焦志秀，于龍

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 611756)

接觸網(wǎng)露天架設(shè)于鐵路沿線上空，把從牽引變電所中獲取的電能通過與電力機車上部的受電弓滑動接觸傳遞給電力機車[1]，在牽引供電系統(tǒng)中的地位十分重要。然而，由于接觸網(wǎng)系統(tǒng)無備用、工作環(huán)境惡劣，這種苛刻的運行條件使得其故障常年居高不下[2]。接觸網(wǎng)可靠性差已成為影響列車安全、暢通運輸?shù)闹匾蛩兀@在一定程度上制約了我國鐵路的發(fā)展。因此，開展接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性研究具有十分重要的意義。在對接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性進行研究時通常采用的方法主要有：貝葉斯網(wǎng)絡(luò)法(Bayesian Network, BN)[3-4]、故障樹分析法(Fault Tree Analysis,FTA)[5-6]、馬爾可夫分析法[7-8]。采用FTA 和BN 對復(fù)雜系統(tǒng)進行可靠性建模與分析時，往往針對的是系統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)，難以反映系統(tǒng)可靠性隨時間的動態(tài)變化過程。此外，它們無法描述系統(tǒng)的可維修性。馬爾可夫分析法雖然能夠反映可維修系統(tǒng)可靠性水平隨時間的動態(tài)變化特征，但在可靠性建模過程中狀態(tài)空間的數(shù)目會隨系統(tǒng)規(guī)模的增加而呈指數(shù)增長[9]，這無形中給模型的建立和求解過程帶來了很大的困難。近幾年發(fā)展起來的動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Dynamic Bayesian Network)技術(shù)是建立在靜態(tài)BN 和隱馬爾可夫模型基礎(chǔ)上的一類概率圖模型，它繼承了BN的所有優(yōu)點，是原始BN 在時間屬性上的延拓，非常適合對帶有時效特征的可修復(fù)系統(tǒng)進行可靠性建模[10-12]。通過引入時間維度，根據(jù)基本元件在初始時刻的條件概率和相鄰時間片間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，即可建立復(fù)雜系統(tǒng)的動態(tài)可靠性模型，實現(xiàn)系統(tǒng)整體可靠性水平的動態(tài)估計。目前，鮮有論文對接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠性及可用性隨時間的變化特征進行研究。本文首次將DBN 理論應(yīng)用于接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性建模中，綜合考慮接觸網(wǎng)系統(tǒng)的動態(tài)特性和可維修性，通過構(gòu)建接觸網(wǎng)的FTA 模型，利用FTA 向DBN 的轉(zhuǎn)化規(guī)則得到接觸網(wǎng)系統(tǒng)的DBN 模型，完成DBN 的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)。然后利用DBN 的雙向推理功能求解接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性模型，通過正向推理對接觸網(wǎng)系統(tǒng)在未來某個時刻的可靠度和可用度進行估計，找到接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠度及可用度隨時間的動態(tài)變化規(guī)律；通過反向推理實現(xiàn)對接觸網(wǎng)系統(tǒng)的故障診斷，用以識別接觸網(wǎng)系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。研究結(jié)果能夠為接觸網(wǎng)系統(tǒng)的檢修和維護提供依據(jù)。

1 DBN簡介與可靠性建模

1.1 DBN簡介

BN 通常由有向無環(huán)圖和條件概率表組成。有向無環(huán)圖中的每個節(jié)點都代表一個隨機變量，而節(jié)點間的有向線段則表示不同變量之間的依賴關(guān)系。各個節(jié)點都附有與之相對應(yīng)的條件概率表，用以表示父、子節(jié)點之間的概率依賴程度。在已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和概率參數(shù)的情況下，利用聯(lián)合概率分布公式可以推理出相關(guān)節(jié)點在一定狀態(tài)下的概率值。

將BN在時間維度上進行擴展，即可得到DBN模型。DBN 是由若干個時間片構(gòu)成的，每個時間片都可將其視為一個靜態(tài)BN。在建立DBN模型時通常需要滿足2個假設(shè)：一階馬爾可夫假設(shè)和平穩(wěn)性假設(shè)[13]?；谏鲜? 個假設(shè)的DBN 可以定義為：(G0,G→)。其中G0是初始網(wǎng)絡(luò)，G→是轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)。初始網(wǎng)絡(luò)由一個靜態(tài)BN 構(gòu)成，指定了初始時刻的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及概率分布P(X0)。轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)是一個包含了2 個時間片段的BN，指定了兩相鄰時間片間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及概率分布P(Xt|Xt-1)。利用初始網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的條件概率分布便可延展DBN 的結(jié)構(gòu)至任意T個時間片，與之對應(yīng)的各節(jié)點的聯(lián)合分布概率為[14]：

