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        無處安放的“蘋果” 各得其所的“思維”
        ——以特級(jí)教師潘小明執(zhí)教《放蘋果》一課為例

        2021-12-28 10:50:31朱錦雯
        關(guān)鍵詞:思維能力思維數(shù)學(xué)

        文|朱錦雯

        《放蘋果》這一教學(xué)內(nèi)容是滬教版三年級(jí)下冊(cè)最后一個(gè)單元中“數(shù)學(xué)廣場(chǎng)”的教學(xué)內(nèi)容。滬教版教材中的“數(shù)學(xué)廣場(chǎng)”主要呈現(xiàn)一些重要且有趣的數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容,以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,滲透數(shù)學(xué)思想方法,提高數(shù)學(xué)思維能力。

        傳統(tǒng)的課堂中,教師以3 個(gè)蘋果放入2 個(gè)抽屜引導(dǎo)學(xué)生有序思考,再以有序地羅列4 個(gè)蘋果放入3 個(gè)抽屜中的情況作為課堂教學(xué)的重心,以此來概括歸納出“抽屜原理”,對(duì)于形象思維占主導(dǎo)的小學(xué)生而言,如此抽象的概念是難以理解的。那么究竟本課的教學(xué)目標(biāo)是什么?教學(xué)重難點(diǎn)又該放在哪里呢?聽了特級(jí)教師潘小明的課,我認(rèn)為,以核心問題“把4 個(gè)蘋果放入3 個(gè)盤子,無論怎么放,總存在一個(gè)盤子里至少放_(tái)____個(gè)蘋果”來引出學(xué)生不同的猜想,再用不同的方法驗(yàn)證猜想是否正確,使學(xué)生能主動(dòng)參與探究過程,在思辨的過程中發(fā)展其思維能力,可以真正體現(xiàn)學(xué)生在課堂中的主體性。

        一、提出合理猜想,感受思維差異

        教育家波利亞曾說:“讓我們教猜想吧!”猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力,猜想的誕生預(yù)示著數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。合理猜想能幫助學(xué)生比較迅速地發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律,是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。

        教學(xué)片斷1:

        板書呈現(xiàn):把4 個(gè)蘋果放入3 個(gè)盤子,無論怎么放,總存在一個(gè)盤子里至少放_(tái)____個(gè)蘋果。

        師:每位同學(xué)看著我的問題,思考答案是多少?

        師:(停頓片刻)你覺得是幾個(gè)呢?

        學(xué)生用手勢(shì)表示。

        師:我看到了,有的同學(xué)出了1 個(gè),有的同學(xué)出了2 個(gè),也有同學(xué)出了3 個(gè),還有一個(gè)同學(xué)出了4 個(gè)。

        如果沒有調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情就急于開展學(xué)習(xí)活動(dòng),那么這種學(xué)習(xí)是無效的。教學(xué)中潘老師利用在情境中提出合理猜想,使枯燥、抽象的數(shù)學(xué)課堂變得生動(dòng)活潑,以此增添學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍學(xué)生的思維。在反饋結(jié)果的過程中,潘老師并不是快速地直接將答案一一呈現(xiàn)在黑板上,而是把看到的結(jié)果一一陳述給學(xué)生聽,“有的同學(xué)出了1 個(gè),有的同學(xué)出了2 個(gè),也有同學(xué)出了3 個(gè),還有一個(gè)同學(xué)出了4 個(gè)”,再進(jìn)行板書。看似不經(jīng)意、甚至有點(diǎn)浪費(fèi)寶貴課堂時(shí)間的一個(gè)小細(xì)節(jié),卻讓學(xué)生在經(jīng)歷對(duì)核心問題的合理猜想之后,對(duì)自己和同伴之間不同的思維結(jié)果有了初步感受,極大地激活了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí),充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究熱情,拓展了學(xué)生的思維空間,讓學(xué)生充分感受到了與同伴之間思維的不同,也真正地讓學(xué)生的思維“飛”起來了。

        二、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),發(fā)展思維能力

        任何猜想都要經(jīng)過驗(yàn)證才能確定其價(jià)值,猜想驗(yàn)證的過程就是學(xué)生主動(dòng)參與并構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程。只有猜想沒有驗(yàn)證,那只能是空想,只有把猜想和驗(yàn)證緊密結(jié)合,才可以形成猜想的良性循環(huán)、豐富學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生的思維能力。

        教學(xué)片斷2:

        師:“4”這個(gè)答案,你覺得怎么樣?

