文｜葉 柱（特級教師）

什么是數(shù)學學習的“后半程”？或許，我們可以有兩種理解：其一，在立足教材編排體系而展開的數(shù)學學習中，“前半程”可以看作是蘊涵各種新概念、涉及各種新意義、關(guān)聯(lián)各種新思路的新授課，而“后半程”則是熟能生巧、融會貫通的練習（復習）課；其二，換個角度看，數(shù)學學習本質(zhì)上是一個“抽象——推理——應(yīng)用”的完整過程，即先從現(xiàn)實中“抽象”出數(shù)學，再通過“推理”促成數(shù)學體系的內(nèi)部發(fā)展，最后在“應(yīng)用”中回歸現(xiàn)實。所以，數(shù)學學習的“后半程”，也可視為“抽象”“推理”之后的“應(yīng)用”階段。

金雪梅、章淵兩位青年教師執(zhí)教的《“有余數(shù)的除法”綜合練習課》，是鞏固新知教學的練習課，也是解決實際問題的應(yīng)用課，在數(shù)學學習中處于典型的“后半程”。那么，怎樣走好這段“后半程”呢？下面，我想重點圍繞上面所述的第二種理解，從“強化應(yīng)用”的角度，來談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、強化應(yīng)用，需要“瞻前顧后”

從促進學生發(fā)展的角度來看，“應(yīng)用”不該是“搬用”“套用”，而該是帶著已有儲備、進入現(xiàn)實場景，并根據(jù)實際需求發(fā)掘自身潛能、調(diào)用所需資源，來解決問題、達成目的。整個過程，具有一定的靈活性與挑戰(zhàn)性。因此，在展開應(yīng)用的前夕，重視已有經(jīng)驗的激活，喚醒學生對于舊知“拿捏”的“手感”，為實際應(yīng)用做好扎實鋪墊，便顯得很有必要。

在金老師的課中，通過“分礦泉水”的數(shù)學活動，學生對于平均分的含義、有余數(shù)除法的產(chǎn)生與意義、各部分名稱及關(guān)系進行了細致梳理。這個過程并不是機械刻板的，而是饒有趣味的。教師善于通過“猜一猜，每人分到幾瓶礦泉水”“如果想要每個人再多分1 瓶，還需要增加幾瓶礦泉水”等設(shè)問，讓整個環(huán)節(jié)具有探索味與新鮮感。在我看來，這段課堂時光是“瞻前顧后”的。所謂“瞻前”，自然是指回顧了舊知；而所謂“顧后”，是鑒于后續(xù)開展解決問題的需要，開啟了“學校派7 名同學去參加數(shù)學夏令營”的應(yīng)用背景，成為了全課“情境串”的起點。再說章老師的課，通過學生自己舉例來復習舊知，這與接下來的“通過自主編題來促進應(yīng)用”在總體風格上是一以貫之的，具有整體性。

二、強化應(yīng)用，需要“眾里尋他”

兩節(jié)課里，我始終關(guān)注著學生對解題思路的闡述。金老師的課上，對于“22 名男生參加了本次夏令營活動，每間大房可以住6 人，每間小房可以住4 人。如果都住大房，最多住滿幾間？”學生回答：“22 個人，每6 人一間，可以住滿3 間，還剩4 人，也就是22÷6=3（間）……4（人）。”章老師的課上，直面“小旗按‘紅、紅、綠、藍’的顏色順序重復排列，第34 面小旗是什么顏色的？”學生回答：“34÷4=8（組）……2（面），‘紅、紅、綠、藍’4 面旗為一組，有8 組，還多2 面，也就是下一組的前2 面小旗，顏色為‘紅、紅’。”毋庸置疑，豐富多彩的情境外衣下，復雜多變的信息叢林里，藏著一顆純真的數(shù)學內(nèi)核。而解說思路的兩位學生，顯然具備了一雙透視迷霧的“火眼金睛”。

很多學生之所以懼怕解決問題（應(yīng)用題），根源在于“亂花漸欲迷人眼”，在陷入現(xiàn)實情境后，看不透、摸不著、理不清隱藏其中的數(shù)學原型，最終導致盲目列式、胡亂解答。所以，應(yīng)用的過程中，無論基于何種場景，不管面對哪種任務(wù)，“眾里尋他”是最核心的環(huán)節(jié)?！氨姟敝肛S富復雜的問題情境，“他”指純粹簡明的數(shù)學模型。前面描述思路的兩位學生，顯然已具有“眾里尋他”的基本能力。唯有不斷尋找、持續(xù)索求，學生才能逐漸擁有一雙數(shù)學慧眼。

