一個(gè)得數(shù)的。但實(shí)際上一個(gè)字母、一個(gè)式子或含有字母的式子都是可以用來(lái)表示一個(gè)數(shù)量的。

例如：有40 個(gè)餃子，如果每盤裝10 個(gè)，可以裝幾盤？

用40÷10=4（盤）來(lái)解答，結(jié)果是4 盤，這就是學(xué)生認(rèn)為的正確答案。如果僅用式子“40÷10”來(lái)表示盤數(shù)，學(xué)生一定會(huì)認(rèn)為是錯(cuò)的，因?yàn)檫€沒有算出具體的得數(shù)。學(xué)生的潛意識(shí)中認(rèn)為一個(gè)算式與一個(gè)數(shù)字是不一樣的，并沒有去思考算式和得數(shù)之間的關(guān)系。受思維定勢(shì)影響，學(xué)生在初步學(xué)習(xí)代數(shù)的知識(shí)時(shí)，對(duì)類似“有m 個(gè)餃子，如果每盤裝10 個(gè)，可以裝m÷10 盤”這樣的題中，用m÷10表示一個(gè)數(shù)量，覺得難以理解和接受。教學(xué)中經(jīng)常碰到學(xué)生疑惑地問：m÷10 是表示幾呢？這說明學(xué)生一下子還不能接受用一個(gè)式子來(lái)表示一個(gè)數(shù)的思維方式。因此，在前期學(xué)生尚未學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師就需要根據(jù)教材內(nèi)容逐步有意識(shí)地去建立“一個(gè)式子也能表示一個(gè)數(shù)”的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到式子和數(shù)之間的相等關(guān)系，一個(gè)算式經(jīng)過計(jì)算后就能得到一個(gè)數(shù)，算式實(shí)際就是數(shù)的另一種形式，數(shù)和算式是相等的。

例如：簡(jiǎn)便計(jì)算57×101。

在計(jì)算這道題目時(shí)，把101拆成了一個(gè)算式：100+1，這個(gè)算式其實(shí)就是數(shù)字101 的另一種形式。教學(xué)過程中有意識(shí)地去強(qiáng)調(diào)數(shù)和算式之間的相等關(guān)系，可以促進(jìn)學(xué)生理解代數(shù)式。另外，在解決實(shí)際問題時(shí)，為了暴露學(xué)生的思維過程和方式，在開始時(shí)采用分步列式的書寫格式，也有利于學(xué)生建立“一個(gè)算式”就是“一個(gè)數(shù)”的認(rèn)識(shí)，最后得到一個(gè)綜合算式。

例如：1 公頃松柏林每天分泌殺菌素30 千克，24.5 公頃松柏林31 天分泌殺菌素多少千克？

先讓學(xué)生分步列式24.5×30=735（千克），735×31=22 785（千克），然后指出這里的735 就是24.5×30 得到的，將735 改為24.5×30，得到一個(gè)綜合算式24.5×30×31=22 785（千克）。當(dāng)學(xué)生真正意識(shí)到算式也能表示數(shù)量的時(shí)候，他們就可以直接用算式來(lái)代替數(shù)量，從而列出綜合算式解決問題了，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。

二、滲透方程思維方式，為代數(shù)思維打基礎(chǔ)

算術(shù)思維方式和代數(shù)思維方式之間并不是互相割裂、獨(dú)立存在的，算術(shù)思維是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，代數(shù)思維是算術(shù)思維的發(fā)展。這兩種思維方式是緊密聯(lián)系，互相依存的。但是在小學(xué)階段學(xué)生還沒有正式系統(tǒng)地學(xué)習(xí)方程知識(shí)之前，學(xué)生還只會(huì)用算術(shù)思維方式去解決數(shù)學(xué)問題，尚未真正接觸和理解代數(shù)思維方式。在前期的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)接受并習(xí)慣了使用算術(shù)方法去思考、解決碰到的數(shù)學(xué)問題，形成了思維定勢(shì)。在這種情況下，要一下子讓學(xué)生采用代數(shù)的思維方式去思考數(shù)學(xué)問題，他們就會(huì)覺得既麻煩又不習(xí)慣，接受起來(lái)有一個(gè)過程?；谶@種情況，在小學(xué)低段和中段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就應(yīng)該有意識(shí)地滲透一些代數(shù)的思維方式，為高段方程的教學(xué)做鋪墊。比如，四則運(yùn)算中的等號(hào)往往被小學(xué)生當(dāng)作是計(jì)算的標(biāo)志，在學(xué)生作業(yè)中會(huì)出現(xiàn)類似16÷4＝4×6＝24 的錯(cuò)誤。筆者認(rèn)為，遇到這種情況，教師要讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)到等號(hào)實(shí)際上就是前后相等的標(biāo)志，即：16÷4 和4之間是相等的關(guān)系，但16÷4 和4×6 之間卻是不相等的，正確書寫應(yīng)該是：16÷4×6＝24。這樣就讓學(xué)生再次理解了等式的意義，也為后續(xù)學(xué)習(xí)方程做了鋪墊。當(dāng)教材中出現(xiàn)例如（）+7=12、3×（）=24、（）-7=15 這樣的算式，可以有意識(shí)地滲透用字母表示數(shù)，也可以滲透一些方程的知識(shí)。教學(xué)中遇到這樣的題型，教師可以抓住機(jī)會(huì)提前對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生意識(shí)到：未知的數(shù)也是可以和已知的數(shù)一起參加列式的。在這類問題的理解討論過程中，雖然沒有出現(xiàn)“等式”“方程”這樣的詞，但讓學(xué)生提前接觸、感受了代數(shù)的思維方式。

