張旭強

(山西工程科技職業(yè)大學,山西 晉中 030619)

在我國，磚石古塔形態(tài)多變、風格各異、分布非常廣泛。這些修建于不同年代的建筑對于研究我國古代的建筑工藝、建筑歷史、建筑文化具有非凡的意義，而且對于研究我國古代的政治、經(jīng)濟、宗教、藝術等都具有重要的價值。

由于磚石古塔的建造高度比較高，長細比大，同時受到建筑設計、工藝水平等內(nèi)在因素和人工活動、不可抗力等外部條件的影響，許多保存至今的古塔都產(chǎn)生了不同程度的傾斜，“十塔九偏”是公認的現(xiàn)實。為了對磚石古塔進行有效的保護和修繕，探討磚石古塔，特別是位于濕陷性黃土地區(qū)的磚石古塔糾偏及加固技術顯得尤為急迫。

1 有限元模型的理論基礎

有限元法通過將連續(xù)體離散化為各個互不重疊的單元，單元和單元之間有聯(lián)結節(jié)點，通過聯(lián)結節(jié)點組成一個單元集合。假設在平面問題中，所有的節(jié)點都為鉸結點，所有作用在單元上的不同荷載，例如集中荷載、體積荷載和表面荷載等，都要作為等效荷載按虛功原理移置到節(jié)點上。最后得到的計算結果為相應的節(jié)點處的一系列離散型數(shù)值，利用這些離散型數(shù)值推算其他未確定的數(shù)值[1]。

1.1 設定形函數(shù)和位移函數(shù)

根據(jù)單元節(jié)點聯(lián)結情況設定位移模式，設定位移函數(shù)，然后用節(jié)點位移表示位移函數(shù)中的待定系數(shù)，從而得到位移函數(shù)如下：

{f}=[N]{δ}e

(1)

上式中[N]為形函數(shù)矩陣，由各形函數(shù)組成。

1.2 應力矩陣和應變矩陣

根據(jù)幾何方程，再利用物理方程，將單元內(nèi)的應力和形變用節(jié)點位移表示如下：

{ε}=[B]{δ}e

(2)

{σ}=[S]{δ}e

(3)

[S]=[D][B]，其中矩陣[D]是應力應變之間本構關系的反映，[B]為形變轉換矩陣，[S]為應力轉換矩陣。

1.3 單元剛度矩陣

解決幾何非線性問題，考慮虛位移，形變轉換矩陣[B]為單元節(jié)點位移列陣{δ}e的函數(shù)，應力和應變的關系用單元剛度矩陣來表示，采用增量形式可以表達如下：

(4)

2 彈性和彈塑性本構關系

應用有限元法分析土體的應力和變形問題時，需要確定土體的本構關系，尤其涉及土體非均質性、非線性和復雜邊界等問題。土的力學本構關系反映了土體變形的特性，是建立本構模型[2]的根據(jù)，也是檢驗本構模型理論的客觀標準。

研究土體在受荷載作用時的變形特性，形成了彈性理論和彈塑性理論，和本構關系結合建立為模型，一直以來不斷推動土的本構理論的發(fā)展?，F(xiàn)階段，土體應力-應變-強度(時間)關系的本構模型相對和實際接近，并且能有效地將變形特性和應力分析相互結合，提高計算精度，解決復雜問題。

2.1 土的非線性彈性模型

實際非線性在工程中用來體現(xiàn)土的應力應變關系比較貼切，也反映了應力和應變的復雜關系。依據(jù)廣義虎克定律，非線性彈性模型建立剛度矩陣[D]。由于屬于非線性關系，剛度矩陣[D]中的彈性常數(shù)v、E被當作變量，而且是會隨應力狀態(tài)而改變的。

理論上，非線性彈性模型有3種類型：Cauchy彈性模型、Hyperelastic超彈性模型和Hypoelastic次彈性模型。Duncan-Chang雙曲線模型在非線性模型中是最有代表性的模型。1970年Duncan和Chang提出了雙曲線模型，其依據(jù)土體常規(guī)三軸試驗，只在一個方向施加應力增量，從而得到的土體應力-應變曲線，見如下雙曲線方程來表示[3，4]：

(5)

式中：a，b—雙曲線函數(shù)參數(shù)；σ1—軸向應力；(σ1-σ3)—主應力差。

圖1 (σ1-σ3)-εa關系曲線

圖2 εa/(σ1-σ3)-εa關系曲線

最終推導得出Duncan-Chang模型(E-B模型)的切線模量方程為：

(6)

表達式中：K—試驗常數(shù)；Et—切線模量；Rf—破壞比；Pa—大氣壓力器。

卸荷、重復加荷，此時彈性模量值的表述如下：

Eur=KurPa(σ3/Pa)n

(7)