當然，從更高要求看，兩位教師在“眾里尋他”的既定方向上，想得可以更深一些，教得可以更準一點。

1.洞察“除法模型”。

兩位教師都非常重視讓學生在列式解答后闡述思路、促進理解，這當然很重要。但另一方面，面對某個現(xiàn)實問題，我們在動筆列式前，怎么判定這個問題是否適合用有余數(shù)的除法來解決？從某種意義上講，“解前預判”比“解后詮釋”更重要。所以幫助學生從整體上把握現(xiàn)實問題的數(shù)學本質(zhì)，兩節(jié)課都還有改進的空間。當然，“是否有余數(shù)”，算了才知道，所以，“解前預判”的核心指向便成為了：這個問題為什么是除法問題？像“礦泉水一共有25 瓶，平均分給7 名同學，能剛好分完嗎？”就是“把25 平均分成7 份，求每份數(shù)”，用除法；像“小旗按‘紅、紅、綠、藍’的顏色順序重復排列，第34面小旗是什么顏色的”就是“求34 里面包含著幾個4”，用除法……在遇見這些現(xiàn)實問題之初，盡管還未動筆解答，引領(lǐng)學生形成“解前預判”的意識，敏感分辨其中所含的“平均分成幾份”“包含幾個幾”的數(shù)學本質(zhì)，進而萌生“用除法解決”的策略傾向，是“眾里尋他”的應(yīng)有之義。

2.領(lǐng)悟“有余結(jié)構(gòu)”。

兩節(jié)課都涉及到了一個綜合性很強的實際問題：“22 名男生參加了本次夏令營活動，每間大房可以住6 人，每間小房可以住4 人。怎樣安排房間，剛好能住滿？”很多學生在解答時，也會通過“湊數(shù)”來推進：假設(shè)大房住滿1 間，還要安排16 人，正好小房住滿4 間；假設(shè)大房住滿2 間……這個過程中，“有序思考”確實顯示了迷人魅力。那么，問題來了，在“用有余數(shù)的除法解決問題”的課時中，這道題的價值何在？金老師在教學過程中有一段引導：“觀察‘22÷6=3（間）……4（人）’這個算式，余數(shù)是4，剛好可以再住1 間小房；觀察‘22÷4=5（間）……2（人）’這個算式，余數(shù)是2，我們可以減少一間小房，多出的4 人加余下的2 人剛好6 人，加1 間大房?！睆闹校覀兪欠窨梢杂写斯沧R：“有余數(shù)的除法”并非解決這個問題的唯一方法，但是，明確了本題的“有余結(jié)構(gòu)”，就能在解決問題時多一種思維模式、多一根研究拐棍、多一條推理路徑，學生也就多了一份實實在在的解題能力。事實上，很多小學階段的挑戰(zhàn)性問題都可以依托其中的“有余結(jié)構(gòu)”、用除法模型來幫助思辨。因此，兩位教師應(yīng)始終注意通過“點睛式”教學語言，引領(lǐng)學生感受到“有余數(shù)的除法”在解決問題過程中的重要價值。

三、強化應(yīng)用，需要“留存經(jīng)驗”

應(yīng)用的歸宿在于解決問題，也在于“學會應(yīng)用”。因此，不能只顧低頭解題、盲目操練，還需要適時停下來，望一望來路，悟一悟體會，理一理心得，不斷積蓄、豐富數(shù)學應(yīng)用的主體經(jīng)驗。這個過程中，尤其要重視以下經(jīng)驗的留存：

1.梳理信息的經(jīng)驗。

在一個實際問題中，信息通常是原生態(tài)的，且“披著情境外衣”，可能多余或不足。如何讀懂、看透這些信息，對于解決問題很重要，是一項不可或缺的基本功。上文提到，用有余數(shù)的除法解決問題的過程中，從整體上把握“除法模型”、敏銳而準確地實現(xiàn)“眾里尋他”是關(guān)鍵所在。而覺察到實際問題所包含的“除法模型”，必須建立在對每個信息的準確理解及相互關(guān)聯(lián)的有效把握上。因此，解讀信息時，教學節(jié)奏要適當放慢，有意放大“對照曾經(jīng)解決過的相似問題來理解信息”“畫示意圖來理解信息”等鮮活經(jīng)驗，并推而廣之，促進每位學生的經(jīng)驗優(yōu)化。

2.把握問題的經(jīng)驗。

兩節(jié)課中，都有“題目的所有條件不變，換一個問題來解決”的環(huán)節(jié)。對于這樣的設(shè)計，個人深表贊同，有利于修煉學生對直面問題指向的敏感性。問題指明了解答的終極任務(wù)，聚焦了應(yīng)用的核心焦點，所以，看懂、領(lǐng)會問題很重要。金老師、章老師都很重視讓學生用自己的語言來說明兩個問題的差異，呈現(xiàn)了一種“同伴分享，平等互教”的和諧氛圍。只不過，相對而言，教師的點撥跟進需要適當加強。比如，學生交流后，教師可以故作驚訝：“哦，我明白了，‘最多住滿幾間’關(guān)注的是房間，要做到‘每間都無空位’，可以不管余下的人；‘至少需要幾間’關(guān)注的是人，要做到‘每人都不落下’，所以余下的人要再加1 個房間?！庇辛诉@樣的適度提煉，“學”與“教”的匹配更緊密，更能促進學生認知水平的提升。

3.反思錯例的經(jīng)驗。

兩個課例中，幾乎沒能看到“錯誤”的影子。而事實上，實際應(yīng)用本身就是一件有難度的事兒，具有挑戰(zhàn)性，容易出現(xiàn)錯誤。且真正意義上的學習過程，是繞不開“錯誤”的。很多時候，“錯誤”是學生認知改造的重要起點。所以，教師要進一步樹立“錯誤是資源，錯例能育人”的意識，重視真實的錯誤，善用典型的錯例，引領(lǐng)學生解讀錯例、反思錯誤，進而改進理解、撥正思路。