蔣滿林

(福建省古田縣第一中學(xué) 352200)

導(dǎo)數(shù)含參數(shù)恒成立問題的常用方法是字母討論、分離參數(shù)等，但對(duì)于分類討論往往比較繁雜而半途而廢，分離參數(shù)對(duì)于分離函數(shù)的導(dǎo)數(shù)很難把握.利用端點(diǎn)函數(shù)值的特殊性，先得到必要條件，再證充分性，因其思路簡潔方法實(shí)效，我們把它稱為端點(diǎn)效應(yīng)，下面以例示之，與大家交流.

一、端點(diǎn)效應(yīng)

1.連續(xù)型端點(diǎn)效應(yīng)

例1(2017全國Ⅱ文21)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)略；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析(2)令g(x)=(1-x2)ex-ax-1(x≥0)，g′(x)=(1-x2-x)ex-a，由于g(0)=0，

所以必有g(shù)′(0)=1-a≤0，可得a≥1(必要條件)，下面去證明a≥1滿足題意(充分性證明).

當(dāng)a≥1時(shí)，g′(x)=(1-x2-x)ex-a≤(1-x2-x)ex-1，記h(x)=(1-x2-x)ex-1(x≥0)，h′(x)=(-x2-4x-1)ex<0，所以g′(x)≤0，g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，g(x)≤g(0)=0.

綜上所述，a的取值范圍為[1,+∞).

評(píng)注所求參數(shù)為連續(xù)實(shí)數(shù)的端點(diǎn)效應(yīng)我們稱之為連續(xù)型端點(diǎn)效應(yīng)，連續(xù)型端點(diǎn)效應(yīng)的解題步驟.

(1)取端點(diǎn)或特殊點(diǎn)的函數(shù)值；

(2)求出滿足參數(shù)的必要條件；

(3)證明參數(shù)范圍滿足充分條件.

2016年全國Ⅱ文20題等，也可以用此法解答.

2.離散型端點(diǎn)效應(yīng)

下面去證k=3 滿足題意(充分性證明).

當(dāng)k=3時(shí)，g(x)=(x+1)[ln(x+1)-3x+1](x>0)，g′(x)=ln(x+1)-1(x>0)，令g′(x)=0，得x=e-1，g(x)在(0,e-1)上單調(diào)遞減，在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g(e-1)=2e-3(e-1)=3-e>0.

綜上所述，k=3滿足題意.

評(píng)注所求參數(shù)為整數(shù)的端點(diǎn)效應(yīng)我們稱之為離散型端點(diǎn)效應(yīng)，離散型端點(diǎn)效應(yīng)的解題步驟.

(1)取端點(diǎn)或端點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)如f(1),f(2),f(e)等；

(2)求出滿足參數(shù)最值整數(shù)的必要條件；

(3)證明參數(shù)的最值整數(shù)滿足充分條件.

其中離散型端點(diǎn)效應(yīng)，端點(diǎn)選點(diǎn)不唯一，只要便于計(jì)算又能確定參數(shù)整數(shù)的必要條件均可.

3.二階型端點(diǎn)效應(yīng)

例3已知a∈R，函數(shù)f(x)=ex-ex-a(xlnx-x+1)的導(dǎo)函數(shù)為g(x).

(1)略；(2)略；

(3)若x≥1時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的最大值.

評(píng)注原函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)均應(yīng)用端點(diǎn)效應(yīng)，我們稱之為二階型端點(diǎn)效應(yīng)，二階型端點(diǎn)效應(yīng)的解題步驟.

(1)原函數(shù)端點(diǎn)函數(shù)值為0；

(2)一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)函數(shù)值為0；

(3)取二階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)或特殊點(diǎn)的函數(shù)值，求出滿足參數(shù)的必要條件；

(4)證明參數(shù)范圍滿足充分條件.

二、變式訓(xùn)練

例1 (2020年3月廈門市質(zhì)檢理21題)已知函數(shù)f(x)=aex+2e-x+(a-2)x(a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)略；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，求f(x)≥(a+2)cosx，求a的取值范圍.

解析(連續(xù)型端點(diǎn)效應(yīng))記g(x)=f(x)-(a+2)cosx=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx(x≥0)，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx(x≥0)，由g(0)=a+2-(a+2)=0,g′(0)=a-2+a-2≥0，得a≥2(必要性)，下證，a≥2成立(充分性).當(dāng)a≥2時(shí)，x∈[0,π]時(shí)，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(ex-e-x)+(a-2)+(a+2)sinx≥0，g(x)≥g(0)=0，成立；當(dāng)a≥2時(shí)，x∈[π,+∞)時(shí)，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(eπ-e-π)+(a-2)-(a+2)=2eπ-2e-π-4>0.

綜上所述，a≥2成立.

注：導(dǎo)函數(shù)中含有三角函數(shù)sinx，對(duì)x∈[0,π]與x∈[π,+∞)進(jìn)行分段討論，這種對(duì)三角函數(shù)取值進(jìn)行討論是近年考試的熱點(diǎn)，要引起大家的關(guān)注.

(1)略；

(2)若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx-1 恒成立，求整數(shù)m的最小值.

注：離散型端點(diǎn)效應(yīng)，端點(diǎn)選點(diǎn)不唯一，如選h(e)≤0也可以.

例3 若關(guān)于x的不等式ax2ex+xex+1≥ex在區(qū)間[0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

注對(duì)所證不等式ax2ex+xex+1≥ex進(jìn)行適度變形，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式，便于求導(dǎo)與計(jì)算，也是對(duì)導(dǎo)數(shù)證明試題的一種常用技能，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)不等式等價(jià)變形的訓(xùn)練.