        生1:我覺得是不可能的。

        生2:我覺得是有可能的。(上臺(tái)擺放,甲盤4,乙盤0,丙盤0)

        生3:我感覺是錯(cuò)的,因?yàn)樗f了“無論怎么放”。(上臺(tái)擺放,甲盤3,乙盤1,丙盤0)

        追問生2:那么“4”這個(gè)結(jié)論是不是無論怎么放都存在?

        生2:不是的。

        師:真好!那么(指著黑板上的方法)我知道了“3”這個(gè)答案是對(duì)的。

        生:錯(cuò)的。(上臺(tái)擺放,甲盤2,乙盤1,丙盤1)

        師:厲害!舉了一個(gè)反例就把這句話推翻了。所以2 個(gè)的答案是對(duì)的吧?

        (學(xué)生舉手表決,部分學(xué)生認(rèn)為對(duì),部分學(xué)生認(rèn)為錯(cuò))

        師:認(rèn)為2 個(gè)的答案是錯(cuò)的話誰(shuí)能舉個(gè)反例?

        學(xué)生遲疑,舉不出反例。

        生:(上臺(tái)拿起甲盤中的1 個(gè)蘋果演示)這個(gè)蘋果不論放在哪里,都有1 個(gè)盤子里有2個(gè),我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是對(duì)的。

        師:無論怎么放,都對(duì),那你有沒有找過這些方法?有幾種?

        學(xué)生猜測(cè),10 種、11 種、15 種以上……

        教師引導(dǎo)學(xué)生在甲盤中依次放入4 個(gè)、3個(gè)、2 個(gè)、1 個(gè)、0 個(gè),分為五類來考慮,有序地與學(xué)生一起板書羅列后驗(yàn)證總存在1 個(gè)盤子里至少放2 個(gè)。

        師:通過這樣的一番試驗(yàn),我們發(fā)現(xiàn)“2”這個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)?

        生:對(duì)。

        師:那么“1”這個(gè)結(jié)論還要討論嗎?

        生:不要。

        師:對(duì),否則蘋果總數(shù)1 個(gè)就可以滿足了,這件事情就沒有意義了。

        枯燥單一的教師講解式教學(xué)往往容易使小學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)的情緒,在課堂中充分給予學(xué)生思考、表達(dá)、交流的機(jī)會(huì),能促使其在說、聽、想的過程中主動(dòng)參與課堂活動(dòng),清晰知識(shí)結(jié)構(gòu)。但在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,光鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想還不夠,必須引導(dǎo)其進(jìn)行細(xì)心驗(yàn)證。通過潘老師循循善誘的引導(dǎo),個(gè)別學(xué)生用舉反例的方法驗(yàn)證4 個(gè)的結(jié)論不正確。一石激起千層浪,課堂瞬間被點(diǎn)燃,學(xué)生都用這種方法來推理3 個(gè)的結(jié)論不正確,“舉反例”的這一方法就此在學(xué)生心中埋下了種子。而當(dāng)2 個(gè)的結(jié)論一出現(xiàn)時(shí),學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)舉反例的方法無法證明這句話是錯(cuò)的,馬上有學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了每個(gè)盤子如果都放1 個(gè),那么還有1 個(gè)蘋果不管怎么放總有一個(gè)盤子里會(huì)有2 個(gè)蘋果,這個(gè)無處安放的“蘋果”是學(xué)生思維的展現(xiàn),也使其他學(xué)生在傾聽的過程中有了思維能力的發(fā)展。學(xué)生在潘老師的不斷引導(dǎo)下有序地羅列出15 種方法,學(xué)生確實(shí)得到了驗(yàn)證,結(jié)論2 個(gè)是正確的。在學(xué)生的觀察、操作、推理等活動(dòng)中,潘老師并沒有淡化有序思考的重要性,但更想無聲地滲透“猜想—驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想方法。在驗(yàn)證過程中,學(xué)生思維的出發(fā)點(diǎn)、方向和方法有了多種形式的呈現(xiàn),有效地培養(yǎng)了思維的靈活性,在不斷完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程中使不同學(xué)生的思維都能在原有基礎(chǔ)上得到不同程度的發(fā)展。