式中：X[0],X[1],…,X[T]表示在0 至T時刻隨機變量集合X中的所有節(jié)點，xi[t]表示第t個時間片上的第i個節(jié)點的狀態(tài)，πi[t]表示第t個時間片上的第i個節(jié)點的父節(jié)點的狀態(tài)。

1.2 DBN可靠性建模

DBN 模型的建立通常包含結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)兩個方面。結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)用以確定初始網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，而參數(shù)學(xué)習(xí)則用以確定初始網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點的條件概率表。本文根據(jù)FTA向DBN 的轉(zhuǎn)換規(guī)則實現(xiàn)接觸網(wǎng)系統(tǒng)DBN 模型的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)。將FTA 中的各級事件分別映射為DBN 模型中的各類節(jié)點便可完成FTA 向DBN的圖形轉(zhuǎn)化，得到DBN 模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。需要注意的是，伴隨著DBN 中時間維度的引入，應(yīng)該將有向時序邊添加進邏輯門的輸入事件中，從而完成動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中時間片的級聯(lián)，實現(xiàn)節(jié)點狀態(tài)在時間軸上的拓展。將FTA 中基本事件的發(fā)生概率映射為DBN 中根節(jié)點的先驗概率，同時將邏輯門所表達(dá)的邏輯關(guān)系映射為DBN 中相應(yīng)的條件概率表便可完成數(shù)值轉(zhuǎn)化，得到DBN 模型的概率參數(shù)。表1給出了FTA模型中常用邏輯“與門”和邏輯“或門”向DBN 模型轉(zhuǎn)化的具體規(guī)則[15]。轉(zhuǎn)換后DBN 的圖形表達(dá)中，A(t+ Δt)，B(t+ Δt)，T(t+ Δt)分別表示節(jié)點A，B，T在t+ Δt時刻的狀態(tài)量?？梢?，通過定義初始網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)，并經(jīng)過多個時間片段的延拓，便可求取系統(tǒng)所處狀態(tài)在某個時間段內(nèi)的動態(tài)特性。條件概率公式中所列的A= 0 表示基本事件A不發(fā)生，即元件A處于正常工作狀態(tài)；而A= 1表示基本事件A發(fā)生，即元件A不能正常工作。fA(t)記為元件A的失效概率密度函數(shù)，mA(t)記為元件A的維修概率密度函數(shù)?；臼录﨎的概率表示方式與基本事件A相同，此處不再贅述。

表1 FTA邏輯門的DBN轉(zhuǎn)化規(guī)則Table 1 DBN conversation rules of FTA logic gates

1.3 復(fù)雜系統(tǒng)DBN模型的可靠性分析技術(shù)

可靠性工程中常將系統(tǒng)的可靠性定義為：系統(tǒng)在規(guī)定的條件下及規(guī)定的時間t內(nèi)能夠維持正常工作的能力，通常用可靠度R(t)進行定量描述，它是一個概率值。對于只有正常(0)和失效(1)這2種狀態(tài)的二態(tài)系統(tǒng)來說，系統(tǒng)S的可靠度可以表示為：

在考慮維修因素后，系統(tǒng)的可靠性通常用可用度A(t)進行度量，它表征的是時刻t零部件(或系統(tǒng))處于正常工作狀態(tài)的概率。若不對零部件進行維修的話，則其可靠度R(t) =A(t)[16]。通過分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能，在建立系統(tǒng)的FTA 模型后運用表1 的映射規(guī)則便可實現(xiàn)系統(tǒng)DBN 可靠性模型的構(gòu)建，得到系統(tǒng)初始網(wǎng)絡(luò)和轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及條件概率分布?；贒BN 的一階馬爾可夫性及平穩(wěn)性，故在任一時間片內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及各節(jié)點間的條件概率分布都是相同的，而零部件所代表的根節(jié)點的先驗概率則會根據(jù)兩相鄰時間片間節(jié)點的轉(zhuǎn)移概率分布在各個時間片上得到更新。

