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        多維度巧解以圓為背景的最值問題

        2021-12-26 08:34:46
        數(shù)理化解題研究 2021年34期
        關(guān)鍵詞:類題所求多維度

        蔣 敏 李 鮮

        (四川省南充龍門中學 637130)

        圓是一類特殊的幾何圖形,它形式簡潔,圖形優(yōu)美,生活中隨處可見,具有高度的對稱性.以圓為背景,考察最大值、最小值,取值范圍等等,是解析幾何中常見的一類題型.它涉及的學科知識內(nèi)涵豐富,解題構(gòu)思常常巧妙靈活,能夠很好的鍛煉學生的數(shù)學思維能力,進一步滲透數(shù)學學科核心素養(yǎng).在課堂教學中,結(jié)合學生實際,教師積極引導,學生自主探究,以微專題的形式,多維度巧解以圓為背景的最值問題,讓解題教學的育人目標能夠順利達成、落地生根.

        一、以斜率、截距、距離的幾何意義為視角巧解最值

        例1已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:

        (2)y-x的最小值;

        (3)x2+y2的最大值和最小值.

        圖1

        類題鞏固1 已知(x-2)2+(y-1)2=1,求(x-1)2+y2的最值.

        解析令(x-1)2+y2=r2是以(1,0)為圓心,半徑為r的同心圓,問題轉(zhuǎn)化為求在(x-2)2+(y-1)2=1條件下,半徑r的最值.

        例2 設(shè)點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是( ).

        圖2

        點評由題易知,隨著N點在圓上的移動,∠OMN的大小在變化,只有N點運動到讓MN是圓的切線時,∠OMN最大.結(jié)合圖形可知當∠OMN≥45°,則圓上就存在滿足條件的點.

        類題鞏固2 已知圓C:x2+y2=4,點P(x0,y0)在直線x-y-4=0上,O為坐標原點,若圓C上存在點Q,使∠OPQ=30°,則x0的取值范圍為____.

        解析過點P作圓C的切線,切點為D,連結(jié)CD,則CD⊥PD,若∠DPC=30°,則PC=2CD=4;

        二、以構(gòu)造函數(shù)法的視角來巧解最值

        點評根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標函數(shù)的關(guān)系式,然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.這是求圓中最值的常用方法.同時,解答中尤其要結(jié)合變量的取值范圍.

        三、以常用的不等式性質(zhì)的視角來巧解最值

        例4 在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為____.

        點評當所求的表達式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征,如a·b或者a+b的表達式求最值,常常利用題設(shè)條件建立兩個變量的等量關(guān)系,進而求解最值.同時需注意“一正、二定、三相等”的限制.

        類題鞏固4 直線2ax+by-2ab+6=0(a>0,b>0)平分圓(x-1)2+(y-2)2=4的面積,則ab的最小值等于____.

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