式中：Kur—試驗常數(shù)，一般情況下Kur=(1.2～3.0)K。

式(6)(7)是推導來的切線彈性模量方程，實際上也可以看出來是常規(guī)三軸試驗應力應變曲線的切線斜率的反映，強度隨應力水平的變化關系或隨固結壓力的變化關系都可以在上述公式中有所體現(xiàn)。至于Eur的應用，實際上是一個屈服準則的使用標準，不過略顯粗略。1980年Duncan根據(jù)不同土類試驗分析把E-μ模型修正為E-B模型，并且提出了體積模量B的公式，如下：

B=KbPa(σ3/Pa)m

(8)

式中：Kb—體積模量系數(shù)；m—取值為0～1.0，無量綱。

上面提到的Duncan-Chang雙曲線模型能反映土體的主要變形特性，而切線的彈性常數(shù)通常是用試驗曲線而定。土的非線性模型利用加載模量和卸載模量來部分反映，此處采用的參數(shù)物理意義也是比較明確的。盡管如此，Duncan-Chang雙曲線模型仍有許多方面的問題，例如，沒有反映土體變形的規(guī)律，也沒有反映土的剪脹性情況，更不能反映出主應力對模量的影響程度，不能反映平均正應力的變化對剪應變的影響，也就是說不反映壓縮與剪切的影響，也不反映各向異性。

2.2 土的彈塑性模型

理論上，如果全部變形都是彈性的，這一假定反映了彈性非線性模型設立的初衷，如果要反映非線性，則相應地改變彈性常數(shù)；而對于彈塑性模型，則要把變形分成兩部分：彈性變形和塑性變形。彈性變形部分用虎克定律來計算，塑性變形部分則用塑性理論來解決問題。

不同的彈塑性模型，假定也不同，主要體現(xiàn)在假定的形式上。但是一般要從幾個方面去假定，如破壞的準則或屈服準則、流動法則、硬化規(guī)律等。在破壞準則方面有Tresca準則、Mises準則等，其中一些受到廣泛應用，因為要判斷破壞與否，而破壞又取決于土體應力狀態(tài)。當土的應力狀態(tài)達到一定的屈服標準以后才能硬化，這時候的屈服就形成了塑性變形，用塑性變形來衡量硬化發(fā)生的程度，引入函數(shù)，結合起來反映硬化規(guī)律。屈服函數(shù)和硬化規(guī)律僅僅是給定了判斷屈服的標準和屈服后如何發(fā)展變化，但是沒有衡量變化的比例，這就需要確定應變增量或變化的方向問題，而流動規(guī)則是用于確定塑性應變增量方向的假定的。彈塑性理論可以反映土體的各種變形特性，但是并非全面，也有其局限性，也依賴于選定的模型。

3 建立計算模型

磚石古塔靜力分析的幾何模型由塔體和地基兩部分組成，根據(jù)上部結構的原始尺寸建立模型，然后調整傾斜值，形成實體模型。根據(jù)地質勘察資料并結合地基土在深度方向上的分層特點建立地基模型，深度方向上地基模型與勘察一致，土層寬度方向上與古塔底面橫截面相關，取橫截面換算半徑的10倍。

圖3中，實體建模的方法采用自底向上。從基本的點、線、面構造大象寺塔實體，使用程序運算組合數(shù)據(jù)集，組建實體模型。

圖3 實體模型

3.1 選擇單元類型

磚石古塔靜力分析，要涉及塔體與相關地基，因而要選擇空間實體單元。目前常用的結構空間單元比較多，例如SOLID65、SOLID95、SOLID147、SOLID185、SOLID186等。這些可選擇的單元類型的自由度和節(jié)點各不相同，本例選擇SOLID95單元作為塔體和地基的實體單元。

SOLID95單元包括20個節(jié)點，如圖5所示，各節(jié)點沿x、y、z有3個自由度，具有塑性、蠕變、應力剛度、大變形和大應變能力等特性。

圖5 SOLID95

3.2 定義材料特性

本例中上部塔體運用線彈性模型，模型中參數(shù)有彈性模量E和泊松比μ。參數(shù)數(shù)值的確定參考同時代當?shù)匾延袛?shù)據(jù)，根據(jù)陜西文物保護中心提供的數(shù)據(jù)顯示，西安市長安區(qū)大雁塔材性參數(shù)取值如下：砌筑磚的標號MU15，砂漿等級為M0.4，參照砌體規(guī)范中砌體的彈性模量[5]取值E=700f(其中，f=1.12MPa，f為砌體的抗壓強度設計值)，得到彈性模量E=784MPa，泊松比取值0.15，密度取值1 900kg/m3。