        三、立足數(shù)學(xué)思考,提升思維品質(zhì)

        在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上,幾乎每一節(jié)課的知識(shí)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來說都是新鮮的,我們?cè)诒U蠑?shù)學(xué)基本教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的同時(shí),還要對(duì)學(xué)生的邏輯分析能力進(jìn)行培養(yǎng),對(duì)教材中沒有涉及的知識(shí)點(diǎn)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充,這是檢驗(yàn)學(xué)生是否理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的途徑。

        教學(xué)片斷3:

        (板書呈現(xiàn):把11 個(gè)蘋果放入10 個(gè)盤子,無論怎么放,總存在一個(gè)盤子里至少放_(tái)____個(gè)蘋果)

        生:2 個(gè)。

        師:你們是不是還要像剛才那樣去驗(yàn)證?

        生:不要。

        師:那你有什么方法驗(yàn)證2 個(gè)肯定是對(duì)的?

        生1:每個(gè)盤子里先放1 個(gè),10 個(gè)盤子放了10 個(gè)蘋果,那么還剩1 個(gè)蘋果,不管放在哪個(gè)盤子里,總有1 個(gè)盤子里放了2 個(gè)。

        師:這種想法就是從最不利的情況考慮,以此來分析推理。繼續(xù)想。

        (板書呈現(xiàn):把12 個(gè)蘋果放入10 個(gè)盤子,無論怎么放,總存在一個(gè)盤子里至少放_(tái)____個(gè)蘋果)

        學(xué)生的手勢(shì)有2 有3。

        生2:先把每個(gè)盤子里放1 個(gè),10 個(gè)盤子里一共放了10 個(gè)蘋果,還剩下2 個(gè)蘋果,放入任意一個(gè)盤子里,這個(gè)盤子里就肯定有3 個(gè)蘋果了。

        生3:我覺得如果你把2 個(gè)蘋果分開放,那么每個(gè)盤子里最多還是2 個(gè)。

        師:對(duì)啊,剛才你把10 個(gè)蘋果盡可能分開放,那么剩下的2 個(gè)蘋果還得怎么放???

        生:分開放。

        師:那么每個(gè)盤子里最多還是幾個(gè)?。?/p>

        生:2 個(gè)。

        師:所以結(jié)論變不變?

        生:不變。

        愛因斯坦說過:“教育應(yīng)當(dāng)使所提供的東西讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來接受,而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負(fù)擔(dān)。”一堂課,40 分鐘,在這樣一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi),學(xué)生不僅能掌握教材中4 個(gè)蘋果放入3 個(gè)抽屜中的知識(shí),還能了解更多與抽屜原理有關(guān)的知識(shí),利用“最不利原則”分析解決11 個(gè)蘋果(甚至是12 個(gè)蘋果) 放在10 個(gè)盤子中的問題,學(xué)生不再通過有序羅列所有情況來驗(yàn)證,而是通過數(shù)學(xué)邏輯分析來解決問題,這正是潘老師抓住的本課教材背后的知識(shí)暗線,不少學(xué)生還迫不及待地想繼續(xù)研究19 個(gè)蘋果放入10 個(gè)盤子、21 個(gè)蘋果放入10 個(gè)盤子的情況。新課改提倡的基于課程標(biāo)準(zhǔn)、基于教學(xué)基本要求究竟指什么,我想,理解為基于學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知能力在這節(jié)課中更為合理。潘老師看似是把課本知識(shí)向課外延伸,實(shí)則是根據(jù)學(xué)生的能力靈活運(yùn)用了數(shù)學(xué)教材這一載體來拓寬思維、開闊視野,提高課堂教學(xué)效率,擴(kuò)大課堂教學(xué)容量,真正提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

        總之,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展是現(xiàn)代小學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié),數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)需要教師引導(dǎo)學(xué)生在問題情境中進(jìn)行合理的猜想,運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行驗(yàn)證,豐富知識(shí)結(jié)構(gòu),積累解決問題的方法與經(jīng)驗(yàn),在不斷的質(zhì)疑與釋疑中持續(xù)地獲得思維能力的發(fā)展,從而提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

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