已知零部件Xi在t時刻能夠正常工作的先驗概率為P{Xi(t) = 0}，那么其在t+ Δt時刻處于正常工作狀態(tài)的概率便可利用全概率公式更新為：

可見，若給定初始時刻零部件能夠正常工作的先驗概率P{Xi(0) = 0}，便可利用式(3)擴展得到任意時間片的先驗概率。

而在同一時間片內(nèi)，由根節(jié)點的先驗概率及各節(jié)點間的依賴關(guān)系，利用聯(lián)合概率分布便可正向推理得到系統(tǒng)的可靠度計算表達(dá)式：

式中用N代表單個時間片內(nèi)BN 的節(jié)點總數(shù)。Li(1 ≤i≤N- 1)代表BN 中除了系統(tǒng)節(jié)點S外的其余節(jié)點，它與FTA 的基本事件和中間事件是相互對應(yīng)的。li∈{0,1}，它表示的是節(jié)點Li的狀態(tài)取值。

此外，還可以通過反向推理得到單個時間片內(nèi)某節(jié)點Lj發(fā)生失效時節(jié)點Li發(fā)生失效的后驗概率計算表達(dá)式：

式中：1 ≤k≤N,k≠i≠j。

2 接觸網(wǎng)系統(tǒng)DBN模型

2.1 接觸網(wǎng)系統(tǒng)FTA模型

根據(jù)接觸網(wǎng)系統(tǒng)的基本組成結(jié)構(gòu)，可以將其視為由支柱與基礎(chǔ)、支持裝置、接觸懸掛、定位裝置這4 個子系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)[17]。而每個子系統(tǒng)又分別由相關(guān)的零部件串聯(lián)構(gòu)成。假設(shè)接觸網(wǎng)系統(tǒng)及其各組成零部件均存在“正常”和“失效”這2種狀態(tài)。因為是串聯(lián)系統(tǒng)，所以其中的任意一個零部件失效都會導(dǎo)致整個接觸網(wǎng)系統(tǒng)失去正常工作的能力。通過對接觸網(wǎng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)建其FTA 模型，如圖1 所示。FTA 中頂事件T表示接觸網(wǎng)失效，中間事件M1，M2分別表示支持裝置失效、接觸懸掛失效?；臼录1～X11所代表的各基本單元失效名稱見表2。表2 中接觸網(wǎng)各零部件的失效率λ(/年)及修復(fù)率μ(/小時)數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[8]對某段電氣化鐵路接觸網(wǎng)長年的故障統(tǒng)計所得。

表2 接觸網(wǎng)系統(tǒng)基本單元可靠性參數(shù)Table 2 Reliability parameters of basic unit of catenary

圖1 接觸網(wǎng)系統(tǒng)故障樹模型Fig.1 Fault tree model of catenary system

2.2 結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)

在圖1 的基礎(chǔ)上，利用表1 中給出的FTA 模型向DBN 模型的轉(zhuǎn)化方法建立接觸網(wǎng)系統(tǒng)的DBN 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖2 所示。圖2 中，指向節(jié)點自身的圓弧箭頭表示DBN模型兩相鄰時間片間的轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)，它反映了此節(jié)點在當(dāng)前時刻中產(chǎn)生的信念對自身下一時刻的影響；不同節(jié)點之間的直線箭頭則反映了同一時間片內(nèi)各節(jié)點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

圖2 接觸網(wǎng)系統(tǒng)DBN模型Fig.2 DBN model of catenary system

2.3 參數(shù)學(xué)習(xí)

由表1 中FTA 向DBN 的轉(zhuǎn)化規(guī)則可以實現(xiàn)接觸網(wǎng)系統(tǒng)DBN 模型中同一時間片內(nèi)靜態(tài)BN 的條件概率學(xué)習(xí)和相鄰時間片間轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的條件概率學(xué)習(xí)。靜態(tài)BN 的參數(shù)學(xué)習(xí)較為簡單，不再贅述。現(xiàn)針對轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)學(xué)習(xí)進行具體敘述。假定接觸網(wǎng)系統(tǒng)各零部件Xi都存在2種狀態(tài)：工作狀態(tài)0 和失效狀態(tài)1，且它們的壽命和修復(fù)時間均服從指數(shù)分布，則與之對應(yīng)的失效概率密度函數(shù)和維修概率密度函數(shù)分別為：fi(t) =λie-λit和mi(t) =μie-μit。將其帶入表1的條件概率計算公式中，可以通過計算推出Xi從t時刻到t+ Δt時刻的轉(zhuǎn)移條件概率表達(dá)式P{Xi(t+ Δt)|Xi(t)}，即：

