劉芝秀，賴伊清

拉普拉斯變換在卡方分布中的應用

劉芝秀，賴伊清

（南昌工程學院 理學院，江西 南昌 330099）

本文利用拉普拉斯變換作為概率分布的特征函數(shù)，重新導出了卡方密度函數(shù), 并給出了計算卡方分位數(shù)的一種新算法，該算法可用于計算自由度為4的任意卡方分位數(shù)，基于自由度為4的任意卡方分位數(shù)的計算進而改進了教學評估的一種手段，即提高了五等級評價標準下學生成績占比異常情況的抽檢效率。

拉普拉斯變換; 卡方分布; 卡方分位數(shù); 自由度; 教育質量評估

本文即基于這一思考，用拉普拉斯變換作為分布函數(shù)的特征函數(shù)，同時給出了計算自由度為4的任意卡方分位數(shù)的算法，并進而應用它緩解了教學管理與評估過程中關于提高五等級評價標準下學生成績占比異常情況抽檢的效率問題。

1 技術預備

利用拉普拉斯變換的性質可以很方便的計算如下兩個常見函數(shù)的拉普拉斯變換。

接下來是本文還需要的拉氏變換的卷積定義與性質、唯一性性質和積分性質。

2 卡方密度函數(shù)的證明

有了以上的準備就可以用新的方法重新推導卡方密度函數(shù)。

而由(2.1)式可得

又根據(jù)性質2.1知

3 卡方分位數(shù)的計算

由性質2.3知

即

4 在教學評估技術中的應用

下面指出上述內容在教學管理與評估過程中的應用。教育的方式和內容需要與時俱進的穩(wěn)步改革與創(chuàng)新才能保持其先進性，例如面對新工科人才培養(yǎng)目標，協(xié)同開展 STEM 教育就是一個值得探索嘗試的教學模式[6]；在新冠疫情的影響下，采用線上教學，提高教學的信息技術水平，設計好線上教學對保證教學質量顯得尤其重要[7]；在“課程思政”理念的引領下,如何將思政元素恰當?shù)娜谌胝n堂教學在為國家培養(yǎng)優(yōu)秀人才方面具有深遠意義[8]。另一方面，在教學改革和實踐過程中不能離開對教育教學質量的管理與評估[9-10]，通常教學管理與評估部門會根據(jù)往年的教學情況和當年的教學質量目標，制定一個內部的教學質量監(jiān)測標準，從而可以采取科學合理的檢查與督導行動。教學質量的評估仍然以課程考核為最基本的手段，經(jīng)驗事實告訴我們，學生的成績總是參差不齊，但具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性，考試題目缺乏區(qū)分度、教師的教學工作不到位、學生的學風較差等等因素都會造成學生成績分布與正常預期目標分布有較大的偏差。教學管理與評估部門面對著眾多的待檢課程，但卻又僅有較少的專家力量能夠進行課程考核和教學質量的檢查與督導，有限的專家資源應該重點投放到哪些課程的檢查和督導之中就成了一個首先要解決的問題，自然的，應將專家力量重點投放到學生考核成績占比異常的課程之中。

操作實驗如下：

表1 常見卡方分布表 (此處)

僅在卡方分布表所給的分位數(shù)下，可能出現(xiàn)要么全部課程都通過檢驗，要么全部課程都通不過檢驗，而這一技術問題正可利用前面提出的任意分位數(shù)計算方法進行解決。

表2 課程A卡方統(tǒng)計量計算結果

表3 課程B卡方統(tǒng)計量計算結果

表4 課程C卡方統(tǒng)計量計算結果

import math

x=0.5 #x為牛頓迭代法的初始點，運算的最終結果為分位數(shù)

for i in range(1,100): #此處循環(huán)100次，可以修改循環(huán)次數(shù)或用誤差控制循環(huán)次數(shù)x=x-((x/2+1) *(math.e**(-x/2))-a)/((-x/2)*(math.e**(-x/2))) #牛頓迭代公式print(x)

表5 補充的卡方分布表（含常見卡方分布表不能查閱的分位數(shù)）

根據(jù)表2至表5可知，在置信水平為98%的情況下可以認為課程A和C符合預期估計，課程B明顯不符合預期；在置信水平為85%的情況下可以認為課程C符合預期估計，課程 A和B不符合預期；在置信水平為75%的情況下可以認為課程A、B、C均不符合預期估計。相應的決策是，如果只有一組專家可以只檢查課程B，如果有兩組專家可以檢查課程 A和B，如果有三組專家則可以檢查課程A、B、C。

學生成績占比異常檢驗采用更多分組仍然可行，不同的只是卡方檢驗統(tǒng)計量的自由度，上述方法仍然是實際有效的。當然確定重點檢查課程的具體方法有多種，甚至可以直接對卡方統(tǒng)計量大小進行排序而得，統(tǒng)計量越大的課程越應該被重點檢查和督導，但習慣上我們希望給出一個較全面的回答，即在一定置信水平下所采取的行動，這樣更加量化了教學管理行為的科學性。

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O177.6

A

1672-1047（2021）06-0131-04

10.3969/j.issn.1672-1047.2021.06.34

2021-11-01

江西省教育廳科技項目“正規(guī)族和整函數(shù)動力系統(tǒng)”（GJJ180944）；江西省教育廳科技項目“層次分析法經(jīng)驗矩陣的一致性檢驗與調整及其應用研究”（GJJ190963）；江西省高校人文社科項目“應用型本科院校學生學習力培養(yǎng)策略研究——基于STEM教育視角”（JY18233）。

劉芝秀，女，四川自貢人，碩士，講師。研究方向：應用數(shù)學。

[責任編輯：張克新]