三、溝通算術(shù)與方程的聯(lián)系，為代數(shù)思維搭橋梁

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布之前，在小學(xué)五年級(jí)解簡(jiǎn)易方程的教學(xué)中，方程是根據(jù)四則運(yùn)算中各部分間的關(guān)系變形的。實(shí)際上用這樣的思維方式來(lái)求未知數(shù)，還是借助了算術(shù)的思路，利用了學(xué)生已有的知識(shí)，學(xué)生容易理解接受，書寫過程也簡(jiǎn)單，因而計(jì)算的正確率也高。筆者根據(jù)多年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在每次測(cè)試中，計(jì)算題類型里正確率最高的就是解方程。大多數(shù)的期末測(cè)試該題型得分率是100%。但這樣的解題方式，與中學(xué)的代數(shù)教學(xué)并不能很好地銜接，到了七年級(jí)，學(xué)生還是要重新學(xué)習(xí)用等式的基本性質(zhì)來(lái)理解方程和解方程?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布后，在方程的教學(xué)中，教材就安排了直接認(rèn)識(shí)等式的基本性質(zhì)，并運(yùn)用等式的基本性質(zhì)來(lái)理解方程并解方程，從而規(guī)避了上述弊端。

筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)存在這樣的幾個(gè)問題：

1.天平平衡的原理學(xué)生是能理解的，但如果因此就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)深刻理解了等式的性質(zhì)并能在一兩節(jié)課內(nèi)就正確熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)解各種類型的方程，那是高估了學(xué)生的認(rèn)知水平了。

2.根據(jù)等式的性質(zhì)來(lái)解方程，書寫格式復(fù)雜、等式忽長(zhǎng)忽短、對(duì)齊困難，還出現(xiàn)了更多的抄寫、計(jì)算錯(cuò)誤。根據(jù)教材要求熟練后可簡(jiǎn)寫過程，又不利于暴露思考過程，正確率不高。

3.對(duì)于a-x=b 和a÷x=b 一類的方程，人教版在前一版本教材中刻意作了回避，但實(shí)際在用方程解決問題時(shí)，未知數(shù)不可避免地會(huì)出現(xiàn)在減數(shù)、除數(shù)的位置上。回避了a－x=b 或a÷x=b 類型的方程，會(huì)影響學(xué)生對(duì)方程解題優(yōu)越性的認(rèn)識(shí)，也會(huì)使學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)的能力受挫。還會(huì)出現(xiàn)在用方程解決問題時(shí)，找到了等量關(guān)系，并據(jù)此列出了正確的方程，卻無(wú)法解此類方程，直接影響了學(xué)生運(yùn)用方程解題的信心。2013 版人教版教材對(duì)這兩個(gè)類型的題目教學(xué)作出了調(diào)整，雖沒有回避，但例題呈現(xiàn)的用等式的性質(zhì)來(lái)求解的解法繁雜、書寫步驟太多，相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)解這類方程在需要方程左右兩邊同時(shí)去掉相同的未知數(shù)時(shí)經(jīng)常判斷失誤，加之書本對(duì)該類型方程的練習(xí)量也安排不足，造成計(jì)算正確率低下，部分學(xué)生由此對(duì)解方程以及列方程解決問題產(chǎn)生畏難情緒。

4.等式基本性質(zhì)中的相等關(guān)系的對(duì)稱性，即a=b 則b=a。關(guān)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教材中沒有安排內(nèi)容進(jìn)行鋪墊、滲透，當(dāng)學(xué)生在列方程解決問題時(shí)，列出了等號(hào)右邊出現(xiàn)x 的方程時(shí)，無(wú)從下手，影響了學(xué)生解方程的技能。