磚石古塔的地基土，模型參數(shù)的確定沒有已有經(jīng)驗數(shù)據(jù)參照，根據(jù)土的變形模量E0與土體物理性指標的關系，經(jīng)過整理統(tǒng)計土的物理性質試驗資料，得出相對接近的模量參數(shù)，即通過計算得到的變形模量E0[6]數(shù)值：

變形模量與物理性指標之間的關系如下：

(9)

(10)

當缺乏試驗資料時，可按下式經(jīng)驗方法確定μ0，即：

μ0=(1-sinφ′)/(2-sinφ′)

(11)

以上是土體本構模型中彈性部分的參數(shù)確定過程，土的塑性本構模型還未確定。由于土的受拉屈服強度[7]遠小于受壓屈服強度，本例可采用Drucker-Prager屈服準則來計算。

采用DP模型，地基條件為黃土，基本參數(shù)為c、φ、ω、ρd等，根據(jù)室內(nèi)土工試驗數(shù)據(jù)，不同干密度ρd時含水量和與c、φ值的試驗對比如表1所示。

表1 不同干密度時含水量與黃土抗剪強度的試驗對比

4 算例分析

大象寺塔位于陜西省合陽平政鄉(xiāng)安陽村東北，又名“大云禪院”(見圖4)，此塔建于唐代，磚塔為疊澀密檐式，呈方形。塔體共有13層，其中第一層內(nèi)有券洞，行可入內(nèi)洞，上層為封死實心磚，塔體頂層已損壞部分，不可修復，底層南面磚體損壞。塔高25.88m，下有長寬各4.8m的方形基座。塔體明顯向東北方向傾斜：北偏東20°56′2″，垂直方向傾角3°51′28.8″，中心偏差1.595m。塔體的西南角比西北角高出26cm，東南角比東北角高出23cm。

圖4 大象寺塔

本例中地基模型為層狀，設置兩層地基土，依據(jù)前期地質勘察獲得資料數(shù)據(jù)，結合室內(nèi)土工試驗測定的土性指標參數(shù)，每層設置厚度與實際的土層厚度保持一致。①黃土狀土為地面下第一層地基土：厚度1.69m～2.12m，黃褐色，大孔隙發(fā)育，含氧化鐵、絲狀碳酸鈣，土質較為均勻，屬壓縮性黃土，中等具濕陷性，稍濕、硬塑～可塑，稍密。②地面下第二層為黃土狀土：厚度3.68m～4.48m，含氧化鐵呈褐黃色，蝸牛殼狀，為大孔隙發(fā)育，粉土占比明顯，土質較為均勻，屬高壓縮性黃土，稍濕，硬塑～可塑，密實。如圖6網(wǎng)格化為有限元模型，然后對模型加載并計算得到結果。

圖6 有限元模型

從求解結果看，節(jié)點位移、約束反力及節(jié)點力都不同程度反映目前塔體受力情況，尤其變化明顯的部位是在塔體與塔基接觸處，真實反映了塔體和塔基受力情況，應力分布規(guī)律[8]體現(xiàn)著與應變相對應關系。在圖7中，X方向為上最大位移發(fā)生在抬升的塔體下部，數(shù)值為26.44mm，并向外擴散，圖8應力則主要集中在塔體和塔基接觸部位，尤其在傾斜明顯的一側。分析原因，古塔為磚石結構，塔體自重大而強度又低，一旦發(fā)生傾斜，往往會造成傾斜明顯的一側地基應力相對集中，而相對集中的應力又會進一步加速建筑物的傾斜程度。同時磚材料組成的結構墻體在不同的水平截面上的壓應變是不同的，收縮量也不同，因而壓應變的分布也不是均布的，多個截面的差異變形累積，造成結構初始偏心。利用程序對各個分析結果進行整理，X方向結構應力最大的點19節(jié)點為88 291Pa，應變最大的點17節(jié)點為-0.16622E-03。在古塔糾偏時參照位移、應力、應變列表對塔體結構中相應的薄弱部分進行加固。

圖7 X方向位移分布云圖

圖8 X方向應力分布云圖

圖9 X方向節(jié)點位移列表

圖10 節(jié)點應力列表

5 結論

①利用有限單元法進行數(shù)值分析，涉及土的本構模型的選擇，典型的土的本構模型有非線性彈性模型和彈塑性模型兩種，分析黃土的變形特性，相比非線性彈性，地基土體彈塑性模型比較合適本例數(shù)值計算。②有限元模擬分析，在對磚石古塔糾偏時，地基模型選擇有限地基模型。有限地基模型與古塔底面橫截面相關，取橫截面換算半徑的10倍。③運用有限元靜力分析古塔的傾斜原因，探討塔體和地基的位移、應力、應變狀態(tài)，為選擇合理的糾偏加固方法、制定糾偏加固技術方案提供依據(jù)。