若暫不考慮零部件Xi的維修問題，此時μi= 0，式(6)中的后面2個表達(dá)式便可更新為：

將表2 中各零部件λi和μi的參數(shù)值代入式(6)，即可完成接觸網(wǎng)系統(tǒng)DBN 模型轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)學(xué)習(xí)。

已知零部件在任意時刻處于正常工作狀態(tài)的先驗概率，并結(jié)合現(xiàn)有的DBN 推理算法，便可實現(xiàn)對接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠性水平的動態(tài)估計。

3 接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠性分析

接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性反映了接觸網(wǎng)系統(tǒng)各零部件及子系統(tǒng)能夠在規(guī)定的時間內(nèi)維持正常工作的能力[17]，可以在一定程度上用它來評估接觸網(wǎng)向電力機車供電的穩(wěn)定性。本文以文獻(xiàn)[8]統(tǒng)計的某段電氣化鐵路接觸網(wǎng)的故障數(shù)據(jù)作為算例，基于DBN 技術(shù)對該段鐵路接觸網(wǎng)的可靠性進行分析。假設(shè)初始時刻接觸網(wǎng)系統(tǒng)中各零部件Xi均處于正常工作狀態(tài)，即在t= 0 時刻DBN 模型中各根節(jié)點Xi的先驗概率為P{Xi(0) = 0}= 1，P{Xi(0) =1}= 0。采用GeNIe 軟件建立接觸網(wǎng)系統(tǒng)的DBN模型，并基于表1、表2 及式(6)完成網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)和參數(shù)學(xué)習(xí)后，利用聯(lián)合樹算法進行接觸網(wǎng)系統(tǒng)后驗概率的推理[18]。

3.1 可靠度估計

在不考慮維修因素的情況下，取時間間隔Δt= 1 月，通過DBN 的正向推理，計算接觸網(wǎng)系統(tǒng)在任意時刻處于正常工作狀態(tài)的概率P{T(t) =0}，即可得到系統(tǒng)可靠度隨時間的變化曲線，結(jié)果如圖3所示。

圖3 接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠度變化曲線Fig.3 Reliability variation curve of catenary system

由圖3可以看出接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠度整體上會隨其運行時間的增加而逐漸下降。若不對系統(tǒng)進行定期的維修，其可靠度最終會趨向于0。

下面對接觸網(wǎng)、支持裝置、接觸懸掛、支柱與基礎(chǔ)及定位裝置的動態(tài)可靠度做一對比分析，結(jié)果如圖4 所示。由圖4 可知，隨著運行時間的增加，接觸網(wǎng)系統(tǒng)各基本組成裝置的可靠度均會呈現(xiàn)下降趨勢。由于接觸網(wǎng)是由這些裝置串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，因此其下降趨勢更為明顯。不同裝置的可靠度下降速度不同，其中定位裝置可靠度的降低對接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠度的下降程度影響最大，其次是接觸懸掛和支持裝置。可以根據(jù)定位裝置、接觸懸掛、支持裝置、支柱與基礎(chǔ)的可靠性變化規(guī)律制定不同的檢修周期。

圖4 基本裝置可靠度變化曲線Fig.4 Reliability variation curves of basic equipment

3.2 可用度估計

考慮維修因素后，同樣可以通過DBN 的正向推理計算出接觸網(wǎng)系統(tǒng)在任意時刻處于正常工作狀態(tài)的概率，得到接觸網(wǎng)系統(tǒng)可用度隨時間的變化曲線如圖5所示。

圖5 接觸網(wǎng)系統(tǒng)可用度變化曲線Fig.5 Availability variation curve of catenary system

由圖5可知，在剛投入運行時，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可用度逐漸下降，當(dāng)采取維修措施后，隨著時間的推移，系統(tǒng)的可用度逐漸趨于平緩，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)可用度，約為0.998 606 933?？梢钥闯鏊憷械脑摱舞F路接觸網(wǎng)具有較高的可用度。由于可用度是在考慮了維修因素的情況下得到的數(shù)值，即認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)中任意零部件發(fā)生故障時，維修人員會立刻對其進行維修，使系統(tǒng)能夠恢復(fù)正常運行。然而在現(xiàn)實情況中，出于人為因素、環(huán)境因素及其他因素的限制，接觸網(wǎng)的可用度可能會相較于計算結(jié)果值略微偏低一些。