筆者認(rèn)為教學(xué)中出現(xiàn)的問題，并不是運(yùn)用代數(shù)思路解方程造成的，運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程的方向肯定是正確的。在小學(xué)階段接觸和學(xué)習(xí)一些代數(shù)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解決實(shí)際問題的能力都有很大的幫助，也為學(xué)生初中階段的代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，靈活運(yùn)用教材，畢竟對(duì)于用算術(shù)方法解方程，學(xué)生是有一定基礎(chǔ)的。比如低年級(jí)的學(xué)生就已經(jīng)會(huì)算如15-（ ）=7和15÷（ ）=3 之類的題目了，到五年級(jí)學(xué)簡(jiǎn)易方程就沒有必要刻意回避了，解答a－x=b 和a÷x=b類型的方程，用算術(shù)方法理解又何妨？而且對(duì)于這兩個(gè)類型的題目，用算術(shù)方法去解比用等式的性質(zhì)去解更易于理解，書寫格式清楚，計(jì)算正確率更高。何況算術(shù)方法和代數(shù)方法本就是相通的，教學(xué)中只需溝通兩種思路，找到相同的地方即可。如解方程x－26＝15，學(xué)生自己做出了x＝15＋26，在學(xué)生理解了x－26＋26＝15＋26 之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生去尋找兩種方法的相同點(diǎn)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)際上方程左邊的－26＋26 抵消了，就剩下x＝15+26，這兩種方法確實(shí)是相通的。同理，對(duì)于其他幾種類型方程的求解過程，也可以進(jìn)行解法上的溝通。（這樣，借助等式的性質(zhì)，使學(xué)生對(duì)用各部分關(guān)系解方程有更深入的理解，不需要背關(guān)系式來(lái)解方程。還能讓學(xué)生體會(huì)到算術(shù)方法和代數(shù)之間的聯(lián)系）這樣處理后，不僅能把等式的基本性質(zhì)及運(yùn)用等式的基本性質(zhì)解方程的代數(shù)思想潛移默化地滲透給學(xué)生，還強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)用算術(shù)方法解方程的認(rèn)知。

四、體驗(yàn)順向思維方式，為代數(shù)思維導(dǎo)方向

筆者在學(xué)生時(shí)代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)深有體會(huì)的是：學(xué)了代數(shù)，就覺得數(shù)學(xué)其實(shí)很簡(jiǎn)單有趣，其中的奧妙就在于思維方式的變化。小學(xué)一直比較強(qiáng)調(diào)突出的是用算術(shù)方法解題，而到了中學(xué)則側(cè)重用代數(shù)方法思考問題。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)題，有時(shí)確實(shí)可以考倒大學(xué)生，主要倒不是題目難度高，而是要求用算術(shù)方法去解較復(fù)雜的逆向問題，推理列式是比較困難的?？梢娺@些復(fù)雜的逆向思維題目對(duì)小學(xué)生來(lái)說要求是高了些，所以有一部分學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏難情緒。但是很多逆向思考的題目，一旦采用了方程的方法來(lái)解答，數(shù)量關(guān)系就清晰明了了，理解也就不困難了。

例如：雞和兔的數(shù)量相同，兩種動(dòng)物的腿加起來(lái)共有48 條。雞和兔各有多少只？

如果不用代數(shù)的思想去思考，也不用方程的方式去解答，那推理起來(lái)就復(fù)雜困難多了，可是用方程的方法來(lái)解就簡(jiǎn)單了。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊教授說：“四則難題用代數(shù)取而代之，這是完全正確的，對(duì)于數(shù)學(xué)教育是非常重要的。”因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要突出列方程解決問題的優(yōu)越性，強(qiáng)化代數(shù)思維方式的訓(xùn)練。

根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，在小學(xué)階段對(duì)于代數(shù)思維方式的教學(xué)要求并不高，但這種思維方式是學(xué)生數(shù)學(xué)思維中不可或缺的，到中學(xué)階段它還將成為主要的思維方式。代數(shù)思維不僅為學(xué)生解決實(shí)際問題提供了不同的解題策略，還有利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展，更能幫助學(xué)生解決用算術(shù)方法難以解決的問題。作為教師，要從低年級(jí)就開始根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的接受能力，逐步有意識(shí)地去滲透代數(shù)思維方式，使學(xué)生能提前接觸這種思維方式直至真正接受并最終在解決實(shí)際問題時(shí)靈活應(yīng)用。