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        多視角解析一道2021年三模壓軸題

        2021-12-26 08:35:36賀鳳梅
        數(shù)理化解題研究 2021年34期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)學(xué)生

        賀鳳梅

        (新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

        一、題目呈現(xiàn)

        (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        二、總體分析

        定點(diǎn)、定值是圓錐曲線(xiàn)中的常見(jiàn)問(wèn)題,問(wèn)題的呈現(xiàn)形式有:以?xún)芍本€(xiàn)斜率乘積、和、比值為定值引出的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn);或已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),能否得出兩直線(xiàn)斜率之積、和或比值為定值.本文擬以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),兩直線(xiàn)斜率比值為定值進(jìn)行多視角探究,旨在理清問(wèn)題的本質(zhì),找到解決此類(lèi)問(wèn)題的行之有效的方法.

        三、試題解答

        以下重點(diǎn)探討第(2)問(wèn).

        視角1利用直線(xiàn)的普通方程求解.

        將④⑤代入,化簡(jiǎn)整理,得

        視角2圓錐曲線(xiàn)齊次化,借助橢圓的第三定義求解.

        又直線(xiàn)m(x+3)+ny=1過(guò)點(diǎn)F(-2,0),所以m=1.

        此時(shí),直線(xiàn)方程設(shè)為mp+nq=1.⑦

        直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),所以m=1.

        將⑦代入⑥,得9y2-30nxy-25x2=0,

        評(píng)注以上三種解法的本質(zhì)是圓錐曲線(xiàn)的齊次化,其中一種策略是平移圓錐曲線(xiàn),比如以上的解法5,不過(guò)學(xué)生對(duì)這種方法有些陌生.筆者將方法稍微改變一下,步驟為:

        (1)設(shè)直線(xiàn)方程為m(x-x0)+n(y-y0)=1;

        (4)得出結(jié)論:比如以上的解法3和解法4.當(dāng)然還需要借助橢圓的第三定義聯(lián)合求解.

        視角3借助韋達(dá)定理求解.

        評(píng)注圓錐曲線(xiàn)結(jié)合韋達(dá)定理,求解的方法又稱(chēng)圓錐曲線(xiàn)的公式聯(lián)立,其實(shí)是一套求解橢圓(或雙曲線(xiàn))與直線(xiàn)相交時(shí),聯(lián)立方程求判別式、韋達(dá)定理與相交弦等問(wèn)題的公式,平時(shí)并不多見(jiàn).針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生,教師可以適當(dāng)介紹,開(kāi)闊學(xué)生的視野,提高學(xué)生的思維能力.

        四、解后反思

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出,高中數(shù)學(xué)的六大素養(yǎng)為數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)急需提高學(xué)生的綜合能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中,教師要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中勤思考、多動(dòng)腦,在對(duì)兩直線(xiàn)斜率比值、乘積以及和為定值的問(wèn)題探究過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).教師可以根據(jù)核心素養(yǎng)所提出的相關(guān)理論進(jìn)行教學(xué)方式、教學(xué)目的的調(diào)整,使學(xué)生能夠得到更全面的發(fā)展,將立德樹(shù)人的根本任務(wù)落到實(shí)處.

        “一題多解”既可以豐富教學(xué)內(nèi)容,也可以讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得活潑生動(dòng),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,讓每個(gè)學(xué)生都自覺(jué)地投入到課堂中來(lái),不僅可以使學(xué)生集中注意力,還可以使學(xué)生的思維越來(lái)越縝密,考慮越來(lái)越周全.應(yīng)用“多題一解”的教學(xué),可以鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)的能力,使得學(xué)生“做一題,會(huì)一類(lèi)”.“多題一解”的數(shù)學(xué)教學(xué)方式,不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力,還能映射生活的哲理,對(duì)于學(xué)生生存能力的提高也有效果.

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