此外，對比圖3 和圖5 可知，維修因素對接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠性的影響較大。因此，為保證接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠穩(wěn)定的運行，對其進行定期維修是很有必要的。

3.3 DBN模型有效性驗證

由于DBN 滿足“平穩(wěn)性”和“一階馬爾可夫性”，故對于DBN 中各個時間片內(nèi)的根節(jié)點而言，其在相鄰兩時間片間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程等同于一個齊次馬爾可夫過程[19]。文獻(xiàn)[8]基于馬爾可夫分析法建立了接觸網(wǎng)的可靠性分析模型，現(xiàn)將利用本文方法求解得到的接觸網(wǎng)系統(tǒng)在運行過程中多個時間點上的可靠度及穩(wěn)態(tài)可用度的計算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]的計算結(jié)果進行比較，如表3所示。

表3 求解結(jié)果對比Table 3 Comparison of results

由表3 可以看出利用這2 種方法求解得到的計算結(jié)果差異值很小，從而驗證了本文所提DBN 方法的有效性和計算結(jié)果的精確性。但相較馬爾可夫分析方法而言，DBN 方法可以直觀地表達(dá)系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)，運用條件概率表表示變量之間的聯(lián)系。利用變量間的條件獨立性可以大大縮小狀態(tài)空間的規(guī)模，有效地避免了馬爾可夫分析方法在建模過程中因變量狀態(tài)數(shù)過多而導(dǎo)致的組合爆炸問題[20-21]。而且DBN 還具有反向推理功能，可以實現(xiàn)系統(tǒng)的故障診斷(下節(jié)介紹)，這是馬爾可夫分析方法所無法比擬的。現(xiàn)在已經(jīng)有很多成熟的DBN 建模軟件[21]，能夠?qū)崿F(xiàn)模型的自動求解，為系統(tǒng)的可靠性分析提供了很大的便利。

3.4 故障診斷

通過分析接觸網(wǎng)系統(tǒng)故障后各零部件后驗概率值的大小，可以反映出它們在系統(tǒng)中的重要程度。采用DBN 的診斷推理功能，計算出接觸網(wǎng)系統(tǒng)在考慮維修因素的情況下進入穩(wěn)定運行后的某一時刻發(fā)生故障時各零部件處于故障狀態(tài)的后驗概率值，即P{Xi(t) = 1|T(t) = 1}，并將各后驗概率值按從小到大的順序進行排序，分析結(jié)果見圖6。由圖6 可知，若該段鐵路中接觸網(wǎng)系統(tǒng)發(fā)生故障，后驗概率值排名較為靠前的零部件有：定位裝置(X2)、吊弦(X10)、絕緣子(X7)、承力索(X9)、接觸線(X8)，它們是接觸網(wǎng)系統(tǒng)運行過程中的薄弱環(huán)節(jié)，故在進行日常檢修和維護時需要對這些零部件重點關(guān)注，通過提升它們的可靠性來提高接觸網(wǎng)系統(tǒng)整體的可靠性。

圖6 基本單元的后驗概率值Fig.6 Posterior probability value of each basic unit

4 結(jié)論

1)將DBN 理論應(yīng)用于接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性建模與分析中，可以很好地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性和可維修性，為接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠性研究提供了一種新思路。

2)在建立接觸網(wǎng)系統(tǒng)DBN 模型的基礎(chǔ)上，利用DBN 的正向推理能力得到了接觸網(wǎng)系統(tǒng)可靠度和可用度隨時間的變化趨勢，并將計算結(jié)果與基于馬爾可夫建模方法的求解結(jié)果進行橫向?qū)Ρ?，驗證了本文DBN 方法的有效性和計算結(jié)果的精確性。

3) 對比可靠度和可用度隨時間的動態(tài)變化規(guī)律可知：在不考慮維修的情況下，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可靠度會隨服役時間的增加而減?。豢紤]維修因素后，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的可用度能在很長的時間內(nèi)維持在0.998 606 933。所以要保證接觸網(wǎng)系統(tǒng)能夠可靠地運行，對其故障零部件進行及時地維修是很有必要的。

4)利用DBN 的反向推理能力可以對接觸網(wǎng)系統(tǒng)進行故障診斷。診斷結(jié)果表明，定位裝置、吊弦、絕緣子、接觸線和承力索是接觸網(wǎng)系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)，因此要加強對它們的檢修和維護。